中考数学必考特色题型讲练(河南专用)压轴几何证明题及相关辅助线做法(原卷版+解析)

这是一份中考数学必考特色题型讲练(河南专用)压轴几何证明题及相关辅助线做法(原卷版+解析)，共41页。

复杂几何证明题作为压轴题出现难度较大，通常有三个小问，前两问中等难度，第三问较难。综合考查几何相关定义性质和初中阶段涉及的几何辅助线做法，题型灵活多变，需要学生有一定的几何基础，掌握中线倍长、一线三等角、角含半角等几何模型。
【知识点1-手拉手】
手拉手模型的识别 ：顶角相等的两个等腰三角形，共顶点；
方法：等边等角证明全等；
结论 ：
（1）两个等腰三角形的腰分别与拉手线相连组成的三角形全等
（2）拉手线相等
（3）拉手线交角的度数等于等腰三角形顶角的度数
（4）等腰三角形的顶点与拉手线交点的连线平分这个交角的邻补角
1、等边三角形共顶点
等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线．
连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，
结论：
（1）△BCD≌△ACE；
（2）AE＝BD；
（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；
（4）FC平分∠BFE；
（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；
（6）△CGH为等边三角形．
2、等腰直角三角形共顶点
等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．

如图1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，
结论：
（1）△BCD≌△ACE；
（2）AE＝BD；
（3）AE⊥BD；
（4）FC平分∠BFE；
（5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2
（6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；
（7）如图2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）；
（8）S△ACD＝S△BCE
3、等腰三角形共顶点
等腰△ACB与等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE．
连结BD，AE交于点F，则
结论：
（1）△BCD≌△ACE；
（2）AE＝BD；
（3）∠AFB＝∠ACB；
（4）FC平分∠BFE．
例题1、已知，∆ACB和∆DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE,BD交于点O，AE与DC交于点O，AE与DC交于点M。BD与AC交于点N，求证AE=BD
变式练习1、如图，△ABC和△ADE是等边三角形，连接CE、BD、CD, ∠BDC=60°，
（1） 求证BD=CE;
（2）求∠DCE的度数；
变式练习2、如图，△ABC中，BC=AC，△CDE中，CE=CD，现把两个三角形的点C重合，且使∠BCA=∠DCE=α，连接BE，AD交于点M.
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠BMD的度数（用含α的式子表示）.
【知识点2-角含半角】
1． 等腰直角三角形角含半角
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上且∠DAE＝45°
（1） △BAE∽△ADE∽△CDA
（2）BD2＋CE2＝DE2．
证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，
所以△BAE∽△ADE∽△CDA．
（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF．

则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD，
所以△ADE∽△FAE （SAS）．
所以DE＝EF．
而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°，
所以BD2＋CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2．
（旋转只是思想，辅助线：做AD垂直AM且AD=AM，连接DC）

方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F，连结AF，DF，EF．
因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF，
又因为∠BAD＝∠DAF，
则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC，
所以△FAE∽△CAE（SAS）．
所以EF＝EC．
而DF＝BD，∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°，
所以BD2＋EC2＝FD2＋EF2＝DE2．
例题1、已知△ABC为等腰三角形∠ACB=90°，M、N是AB上的点，∠MCN=45°，求证：AM2+BN2=MN2.
变式练习1、如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；
变式练习2、阅读下面材料
小明同学在学习的过程中发现，借助旋转变换可以解决很多数学问题．
例如：如图1所示，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD边上的点，∠EAF=45°．求证：BE+DF=EF；
如图2，小明延长CB至G，使得BG=DF，则形成一组旋转三角形…
（1）请你沿着小明同学的思路继续完成他的证明过程；
参考小明同学的解题思路解答下面两个问题：
（2）如图3，在正方形ABCD中，点E为BC边上的点，AE交BD于F，探索BF、AF、DF之间的数量关系，并证明；
图1 图2 图3
【知识点3-“Y”形】
如图，在三角形中形成“Y”形，可以利用旋转构造等边三角形来解题。
如图，等边△ABC内有一点P，连结AP，BP，CP，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP' A，
则△BP P'是等边三角形；△APP'的形状由AP，BP，CP的长度决定．
（2）如图，正方形ABC D内有一点P，连结AP，BP，CP，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BP' A，则△BP P'是等腰直角三角形；△APP'的形状由AP，BP，CP的长度决定．
注意：在做这类题时旋转是解题思路而不是辅助线做法，所以解题步骤可以写作角相等线段长度相等，通过构造一对全等三角形达到旋转的目的。
例题1、如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的长。

