高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率精品学案设计

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学习目标
1.理解两条直线平行与垂直的条件,培养数学抽象的核心素养.
2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直，强化数学运算的核心素养.
3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题，培养逻辑推理的核心素养.
重点难点
1.重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件
2.难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直
课前预习 自主梳理
知识点一 两条直线(不重合)平行的判定
思考：两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
提示 不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．
知识点二 两条直线垂直的判定
思考：当直线m与直线n平行或垂直时，它们对应的斜率有怎样的关系？
提示
当两直线平行时，它们对应的斜率相等．
当两直线垂直时，它们对应的斜率的乘积为－1.
特别地，当两直线的斜率都不存在时，两直线平行．
当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线垂直．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)如果两条直线与垂直，则它们的斜率之积一定为－1.( )
(2)若两条直线平行，则这两条直线的方向向量一定相等．( )
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )
(4)若两条直线的斜率都不存在，且两直线不重合，则这两条直线平行．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
【详解】(1)错误．当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两直线也垂直．
(2)错误．若两条直线平行，则这两条直线的方向向量只要共线即可．
(3)错误．当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线才垂直．
(4)正确．斜率都不存在且不重合的两条直线都是垂直于x轴的直线，所以这两条直线平行．
2.下列说法中，
①若两直线平行，则其斜率相等;
②若两直线斜率之积为-1，则这两条直线垂直;.
③若直线与直线垂直，则.
其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据直线倾斜角与斜率关系、直线垂直的判定判断各项的真假，即可得结果.
【详解】①若两直线平行且两线都垂直于x轴，此时斜率不存在，错误；
②若两直线斜率之积为-1，则这两条直线垂直，正确；
③若直线与直线垂直，则，，错误.
正确命题为②.
故选：A
3.直线和直线平行，则（ ）
A．B．2或C．3D．或3
【答案】A
【解析】用两直线平行的条件求解，注意去除两直线重合的情形即可得．
【详解】由题意，解得或，
时，两直线方程都是，两直线重合，舍去，
时，两直线直线方程分别为，，两直线平行．
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查两直线平行求参数，两直线和平行时，但包括两直线平行和重合，因此需要验证．
4.直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．重合C．平行D．垂直
【答案】C
【解析】根据直线的一般方程满足,则两直线平行.
【详解】解: 直线与直线,
满足,
故直线与直线平行.
故选:C
【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,若两直线满足,则两直线平行.
5.已知直线，则与（ ）
A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直
【答案】A
【分析】由直线的斜率间的关系可得结论．
【详解】因为的斜率分别为，所以，所以.
故选：A.
新课导学
环节一 创设情境，引入课题
为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系．
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?
环节二 观察分析，感知概念
思考
问题1：我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行．
当两条直线与直线平行时，它们的斜率与满足什么关系？
注释：若没有特别说明，说“两条直线，”时，指两条不重合的直线．
如图2.1-7，若，则与的倾斜角与相等，
由，可得，即．
因此，若，则．
环节三 抽象概括，形成概念
反之，当时，，
由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，，因此．
于是，对于斜率分别为，的两条直线，，有
显然，当时，直线的斜率不存在，此时．
若直线，重合，此时仍然有．
用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论．
例2已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论．
解：如图2.1-8，由已知可得直线的斜率，
直线的斜率，因为，
所以直线．
环节四 辨析理解 深化概念
例3已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明．
解：如图2.1-9，由已知可得边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，边所在直线的斜率．
因为，，所以，．
因此四边形是平行四边形．
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交．在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形．
问题2：当直线，垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
设两条直线，的斜率分别为，，则直线，的方向向量分别是，，于是，即．也就是说．
当直线或的倾斜角为时，若，则另一条直线的倾斜角为；
反之亦然．
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；
反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相垂直．
即
环节五 概念应用，巩固内化
例4已知，，，，试判断直线与的位置关系．
解：直线的斜率，直线的斜率，
因为，所以．
例5 已知，，三点，试判断的形状．
分析：如图2.1-10，猜想，是直角三角形．
解：边所在直线的斜率，边所在直线的斜率．
由，得，即，所以是直角三角形．
环节六 归纳总结,反思提升
问题3：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1.知识总结：
利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
环节七目标检测，作业布置
完成教材：第57页 练习 第1，2题
第57 页 习题2.1 第5,6,9,10题
备用练习1. 若直线与直线互相垂直，则a的值为（ ）
A．B．1
C．D．2
【答案】B
【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；
【详解】解：因为直线与直线互相垂直，所以
解得；
故选：B
2.已知直线l经过点O（0，0），且与直线垂直，那么直线l的方程是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意可求出直线l的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．
【详解】直线l与直线垂直，
直线l的斜率为，
则，即
故选C．
【点睛】本题考查了直线方程的求法，考查两直线垂直的等价条件，属于基础题．
4．已知直线l：，若直线l与直线：平行，则m的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平行得到，再排除重合的情况得到答案.
【详解】直线l：，若直线l与直线：平行，
则，解得，
当时，两直线重合，舍去；当时，验证满足.
故选：C.
5.若直线与平行，则实数的值为
A．或B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据两条直线平行的性质可得，，求解的值即可.
【详解】解：直线与化为
所以，，解得：.
故选：B.类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
对应关系
⇔
⇔两直线的斜率都不存在
图示
图示
对应
关系
若(两直线的斜率都存在)
⇔则．
的斜率不存在，的斜率为0⇔