中考数学必考特色题型讲练(河南专用)圆的综合证明压轴题(原卷版+解析)

这是一份中考数学必考特色题型讲练(河南专用)圆的综合证明压轴题(原卷版+解析)，共31页。

观察近几年大连中考试卷，可以看出圆作为中考必考知识点，也是学生复习的重点部分。在选择中一般考查圆周角定理等基础知识点，难度相对较低，在压轴解答题部分会结合全等三角形和相似三角形以及三角函数考查，涉及知识点更多也更复杂，需要学生掌握一定的辅助线做法和解题思路。
【知识点1】
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的性质：圆内接四边形对角互补。
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
例题1、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（ ）
A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm

【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
变式练习1、AB为⊙O的弦，OC⊥AB，C为垂足，若OA＝2，OC＝l，则AB的长为( )．
A． B． C． D．
变式练习2、如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（ ）
A．5m B．8m C．7m D．m
【点评】解决此题的关键是将这样的实际问题抽象为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．
【知识点2】
弧长公式：l=nπr180 扇形面积公式：S=nπr2360=12lr
圆锥侧面展开扇形面积：S=πrR
例题1、如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于点P，则图中阴影部分的面积是多少?
【点评】由MPN与AD相切，易求得扇形MEN的半径，只要求出圆心角∠MEN就可以利用扇形面积公式求得扇形MEN的面积．
变式练习1、如图所示，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10cm，图中阴影部分的面积为( )．
A． B． C． D．
变式练习2、如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
变式练习3、若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为______.
【知识点3】
切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
反证法：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；
外心：外接圆圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；
内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
切线的判定方法：
例题1、如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90∘，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC.
求证：DE是⊙O的切线。
变式练习1、如图，△ABC中AB=AC，D是BC边的中点，以点D为圆心的圆与AB相切于点E.
求证：AC与D相切。
变式练习2、如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，点C在半圆上，且∠ACD=∠B；
求证：DC为 ⊙O切线；

变式练习3、如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90∘，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC.
求证：DE是⊙O的切线。
【模型练习】
圆与角平分线：
已知AB是直径，E、C是圆上的点，连接AC。
AC平分∠BAE；
AD⊥CD； （知二推一）
DC是圆O的切线；
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E。
求证：BD=BE；
若DE=2，BD=，求CE的长。
2、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弦AD与OC相交于点E，与BC相交于点F，AE=DE。
求证：∠CBD=∠OCB
若⊙O的半径为2，BC=8，求DF的长
3、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线CE交AB于D，交⊙O于E，EF为⊙O的切线，交CB的延长线于F.
求证：EF∥AB；
求BF的长。
4、如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若AB=10，AC=8，求EF的长。
圆与等腰三角形：
1、如图，AB是O的直径，点C在O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与O过点A的切线相交于点E.
(1)∠ACB=___°，理由是：；
(2)猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；
(3)若AB=8，AD=6，求BD.
2、如图，△ABC 内接于⊙O，BC 是⊙O 的直径，弦 AF 交 BC 于点 E，延长 BC 到点 D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF.
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为 5，CE=2，求 EF 的长。
3、如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E．
（1）求证：BD=BE；（2）若DE=2，BD=，求CE的长．
1、已知三角形ABC，以AB为直径的圆O分别交AC与D，BC于E，连接ED，若ED=EC
（1）求证：AB=AC
（2）若AB=4，BC=23，求CD的长
2、如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的圆O分别交AC、BC于点 D、E，BC的延长线与圆O的切线AF交于点 F.
(1)求证：∠ABC =2∠CAF ；
(2)若AC =2， CE : EB =1:4，求CE 的长。
3、AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．
4、如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP
（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；
（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．
5、如图1，△ABC内接于⊙O，直线 MN 与⊙O 相切于点 D，OD 与 BC 相交于点 E，BC∥MN．
（1）求证∠BAC=∠DOC；
（2）如图2，若AC是⊙直径，E是OD的中点，⊙的半径4，求AE的长．
图1 图2
圆的综合证明压轴题
观察近几年大连中考试卷，可以看出圆作为中考必考知识点，也是学生复习的重点部分。在选择中一般考查圆周角定理等基础知识点，难度相对较低，在压轴解答题部分会结合全等三角形和相似三角形以及三角函数考查，涉及知识点更多也更复杂，需要学生掌握一定的辅助线做法和解题思路。
【知识点1】
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的性质：圆内接四边形对角互补。
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
例题1、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（ ）
A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm

【答案】D；
【解析】连OA，由垂径定理知AD=12AB=3cm，
所以在Rt△AOD中，AO=OD2+AD2=32+42=5（cm）．
所以DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.
【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
变式练习1、AB为⊙O的弦，OC⊥AB，C为垂足，若OA＝2，OC＝l，则AB的长为( )．
A． B． C． D．
【答案】D；
【解析】先求AC=22−12=3.再求AB=2AC=23.
变式练习2、如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（ ）
A．5m B．8m C．7m D．m