变式练习1、阅读下列材料:
数学课上,老师出示了这样一个问题:如图 1,△ABC 中, AC=BC ,∠ACB=90°，点 D、E 在 AB 上,且 AD= BE , DG⊥CE 垂足为 G,DG的延长线与BC相交于点 F,探究线段 AD、BD、DF 之间的数量关系,并证明.
某学习小组的同学经过思考,交流了自己的想法:
小明:“通过观察和度量,发现∠BCE 与∠BDF 存在某种数量关系
小强:“通过观察和度量,发现图 1 中有一条线段与 CE 相等”;
小伟:“通过构造三角形,证明三角形全等,进而可以得到线段 AD、BD、DF 之间的数量关系”.
……
老师:“保留原题条件,再过点D作DH⊥BC,垂足为H,DH与CE相交于点M(如图 2).如果给出DG和GF的数量关系，就可以求最后结果了
图1图2
（1）在图 1 中找出与线段 CE 相等的线段,并证明;
（2）探究线段 AD、BD、DF 之间的数量关系,并证明;
（3）若DGGF＝n，求DMCM的值（用含n的代数式表示）．
变式练习2、阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠APB的度数。
（2）请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题。如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证EF²=BE²+CF²

图1 图2
变式练习3、如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，求OF的长度。
【知识点4-一线三等角】
方法：找角→定线→构相似
一线穿直角：
【结论】：
若AB＝AC，则△ABE≌△CAD
若AB＝ｋAC，则△ABE∼△CAD
一般模型：

同侧型异侧型
【结论】：①若∠１＝∠２＝∠３，则△ACE∼△BED
若∠１＝∠２＝∠３，则△ACE∼△BED
例题1、直线CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，
且∠BEC=∠CFA=∠α
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°
则BE_____________ CF，EF_____________ |BE-AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立;
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF、BE、AF三条
线段数量关系的合理猜想（不要求证明）
变式练习1、已知在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的负半轴上，且OA=1，OB=3.
（1）如图1，以A为直角顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC.求点C的坐标；
（2）如图2，点P为y轴负半轴上的一个动点，当点P向下运动时，以P点为直角顶点，PA为腰作等腰直角△APQ，过点Q作QE⊥x轴于E，那么PO−QE的值会随着点P的运动而改变吗?如果改变，请说明理由，如果不变，请求出PO−QE的值是多少?
变式练习2、在△ABC中,点 D，E，F分 别在边AB，BC，AC上，且 ∠ADF+∠DEC=180°,∠AFE=∠BDE.
（1）如图1，当 DE=DF时，图中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以明;若不存在，请说明理由 ;
（2）如图2,当 DE=kDF(其 中 0＜k＜1)时,若∠A=90°,AF=m，求BD的长。 (用含k ,m的代数式表示
变式练习3、如图（1），在中，，直线经过点于于．
（1）求证：①；②．
（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，具有怎样的等量关系？说出你的猜想，并证明你的猜想．
（1） （2）
1、阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中22＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”
……
老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出AHHC的值．”
（1）求证：∠BAE＝∠DAC；
（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；
（3）直接写出AHHC的值（用含k的代数式表示）．
2、阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．
方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．
（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．
用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：
（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．
①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；
②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
3、如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE＝CE，点G在线段CD上，CG＝CA，GF＝DE，∠AFG＝∠CDE．
（1）填空：与∠CAG相等的角是 ；
（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；
（3）若∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACD（如图2），求ACAB的值．
4、如图1，在△ABC 中，点 D，E 分别在 BC，AC 上，BD=BA，点 F 在 BE 上，FA=FE，
∠AFE=∠ABD.
（1）在图1中找出与∠EBC 相等的角，并证明；
（2）求证∠BEA=∠BED；
（3）如图2，连接 FD，点 M 在 EF 上，∠EDM+∠EDF=180°，AE=kDE，求AFME的值.

