人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优质第2课时学案设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优质第2课时学案设计，文件包含人教A版数学高二选择性必修第一册312椭圆的标准方程及性质的应用第2课时导学案原卷版docx、人教A版数学高二选择性必修第一册312椭圆的标准方程及性质的应用第2课时导学案解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共19页， 欢迎下载使用。

1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养．
2.会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养．
3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题，培养数学运算的核心素养.
重点难点
重点：直线与椭圆的位置关系
难点：直线与椭圆的位置关系的应用
课前预习 自主梳理
要点一 点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
要点二 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示.
思考：直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？
提示 不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上各点的距离不完全相等．
要点三 弦长公式
1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2．求弦长的方法
(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
(2)根与系数的关系法：
设直线方程为,椭圆方程为或,直线与椭圆的两个交点为,则弦长公式为：
则
或
其中,或的值,可通过由直线方程与椭圆方程联立消去(或)后得到关于(或)的一元二次方程,利用根与系数的关系求得.
反思感悟 解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( )
(2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．( )
(3)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的位置关系是相交．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
【详解】 (1)正确．由椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．
(2)错误．因为a>b>0，所以点P(b,0)在椭圆的内部，故过点P无法作椭圆的切线．
(3)正确．直线y＝k(x－a)(k≠0)过点(a,0)且斜率存在，所以直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的位置关系是相交．
2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上.若椭圆C的短轴长为4，离心率为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用短轴长为2b求得,利用离心率与a,c的关系以及的关系求得,得到方程.
【详解】解：由题意可得，即，又， ∴，
∴椭圆C的方程为.故选：B.
3.已知椭圆：，若矩形的四个顶点都在上，则称为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形的外接椭圆的短轴长为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法即可得解.
【详解】因为椭圆的短轴长为，则，即，
所以椭圆方程为，又正方形的边长为4，
由椭圆与正方形的对称性可知，正方形的其中一个顶点坐标为，
所以，解得，所以椭圆的方程为.故选：B.
4.已知F为椭圆C：=1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．-1D．-1
【答案】D
【分析】记椭圆的左焦点为，在中，通过余弦定理得出，，根据椭圆的定义可得，进而可得结果.
【详解】记椭圆的左焦点为，在中，可得，
在中，可得，故，故，故选：D.
5.椭圆的上､下顶点分别为，右顶点为A，右焦点为F，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，利用垂直关系列出方程，转化求解即可.
【详解】解：椭圆的上､下顶点分别为，右顶点为A(a，0)，右焦点为F(c，0)，，可得=﹣1，=1，解得e=.故选：C.
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
例5 如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．试建立适当的平面直角坐标系，求截口所在椭圆的方程（精确到）
环节二 观察分析，感知概念
解：建立如图3.1-11所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为．
在中，
．
由椭圆的性质知，，所以
．
．
所以，所求椭圆的方程为
．
环节三 抽象概括，形成概念
椭圆、分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一动点.
左准线,右准线
椭圆第二定义:
到左焦点的距离与它到左准线的距离的比为离心率,即;
到右焦点的距离与它到右准线的距离的比为离心率,即
焦半径公式:.
环节四 辨析理解 深化概念
例6 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹．
解：如图3.1-12，设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合
．
由此得
．
将上式两边平方，并化简，得
即
．
所以，点的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆．
环节五 概念应用，巩固内化
问题2：若已知椭圆和直线的方程，如何判断是哪种情况？
【活动预设】相切、相交、相离的本质是什么？
【答案预设】交点的个数分别为1，2，0
【设计意图】将题目转化为求交点个数的问题
【活动预设】交点的本质是什么？
【答案预设】交点是同时满足两个曲线方程的点
【设计意图】将交点个数问题转化为方程组解的个数的问题(几何代数)
例7如图3.1-13，已知直线和椭圆，为何值时，直线与椭圆：
（1）有两个公共点?（2）有且只有一个公共点?（3）没有公共点?