【答案】B；
【解析】如图2， AB表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为AB的中点，
CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为AB的圆心，根据垂径定理的推论可知，
C、D、O三点共线，且OC平分AB．
在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．∴ OD＝5，
∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m．
【点评】解决此题的关键是将这样的实际问题抽象为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．
【知识点2】
弧长公式：l=nπr180 扇形面积公式：S=nπr2360=12lr
圆锥侧面展开扇形面积：S=πrR
例题1、如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于点P，则图中阴影部分的面积是多少?
【答案】 13π
【解析】∵ BC＝AD＝3，∴ BE= 32 ．
连接PE，∵ AD切⊙E于P点，∴ PE⊥AD．
∵ ∠A＝∠B＝90°．
∴ 四边形ABEP为矩形，
∴ PE＝AB＝1．
在Rt△BEM中，BEME=321=32，∠BEM＝30°．
同理∠CEN＝30°，∴ ∠MEN＝180°-30°×2＝120°．
∴ S扇形=nπR2360=120×π×12360=π3．
【点评】由MPN与AD相切，易求得扇形MEN的半径，只要求出圆心角∠MEN就可以利用扇形面积公式求得扇形MEN的面积．
变式练习1、如图所示，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10cm，图中阴影部分的面积为( )．
A． B． C． D．
【答案】B；
【解析】如图，因为AD∥BC，∠ADC＝120°，所以∠BCD＝60°，
因为AC平分∠BCD，所以∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝30°，
所以∠BAC＝90°，BC为圆的直径，所以AD＝DC＝AB．
设BC的中点为O，连接OA、OD，由题意可知点A、D三等分半圆，
则∠AOD＝60°，且OA＝OD＝AB＝AD＝CD，BC＝2AD，所以AB+AD+CD+BC＝10，
所以半径为2，则S阴影=S扇形−SΔAOD=2π3−3．

变式练习2、如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
【答案】13；
【解析】在Rt△ABE中，BE =22−（3）2= 1 = 12AE
∴∠BAE=30°，
∴∠DAE=60°，
∴圆锥的侧面展开图的弧长为：60π×2180 = 23π，
∴圆锥的底面半径为 23π÷2π = 13．
变式练习3、若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为______.
【答案】180°
【解析】设圆锥母线长为R，底面半径为r，
则S侧面积=2S底面积, 所以πrR=2πr2，即R=2r，
利用圆锥侧面的弧长求解圆心角度数：
所以 n×π×2r180=2πr，所以n=180°.
【知识点3】
切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
反证法：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；
外心：外接圆圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；
内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
切线的判定方法：
例题1、如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90∘，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC.
求证：DE是⊙O的切线。
【答案】DE是⊙O的切线
【解析】
连接BD，∵∠BAD=90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠DEC+∠CDE=90°，
∵∠DEC=∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE=90°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，
∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
变式练习1、如图，△ABC中AB=AC，D是BC边的中点，以点D为圆心的圆与AB相切于点E.
求证：AC与D相切。
【答案】AC是D的切线。
【解析】
证明：作DF⊥AC于F，连接AD、DE.
∵AB是D的切线，
∴DE⊥AB，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，
∴△ADE≌△ADF，
∴DF=DE，
∴AC是D的切线。
变式练习2、如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，点C在半圆上，且∠ACD=∠B；
求证：DC为 ⊙O切线；