图1 图2
压轴几何证明题及相关辅助线做法
复杂几何证明题作为压轴题出现难度较大，通常有三个小问，前两问中等难度，第三问较难。综合考查几何相关定义性质和初中阶段涉及的几何辅助线做法，题型灵活多变，需要学生有一定的几何基础，掌握中线倍长、一线三等角、角含半角等几何模型。
【知识点1-手拉手】
手拉手模型的识别 ：顶角相等的两个等腰三角形，共顶点；
方法：等边等角证明全等；
结论 ：
（1）两个等腰三角形的腰分别与拉手线相连组成的三角形全等
（2）拉手线相等
（3）拉手线交角的度数等于等腰三角形顶角的度数
（4）等腰三角形的顶点与拉手线交点的连线平分这个交角的邻补角
1、等边三角形共顶点
等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线．
连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，
结论：
（1）△BCD≌△ACE；
（2）AE＝BD；
（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；
（4）FC平分∠BFE；
（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；
（6）△CGH为等边三角形．
2、等腰直角三角形共顶点
等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．

如图1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，
结论：
（1）△BCD≌△ACE；
（2）AE＝BD；
（3）AE⊥BD；
（4）FC平分∠BFE；
（5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2
（6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；
（7）如图2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）；
（8）S△ACD＝S△BCE
3、等腰三角形共顶点
等腰△ACB与等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE．
连结BD，AE交于点F，则
结论：
（1）△BCD≌△ACE；
（2）AE＝BD；
（3）∠AFB＝∠ACB；
（4）FC平分∠BFE．
例题1、已知，∆ACB和∆DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE,BD交于点O，AE与DC交于点O，AE与DC交于点M。BD与AC交于点N，求证AE=BD
【解析】
证明∵△ACB和△DCE都是等腰三角形
∠ACB=∠DCE=90°
∴AC=BC,DC=EC
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD
∴∠BCD=∠ACE
在△ACE和△BCD中
AC=BC
∠ACE=∠BCD
CE=CD
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴AE=BD
变式练习1、如图，△ABC和△ADE是等边三角形，连接CE、BD、CD, ∠BDC=60°，
（1） 求证BD=CE;
（2）求∠DCE的度数；
【解析】
（1） ①证明：
∵△ABC 和△ADE 是等边三角形
∴AE=AD，AC=AB，∠EAD=∠CAB=60°
∴∠EAD-∠CAD=∠CAB-∠CAD， 即∠EAC=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD ，
∴BD=CE.

② ∵△ACE≌△ABD， ∴∠AEC=∠ADB=α，
∵△ADE 是等边三角形 ∴∠AED=∠ADE=60°，
又∵∠BDC=60°，
∴∠AEC+∠ECD=60°，∠BDC+∠ADC+∠CDE=60°，
∴∠CED=60°-α，∠EDC=α
∴∠ECD=180°-∠ECD-∠EDC=120°
变式练习2、如图，△ABC中，BC=AC，△CDE中，CE=CD，现把两个三角形的点C重合，且使∠BCA=∠DCE=α，连接BE，AD交于点M.
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠BMD的度数（用含α的式子表示）.
【解析】
（1）证明：∠BCA=∠DCE
∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE
∠BCE=∠ACD
在BCE和ACD中，

BCEACD(SAS)
BE=AD
(2)由（1）知. BCEACD(SAS)
∠CBE=∠CAD
∠ANM=∠BNC
∠AMB=∠ACB=a
∠BMD=180°-∠AMB=180°-a
【知识点2-角含半角】
1． 等腰直角三角形角含半角
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上且∠DAE＝45°
（1） △BAE∽△ADE∽△CDA
（2）BD2＋CE2＝DE2．
证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，
所以△BAE∽△ADE∽△CDA．
（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF．

则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD，
所以△ADE∽△FAE （SAS）．
所以DE＝EF．
而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°，
所以BD2＋CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2．
（旋转只是思想，辅助线：做AD垂直AM且AD=AM，连接DC）