如何求解方程组的解和解的个数
【活动预设】如何求方程组的解
【预设答案】将直线方程代入曲线方程
【活动预设】代入后会变成什么方程？
【预设答案】一元二次方程
【活动预设】如何判断解的个数
【预设答案】看Δ＞0，＜0或者＝0
分析：直线与椭圆的公共点的个数与方程组解的个数相对应．所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答．
解：由方程组
．
消去，得
= 1 \* GB3 ①
方程 = 1 \* GB3 ①的根的判别式
．
由，得．此时方程 = 1 \* GB3 ①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点．
由，得，．此时方程 = 1 \* GB3 ①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点．
由，得或．此时方程 = 1 \* GB3 ①没有的实数根，直线与椭圆没有公共点．
【探究】类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？
【预设的答案】相交、相切、相离
[提示] 直线与椭圆的位置关系有相离、相交、相切三种．判断方法是联立直线与椭圆方程，转化为关于x(或y)的一元二次方程，利用判别式Δ判断．
环节六 归纳总结,反思提升
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


1．知识清单：
(1)实际生活中的椭圆问题．
(2)直线与椭圆的位置关系．
(3)中点弦的求法．
2．方法归纳：分类讨论法、点差法．
3．常见误区：忽略直线中斜率不存在的情况．
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
环节七目标检测，作业布置
完成教材：第114页 练习 第1，2题
第115 页 习题3.1 第13,14题
备用练习
1.已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（ ）
A．4B．5C．7D．8
【答案】D
【分析】将椭圆的方程化为标准形式，进而根据焦距求出m的值.
【详解】将椭圆的方程化为标准形式为
，
显然，即，
，解得.
故选：D
2.设分别是椭圆的左，右焦点，离心率为，M是椭圆上一点且与x轴垂直，则直线的斜率为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据离心率求出，代入点M的横坐标，求出，由斜率公式求出答案.
【详解】因为离心率为，可得，即，
因为，所以，故
因为与x轴垂直，故点M的横坐标为c，
将代入椭圆方程，，即，
故，
则，直线的斜率为.
故选：C.
3.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，P为C上的一点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由椭圆定义利用余弦定理得出的等式，变形后可求得离心率．
【详解】由题意，，，
在中，由余弦定理得
，
所以．
故选：B．
4.已知点P(x,y)(x≠0，y≠0)是椭圆+=1上的一个动点，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上的一点(不与点P重合)，且=0，则||的取值范围为（ ）
A．[0，3)B．(0，2)
C．[2，3)D．[0，4]
【答案】B
【分析】延长PF2，F1M，交于点N，易知△PF1N为等腰三角形，利用椭圆的定义及中位线性质可得||=|||-|||，再结合题设及椭圆的有界性，讨论P的位置确定||的取值范围.
【详解】如图，延长PF2，F1M，交于点N，则△PF1N为等腰三角形，M为F1N的中点，
∴||=||=|||-|||=|||-|||.
由图知：当P在短轴端点时，||取得最小值，此时||=0；当P在长轴端点时，||取得最大值，此时||=2，而P不能在坐标轴上，故取不到端点值，
∴||的取值范围为(0，2).
故选：B
5.（多选题）已知椭圆的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（ ）
A．椭圆C的焦点在x轴上B．△的周长为
C．的取值范围为D．椭圆的离心率为
【答案】ABD
【分析】由椭圆方程确定椭圆参数值，A根据参数a、b的大小关系判断；B由△的周长为判断；C根据椭圆的有界性判断；D直接求离心率判断.
【详解】A：由椭圆方程知：，故椭圆C的焦点在x轴上，正确；
B：由，且△的周长为，正确；
C：由P为椭圆C上的动点且不在x轴上，则，错误；
D：椭圆的离心率为，正确.
故选：ABD
直线与椭圆
解的个数
Δ的取值
两个不同的公共点
两解
Δ＞0
一个公共点
一解
Δ＝0
没有公共点
无解
Δ＜0