【答案】DC为 ⊙O切线
【解析】
证明：如图所示，链接OC，
因为OB=OC,所以∠OCB=∠B，
因为∠ACD=∠B，
所以∠ACD=∠OCB
因为AB是⊙O的直径，
所以∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
所以∠ACO+∠ACD=90°=∠OCD
所以DC为 ⊙O切线。
变式练习3、如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90∘，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC.
求证：DE是⊙O的切线。
【答案】DE是⊙O的切线
【解析】
连接BD，∵∠BAD=90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠DEC+∠CDE=90°，
∵∠DEC=∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE=90°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，
∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
【模型练习】
圆与角平分线：
已知AB是直径，E、C是圆上的点，连接AC。
AC平分∠BAE；
AD⊥CD； （知二推一）
DC是圆O的切线；
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E。
求证：BD=BE；
若DE=2，BD=，求CE的长。
【答案】（2）
【解析】（1）设∠BAD=α
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD=α
∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90°
∴∠ABC=90°-2α
∵BD是⊙O的切线 ∴BD⊥AB
∴∠DBE=2α
∠BED=∠BAD+∠ABC=90°-α
∴∠D=180°-∠DBE-∠BED=90°-α
∴∠D=∠BED
∴BD=BE
（2）设AD交⊙O于点F，CE=，连接BF
∵AB是⊙O的直径
∴∠AFB=90°
∵BD=BE,DE=2
∴FE=FD=1
∵BD=
∴
∴AC=2
∴AB==2
在Rt△ABC中
有勾股定理可知：
∴解得：或
∴
2、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弦AD与OC相交于点E，与BC相交于点F，AE=DE。
求证：∠CBD=∠OCB
若⊙O的半径为2，BC=8，求DF的长
【答案】（2）DF=655
【解析】（1）证明：∵AE=DE
∴OE⊥AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∴BD⊥AD
∴OE∥BD
∴∠CBD=∠OCB
（2）
连接AC、CD，如图
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=∠ACB=90°
∵⊙O的半径为,BC=8
∴AB=
∴AC==4
∵OB=OC
∴∠ABC=∠OCB
∴∠ABC=∠CBD
∴CD=AC=4
∵∠CDA=∠ABC
∴∠CDA=∠CBD
∵∠DCF=∠BCD
∴△DCF∽△BCD
∴
∴
∴BF=BC-CF=6
∵∠ACB=∠ADB=90°,∠ABC=∠CBD
∴△ABC∽△FBD
∴
∴
3、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线CE交AB于D，交⊙O于E，EF为⊙O的切线，交CB的延长线于F.
求证：EF∥AB；
求BF的长。
【答案】（2）BF=
【解析】
（1）证明：
连接OE
∵∠ACE=∠BCE
∴弧AE=弧BE
∴OE⊥AB
∵EF是切线
∴OE⊥EF
∴EF∥AB
（2）作CH⊥AB于H
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴BC=
∵
∴
∵CH∥OE
∴△CDH∽△EDO
∴
∵DB∥EF
∴
∴BF=
4、如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若AB=10，AC=8，求EF的长。
【答案】（2）EF=2.1
【解析】（1）证明：
连接OC，则∠ACO=∠CAO
∵CD切⊙O于C
∴CO⊥CD
又∵AD⊥CD
∴AD∥CO
∴∠DAC=∠CAO
∴AC平分∠BAD
（2）如图，BE、OC交于G
∵AB是⊙O的直径
∴BE⊥AD
∵CD是⊙O的切线
∴CD⊥OC
∴四边形EGCD是矩形
∴DE=CG，CD=EG
∴OC⊥BE
设DC=EG=BG= ，OG= ，则AE=
在Rt△ADC中，，即①
在Rt△OGB中，，即②
①-②得，
解得：，
即AE=2 1.4=2.8，DC=4.8
∵AB为直径，AD⊥DC
∴∠D=∠AEF=90°
∵∠EAF=∠DAC
∴△AEF∽△ADC
∴
∴
∴EF=2.1
圆与等腰三角形：
1、如图，AB是O的直径，点C在O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与O过点A的切线相交于点E.
(1)∠ACB=___°，理由是：；
(2)猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；
(3)若AB=8，AD=6，求BD.
【答案】（1）90°，直径所对的圆周角是直角；
（2）△EAD是等腰三角形；
（3）
【解析】(1)∵AB是O的直径，点C在O上，
∴∠ACB=90∘(直径所对的圆周角是直角)
(2)△EAD是等腰三角形。
证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，
∴∠CBD=∠ABE
∵AE是O的切线,∴∠EAB=90∘
∴∠AEB+∠EBA=90∘，
∵∠EDA=∠CDB,∠CDB+∠CBD=90∘，
∵∠CBE=∠ABE，
∴∠AED=∠EDA，
∴AE=AD
∴△EAD是等腰三角形。
（3）∵AE=AD AD=6
∴AE= AD= 6
∵AB=8
∴在直角三角形AEB中,EB=10
∵∠CDB=∠E,∠CBD=∠ABE
∴△CDB∽△AEB,
∴
设CB=4x,CD=3x则BD=5x
∴CA=CD+ DA=3x+6
在直角三角形ACB中
即:
解得:x=-2(舍去)或x=
∴BD=5x=
2、如图，△ABC 内接于⊙O，BC 是⊙O 的直径，弦 AF 交 BC 于点 E，延长 BC 到点 D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF.
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为 5，CE=2，求 EF 的长。
【答案】（1）略；（2）
【解析】(1)∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAF+∠FAC=90∘，
∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，
∴∠D+∠AOD=90∘，
∴∠OAD=90∘， ∴AD是⊙O的切线；
(2)连接BF，
∴∠FAC=∠AOD，
∴△ACE∽△DCA，
∴，
∴，
∴AC=AE=，
∵∠CAE=∠CBF，
∴△ACE∽△BFE，
∴，
∴，
∴EF=.
3、如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E．
（1）求证：BD=BE；（2）若DE=2，BD=，求CE的长．
【答案】（1）略；（2）
【解析】（1）设∠BAD=，
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD=，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-2，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠DBE=2，
∠BED=∠BAD+∠ABC=，
∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE
（2）设AD交⊙O于点F，CE=x，则AC=2x，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵BD=BE，DE=2，
∴FE=FD=1，
∵BD=，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，
由勾股定理可知：，
∴解得：或,
∴CE=.
1、已知三角形ABC，以AB为直径的圆O分别交AC与D，BC于E，连接ED，若ED=EC
（1）求证：AB=AC
（2）若AB=4，BC=23，求CD的长
【答案】（2）CD=32
【解析】解:(1)证明:因为ED=EC,
所以∠CDE=∠C,
又因为四边形ABED是O的内接四边形,
所以∠CDE=∠B,
所以∠B=∠C,
以AB=AC;
(2)连接AE,则易知AE⊥BC,
所以BE=EC=12BC,
在△ABC与△EDC中,
因为∠C=∠C, ∠CDE=∠B,
所以△ABC∽△EDC,
所以