方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F，连结AF，DF，EF．
因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF，
又因为∠BAD＝∠DAF，
则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC，
所以△FAE∽△CAE（SAS）．
所以EF＝EC．
而DF＝BD，∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°，
所以BD2＋EC2＝FD2＋EF2＝DE2．
例题1、已知△ABC为等腰三角形∠ACB=90°，M、N是AB上的点，∠MCN=45°，求证：AM2+BN2=MN2.
【解析】作∠DCA=∠NCB，截取DC=NC，连接AD、MD
∵△ABC是等腰直角三角形
∴CA=CB，∠B=∠CAB=45°
在△DCA和△NCB中
CD=CN∠DCA=∠NCBAC=NC
∴△DCA≌△NCB（SAS）
∴AD=BN，∠DAC=∠B=45°
∴∠DAM=∠DAC+∠CAM=90°
∴△DAM是直角三角形
∵∠DCA+∠ACM=∠NCB+∠ACM=∠ACB-∠MCN=45°
∴∠DCM=∠NCM
在△DCM和△NCM中
CD=CN∠DCM=∠NCMMC=MC
∴△DCM≌△NCM（SAS）
∴DM=NM
在Rt△ADM中，DM2=AD2+AM2
∴AM2+BN2=MN2
变式练习1、如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；
【解析】
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∠ABM=∠ADN=45°．
把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM′．
连结NM′．则DM′=BM，AM′=AM,
∠ADM′=∠ABM=45°，∠DAM′=∠BAM．
∵∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°,
∠DAM′+∠DAF=45°, ∠M′AN=∠MAN=45°.．
∴△AM′N≌△AMN． ∴M′N=MN．
在△DM′N中，∠M′DN=∠AND+∠ADM′=90°,
∴M'N2=DN2+DM2
∴MN2=DN2+DM2
变式练习2、阅读下面材料
小明同学在学习的过程中发现，借助旋转变换可以解决很多数学问题．
例如：如图1所示，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD边上的点，∠EAF=45°．求证：BE+DF=EF；
如图2，小明延长CB至G，使得BG=DF，则形成一组旋转三角形…
（1）请你沿着小明同学的思路继续完成他的证明过程；
参考小明同学的解题思路解答下面两个问题：
（2）如图3，在正方形ABCD中，点E为BC边上的点，AE交BD于F，探索BF、AF、DF之间的数量关系，并证明；
图1 图2 图3
【答案】（2）2AF²=DF²+BF²
【解析】解：（1） 延长CB至G，使得BG=DF，连接AG
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=∠D=∠BAD=90°，AB=AD
∴∠ABG=∠D=90°
在△ABG和△ADF中
AB=AD∠ABG=∠DBG=DF
∴△ABG≌△ADF（SAS）
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF
∵∠BAF+∠BAG=90°
即∠GAF=90°
∵∠EAF=45°
∴∠GAE=∠EAF=45°
在△AGE和△AFE中
AG=AF∠GAE=∠EAFAE=AE
∴△AGE≌△AFE（SAS）
∴EG=EF，即BE+BG=EF
∴BE+DF=EF
（2）过点A作AG⊥AF，且AG=AF
∴FG²=AF²+AG²=2AF²
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD=90°
∴∠BAD-∠DAF=∠FAG-∠DAF
∴∠BAF=∠DAG
在△ABF和△DAG中
AB=AD∠BAF=∠DAGAF=AG
∴△ABF≌△DAG（SAS）
∴BF=DG，∠ADG=∠ABF=45°
∴∠FDG=90°
∴FG²=FD²+DG²
∴2AF²=DF²+BF²
【知识点3-“Y”形】
如图，在三角形中形成“Y”形，可以利用旋转构造等边三角形来解题。
如图，等边△ABC内有一点P，连结AP，BP，CP，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP' A，
则△BP P'是等边三角形；△APP'的形状由AP，BP，CP的长度决定．
（2）如图，正方形ABC D内有一点P，连结AP，BP，CP，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BP' A，则△BP P'是等腰直角三角形；△APP'的形状由AP，BP，CP的长度决定．
注意：在做这类题时旋转是解题思路而不是辅助线做法，所以解题步骤可以写作角相等线段长度相等，通过构造一对全等三角形达到旋转的目的。
例题1、如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的长。

【答案】AP=3
【解析】将△CPB绕点C旋转，使得BC与AC重合，点P与点D是对应点，
∴PC=DC，∠DCA=∠CBP，
∴∠DCP=∠ACB=90∘，
∴△CDP是等腰直角三角形，
∴由勾股定理可知：DP=22，
∵PB=AD=1，
∵∠CPB=∠CDA=135°,∠CDP=45°，
∴∠ADB=90°
∴由勾股定理可求得：AP=3
变式练习1、阅读下列材料:
数学课上,老师出示了这样一个问题:如图 1,△ABC 中, AC=BC ,∠ACB=90°，点 D、E 在 AB 上,且 AD= BE , DG⊥CE 垂足为 G,DG的延长线与BC相交于点 F,探究线段 AD、BD、DF 之间的数量关系,并证明.
某学习小组的同学经过思考,交流了自己的想法:
小明:“通过观察和度量,发现∠BCE 与∠BDF 存在某种数量关系
小强:“通过观察和度量,发现图 1 中有一条线段与 CE 相等”;
小伟:“通过构造三角形,证明三角形全等,进而可以得到线段 AD、BD、DF 之间的数量关系”.
……
老师:“保留原题条件,再过点D作DH⊥BC,垂足为H,DH与CE相交于点M(如图 2).如果给出DG和GF的数量关系，就可以求最后结果了
图1图2
（1）在图 1 中找出与线段 CE 相等的线段,并证明;
（2）探究线段 AD、BD、DF 之间的数量关系,并证明;
（3）若DGGF＝n，求DMCM的值（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）DF＝CE （2）AD2+BD2＝2DF2（3）nn+12（n+1）
【解析】
（1）DF＝CE，
证明：如图1，连接CD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，DG⊥CE，
∴∠A＝∠B＝12（180°﹣∠ACB）＝45°，∠CGF＝90°，
∵AD＝BE，AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∵∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，∠DFC＝90°﹣∠BCE，
∴∠DCB＝∠DFC，
∴DC＝DF，
∴CE＝DF；
（2）结论：AD2+BD2＝2DF2，
证明：如图2，过点C作CD'⊥CD，截取CD'＝CD，连接BD'，DD'，
∴∠DCD'＝90°，
∴∠BCD'＝90°﹣∠BCD＝∠ACD，
∵AC＝BC，CD＝CD'，
∴△ACD≌△BCD'（SAS），
∴BD'＝AD，∠CBD'＝∠A＝45°，
∴∠ABD'＝∠ABC+∠CBD'＝90°，
∴CD2+CD'2＝DD'2＝BD2+BD'2，
∴AD2+BD2＝2DF2；
（3）如图2，连接CD，由（1）知，CD＝CE，
∵DH⊥BC，
∴CH＝FH，∠DHC＝∠DHF＝90°，
设CH＝FH＝a，GF＝b，
∴CF＝2a，DG＝nb，DF＝（n+1）b，
∵DF⊥CE，
∴∠DGC＝∠FGC＝90°，
∴∠DHF＝∠CGF＝90°，
∵∠DFH＝∠CFG，
∴△DFH∽△CFG，
∴DFCF=FHFG，
∴（n+1）b2a=ab，
∴ba=2n+1，
∵∠DMG＝∠CMH，∠DGC＝∠DHC＝90°，
∴△DMG∽△CMH，
∴DMCM=CGCH=nba=n2n+1=nn+12（n+1）．
变式练习2、阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠APB的度数。
（2）请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题。如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证EF²=BE²+CF²

图1 图2
【答案】（1）150° （2）EF²=BE²+FC²
【解析】（1）过点A作∠P′AP=60°，且AP′=AP，连接P′C
∴△APP′为等边三角形
PP′=AP=3,∠AP′P=60°，
∵∠P′AC+∠CAP=60° ∠BAP+∠CAP=60°
∴∠P′AC=∠BAP
∵AP′=AP、AB=AC
∴△P′AC≌△BAP
∴CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB，
∵CP′=4，PP′=3，PC=5
∴△PP′C为直角三角形,且∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；
（2）如图2,过点A作AE′⊥AE，且AE′=AE，连接CE′，FE′，

∵∠E′AC+∠EAC=90° ∠BAE+∠EAC=90°
∴∠E′AC=∠BAE
∵AE′=AE、AB=AC
∴△E′AC≌△BAE
∴∠ACE′=∠B
∵∠EAF=45°，
∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC−∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠E′AF，
∴△EAF≌△E′AF(SAS)，
∴E′F=EF，
∵∠CAB=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠E′CF=45°+45°=90°，
由勾股定理得,E′F²=CE′²+FC²，
即EF²=BE²+FC².
变式练习3、如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，求OF的长度。
【答案】655
【解析】如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，
∵Rt△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG和△OCF中，
OB=OC∠OBG=∠OCFBG=CF
∴△OBD≌△OCF（SAS）
∴OG=OF,∠BOG=∠COF
∴OG⊥OF
在Rt△BCE中，BC=DC=6,DE=2EC，
∴EC=2
∴BE=BC2+CE2=62+22=210
∵BC²=BF·BE，
则6²=BF·210，得BF=9510
∴EF=BE-BF=1510
∵CF²=BF·EF
∴CF=3510
∴GF=BF-BG=BF-CF=6510
在等腰直角三角形OGF中，OF²=12GF²
∴OF=655
【知识点4-一线三等角】
方法：找角→定线→构相似
一线穿直角：
【结论】：
若AB＝AC，则△ABE≌△CAD
若AB＝ｋAC，则△ABE∼△CAD
一般模型：