2、如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的圆O分别交AC、BC于点 D、E，BC的延长线与圆O的切线AF交于点 F.
(1)求证：∠ABC =2∠CAF ；
(2)若AC =2， CE : EB =1:4，求CE 的长。
【答案】（2）CE=2.
【解析】
(1)证明：如图，连接BD.
∵AB为O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°.
∵AF是O的切线，
∴∠FAB=90∘，
即∠DAB+∠CAF=90°.
∴∠CAF=∠ABD.
∵BA=BC,∠ADB=90°，
∴∠ABC=2∠ABD.
∴∠ABC=2∠CAF.
(2)如图，连接AE，
∴∠AEB=90∘，
设CE=x，
∵CE:EB=1:4，
∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，
在Rt△ACE中,AC²=CE²+AE²，
即（2)²=x²+(3x)²，
∴x=2.
∴CE=2.
3、AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．
【答案】(2)CD= 2213，
【解析】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A
∴AB⊥AE， ∴∠A＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠BDO＝∠A＝90°，
∵∠BOD＝∠AOE，
∴∠B＝∠E．
（2）如图2，连接AC，
∵OA＝2，OE＝3，
∴根据勾股定理得AE＝5，
∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA，
∴△BOD∽△EOA，
∴BDAE=OBOE,
∴BD5=33,
∴BD＝253，
∴CD＝BD＝253，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝83，，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得AD＝AC2+CD2
＝649+209 ＝ 2213，．
4、如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP
（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；
（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．
【答案】（2）半径为134
【分析】（1）作DF⊥BC于F，连接DB，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠DBC＝∠DCB，得到DB＝DC，根据线段垂直平分线的性质、圆周角定理证明即可；
（2）根据垂径定理求出FC，证明△DEC≌△CFD，根据全等三角形的性质得到DE＝FC＝3，根据射影定理计算即可．
【解析】（1）证明：作DF⊥BC于F，连接DB，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠PAC＝90°，即∠P+∠ACP＝90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，即∠PCA+∠DAC＝90°，
∴∠P＝∠DAC＝∠DBC，
∵∠APC＝∠BCP，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC，
∵DF⊥BC，
∴DF是BC的垂直平分线，
∴DF经过点O，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠BDC＝2∠ODC，
∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD；
（2）解：∵DF经过点O，DF⊥BC，
∴FC＝12BC＝3，
在△DEC和△CFD中，
，
∴△DEC≌△CFD（AAS）
∴DE＝FC＝3，
∵∠ADC＝90°，DE⊥AC，
∴DE2＝AE•EC，
则EC＝DE2AE＝92，
∴AC＝2+92＝132，
∴⊙O的半径为134．
5、如图1，△ABC内接于⊙O，直线 MN 与⊙O 相切于点 D，OD 与 BC 相交于点 E，BC∥MN．
（1）求证∠BAC=∠DOC；
（2）如图2，若AC是⊙直径，E是OD的中点，⊙的半径4，求AE的长．
图1 图2
【答案】 （2）AE=27
【解析】（1）证明：如图1，连接 OB．
∵直线 MN 与⊙O 相切于点 D， ∴MN⊥OD．∴∠ODN＝90°．
∵BC//MN，∴∠OEC＝∠ODN＝90°． ∴OD⊥BC．∴BD=CD
∴∠BOD=∠COD=∠BOC
∵∠BAC=∠BOC，∴∠BAC=∠DOC
（2）解：∵E 是 OD 的中点，∴OE＝OD＝2，
∵OD⊥BC，∴BE＝EC=，
∵OA＝OC，BE＝EC∴AB=2OE=4，
∵AC是⊙直径，∴∠B=90°，∴AE=.