同侧型异侧型
【结论】：①若∠１＝∠２＝∠３，则△ACE∼△BED
若∠１＝∠２＝∠３，则△ACE∼△BED
例题1、直线CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，
且∠BEC=∠CFA=∠α
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°
则BE_____________ CF，EF_____________ |BE-AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立;
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF、BE、AF三条
线段数量关系的合理猜想（不要求证明）
【答案】（1）①BE=CF，EF=|BE-AF| ② EF=|BE-AF| （2）EF=BE+AF
【解析】解：（1）
①易证△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，EF=|BE-AF|
②∠α+∠BCA=180°时，①中两个结论仍然成立；
证明：∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α+∠BCA=180°
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中∠EBC=∠ACF，∠BEC=∠AFC，BC=AC
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF-CE=BE-AF
当E在F的右侧时，同理可证：EF=AF-BE
∴EF=|BE-AF|；
故答案为∠α+∠BCA=180°
（2）EF=BE+AF
证明：∵ ∠BEC=∠CFA=∠α， ∠α=∠BCA，
又∵ ∠EBC+∠BCE +∠BEC=180°，
∠BCE +∠ACF +∠BCA =180°
∴ ∠EBC+∠BCE = ∠BCE +∠ACF ，
∴ ∠EBC= ∠ACF ，
∴可证△BEC ≌ △CFA(AAS)
∴AF=CE, BE=CF,
∵EF=CE+CF
∴EF=BE+AF
变式练习1、已知在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的负半轴上，且OA=1，OB=3.
（1）如图1，以A为直角顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC.求点C的坐标；
（2）如图2，点P为y轴负半轴上的一个动点，当点P向下运动时，以P点为直角顶点，PA为腰作等腰直角△APQ，过点Q作QE⊥x轴于E，那么PO−QE的值会随着点P的运动而改变吗?如果改变，请说明理由，如果不变，请求出PO−QE的值是多少?
【答案】（1）C(−4，−1)
(2) OP−QE=1，始终保持不变
【解析】
（1）如图1，过C作CD⊥x轴于D
∵∠BAC=90∘，∠AOB=90∘
∴∠1=∠2
在△CDA与△AOB中
∠AOP=∠PRQ
∠2=∠1
AP=PQ
∴△CDA≌△AOB(AAS)
∴AD=OB=3，CD=OA=1
∴OD=4
∴C(−4，−1)
（2）(PO−QE)的值不会随着点P的运动而改变，且OP−QE=1.理由如下
如图2，过点Q作QR⊥y轴于R.则四边形QEOR是矩形
∴QE=OR
∵∠APQ=90∘
∴∠1=∠2
在△APO与△PQR中
∠AOP=∠PRQ
∠2=∠1
AP=PQ
∴△OPA≌△RQP(AAS)
∴OA=PR
∴OR=OP−PR=OP−OA
∴OP−OR=OA=1，即OP−QE=1，始终保持不变
变式练习2、在△ABC中,点 D，E，F分 别在边AB，BC，AC上，且 ∠ADF+∠DEC=180°,∠AFE=∠BDE.
（1）如图1，当 DE=DF时，图中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以明;若不存在，请说明理由 ;
（2）如图2,当 DE=kDF(其 中 0＜k＜1)时,若∠A=90°,AF=m，求BD的长。 (用含k ,m的代数式表示
【答案】（1）BE=AB （2）BD=km1−k21−k2
【解析】
（1）存在，BE=AB
证明：如图1，在BC上取一点M，使BD=BM，连接DM
∵∠AFE=∠BDE,∠BDE+∠ADE=180°
∴∠AFE+∠ADE=180°
∴∠A+∠DEF=180°
∵∠ADF+∠DEC=180°,∠DEC+∠DEB=180°,∠ADF+∠BDF=180°,
∴∠DEC=∠BDF,∠ADF=∠DEB
∵∠DEC=∠EDB+∠B,∠BDF=∠EDB+∠EDF,∴∠B=∠EDF
∵BM=BD,DE=DF，
∴∠BDM=∠BMD=，∠DFE=∠DEF=
∴∠BMD=∠DEF
∴∠BMD+∠A=180°
∵∠BMD+∠DME=180°,∴∠DME=∠A
又DE=DF,∠ADF=∠MED
∴△DME≌△FAD(AAS)
∴ME=AD.
∴BM+ME=BD+DA.
∴BE=AB
（2）如图2，过点D作DN⊥BC于点N。
∵∠A=90°,∴∠DNB=∠DNE=∠A=90°
由(1),知∠ADF=∠DEB
∴△DNE∽△FAD，∴NDAF=DEFD
∵DE=kFD, AF=m,. ND=kAF=km.
∵△DNE∽△FAD,∠NDE=∠AFD
∵∠AFE=∠BDE,∴∠AFE一∠AFD=∠BDE-∠NDE,即∠DFE=∠BDN。
由(1),知∠B=∠EDF.∴△BDN∽△DFE
∴BDDF=BNDE
∵DE=kDF,∴BN=kBD.
在Rt△BND中,BD2=BN2+ND2
即BD2=(kBD)2+(km)2
∴BD2=k2m21−k2
∴BD=km1−k2=km1−k21−k2
变式练习3、如图（1），在中，，直线经过点于于．
（1）求证：①；②．
（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，具有怎样的等量关系？说出你的猜想，并证明你的猜想．
（1） （2）
【答案】（2）AD=CE=DE+DC=DE+BE
【解析】
（1）①在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE＝90°
∵∠BCA＝90°
∴∠ACD+∠ECB＝90°
∴∠DAC＝∠BCE
∵AC＝BC
∴△ADC≌△CEB（AAS）
②由①得DC=BE；AD=CE
∴DE=DC+CE=AD+BE
（2）在Rt△ADC中，∠ACD+∠CAD＝90°
∵∠BCA＝90°
∴∠ACD+∠ECB＝90°
∴∠DAC＝∠BCE
∵AB＝BC
∴△ADC≌△CEB（AAS）
∴DC=BE；AD=CE
∴AD=CE=DE+DC=DE+BE
1、阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中22＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”
……
老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出AHHC的值．”
（1）求证：∠BAE＝∠DAC；
（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；
（3）直接写出AHHC的值（用含k的代数式表示）．
【分析】（1）利用三角形的外角性质可求解；
（2）由直角三角形的性质和角平分线的性质可得AF＝FC，AF＝BF，通过证明△ABG∽△BCA和△ABF∽△BAD，利用相似三角形的性质可求解；
（3）通过证明△ABH∽△ACB，可得AB2＝AC×AH，设BD＝m，AB＝km，由勾股定理可求AC的长，可求AH，HC的长，即可求解．
【答案】（2）BGAC=12k（3）AHCH=14k2−2
【解答】
（1）∵AB＝AD
∴∠ABD＝∠ADB
∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB+∠BAE
∴∠BAE＝∠DAC
（2）设∠DAC＝α＝∠BAE，∠C＝β
∴∠ABC＝∠ADB＝α+β
∵∠ABC+∠C＝α+β+β＝α+2β＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°＝α+∠EAC
∴∠EAC＝2β
∵AF平分∠EAC
∴∠FAC＝∠EAF＝β
∴∠FAC＝∠C，∠ABE＝∠BAF＝α+β
∴AF＝FC，AF＝BF
∴AF＝12BC＝BF
∵∠ABE＝∠BAF，∠BGA＝∠BAC＝90°
∴△ABG∽△BCA
∴BGAC=ABBC
∵∠ABE＝∠BAF，∠ABE＝∠AFB
∴△ABF∽△BAD
∴ABBD=BFAB，且AB＝kBD，AF＝12BC＝BF
∴k＝BC2AB，即ABBC=12k
∴BGAC=12k
（3）∵∠ABE＝∠BAF，∠BAC＝∠AGB＝90°
∴∠ABH＝∠C，且∠BAC＝∠BAC
∴△ABH∽△ACB
∴ABAC=AHAB
∴AB2＝AC×AH
设BD＝m，AB＝km，
∵ABBC=12k
∴BC＝2k2m
∴AC＝BC2−AB2=km4k2−1
∴AB2＝AC×AH
（km）2＝km4k2−1×AH
∴AH＝km4k2−1
∴HC＝AC﹣AH＝km4k2−1﹣km4k2−1 ＝ km（4k2−2）4k2−1
∴AHCH=14k2−2
2、阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．
方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．
（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．
用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：
（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．
①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；
②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．想办法证明△AEC≌△AED即可；
方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．想办法证明∠ACD=∠ADC即可；
（2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．理由三角形内角和定理证明即可；
②结论：BD=k•DE．如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK=∠ABC．首先证明△DFE∽△BAK，推出DFAB=DEBK=1k，推出BK=k•DE，再证明△BCD≌△BCK，可得BD=BK；
【答案】（2）①∠DEF=∠FDG．②BD=k•DE
【解析】
（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．
∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
∵∠CDB+∠ACD=90°，
∴∠CAE+∠ACD=90°，
∴∠AEC=90°，
∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，
∴△AEC≌△AED，
∴AC=AD．
方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．
∵∠DCF=∠DCB，∠A=2∠DCB，
∴∠A=∠BCF，
∵∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠A+∠ACF=90°，
∴∠AFC=90°，
∵∠ACF+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，
∴∠ACF=∠B，
∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD，
∴AC=AD．
（2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．
理由：在△DEF中，∵∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°，
在△DFG中，∵∠GFD+∠G+∠FDG=180°，
∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，
∴∠DEF=∠FDG．
②结论：BD=k•DE．
理由：如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK=∠ABC．
∵∠ABK=2∠ABC，∠EDF=2∠ABC，
∴∠EDF=∠ABK，
∵∠DFE=∠A，
∴△DFE∽△BAK，
∴DFAB=DEBK=1k，
∴BK=k•DE，
∴∠AKB=∠DEF=∠FDG，
∵BC=BC，∠CBD=∠CBK，
∴△BCD≌△BCK，
∴BD=BK，
∴BD=k•DE
3、如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE＝CE，点G在线段CD上，CG＝CA，GF＝DE，∠AFG＝∠CDE．
（1）填空：与∠CAG相等的角是 ；
（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；
（3）若∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACD（如图2），求ACAB的值．
【答案】（1）∠CGA； （2）AD＝BD （3）
【解析】（1）∵CA＝CG，∴∠CAG＝∠CGA，
（2）AD＝BD，理由是：
如图，在CG上取点M，使GM＝AF，连接AM，EM，
∵∠CAG＝∠CGA，AG＝GA，
∴△AGM≌△GAF（SAS），
∴AM＝GF，∠AFG＝∠AMG，
∵GF＝DE，∠AFG＝∠CDE，
∴AM＝DE，∠AMG＝∠CDE，
∴AM∥DE，
∴四边形AMED为平行四边形，
∴AD＝EM，AD∥EM，
∵BE＝CE，即点E为BC中点，
∴ME为△BCD的中位线，
∴AD＝ME＝BD；
（3）延长BA至点N，使AD＝AN，连接CN，
∵∠BAC＝∠NAC＝90°，
∴AC垂直平分DN，
∴CD＝CN，
∴∠ACD＝∠ACN，
设∠ACD＝α＝∠ACN，则∠ABC＝2α，
则∠ANC＝90﹣α，
∴∠BCN＝180﹣2α﹣（90﹣α）＝90﹣α，
∴BN＝BC，即△BCN为等腰三角形，
设AD＝1，则AN＝1，BD＝2，
∴BC＝BN＝4，AB＝3，
∴AC＝，
∴
4、如图1，在△ABC 中，点 D，E 分别在 BC，AC 上，BD=BA，点 F 在 BE 上，FA=FE，
∠AFE=∠ABD.
（1）在图1中找出与∠EBC 相等的角，并证明；
（2）求证∠BEA=∠BED；
（3）如图2，连接 FD，点 M 在 EF 上，∠EDM+∠EDF=180°，AE=kDE，求AFME的值.

图1 图2
【答案】（1）∠BAF (3)k-1
【解析】（1）∠BAF
∵∠AFE=∠ABF+∠BAF，
∵∠AFE=∠ABD
∴∠ABD=∠ABF+∠BAF
∵∠ABD=∠ABF+∠EBC
∴∠EBC＝∠BAF，
故答案为：∠BAF；
在BF上截取BP=AF
由（1）可知∠EBC＝∠BAF

∵AB=AD,BP=AF
∴△ABF≌△BDP（SAS），
∴BF＝DP，∠AFB=∠BPD
∴∠AFE=∠DPE
∵FA=FE
∴BP＝FE，
∴BF=PE，
∴PE=PD
∴∠PDE=∠PED
设∠DPE=∠AFE=α，则
在△AFE中，∠AFE+∠FEA+∠FAE=180°，∴∠BEA==90°-α
同理在△PDE中，∠BED==90°-α
即∠BED=∠BEA
（3）由（2）知∠AFE=∠DPE，PD=PE
又∵FA=FE
∴△AFE∽△PDE，
∴
设PE＝PD＝a，则FA=FE＝ka，则PF＝(k-1)a，
∵∠EDM+∠EDF=180°
∴∠EDM=180°-∠EDF，
∴∠1+∠PDE=∠2+∠PED，
∴∠1＝∠2
∴△PDM∽△PFD，
∴
∴PM·(k-1)a=a2
则PM=，ME=
∴FAME= ka kak−1=k−1