高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线优秀第1课时学案设计

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学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．
2.能利用性质解决与抛物线有关的问题．
3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.
重点难点
重点：抛物线的标准方程及其推导过程
难点：求抛物线标准方程
课前预习 自主梳理
知识点一 抛物线的几何性质
1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,
其共同点:
(1)顶点都为原点;
(2)对称轴为坐标轴;
(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14;
(4)焦点到准线的距离均为p.
其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;
2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.
【思考】怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?
【提示】开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
知识点二 抛物线的焦点弦长
斜率为k的直线l经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，你能想到哪些求弦长|AB|的方法？
【提示】法一：利用两点间的距离公式；
法二：利用弦长公式|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|；
法三：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p.
◆焦点弦
直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，故|AB|＝x1＋x2＋p.
知识点三 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数取决于关于x的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px))的解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)抛物线没有渐近线．( )
(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.( )
(3)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切．( )
(4)抛物线y2＝2px(p＞0)的图象上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.( )
【答案】(1)√ (2)× (3)× (4)√
【详解】 (1)正确．渐近线是圆锥曲线中双曲线的特有性质，抛物线没有渐近线．
(2)错误．过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为2p，此弦长也称为通径长．
(3)错误．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个公共点，此时不相切．
(4)正确．因为p＞0，y2≥0，所以x≥0.
2.下列命题中正确的是（ ）
A．抛物线 的焦点坐标为 ．
B．抛物线 的准线方程为 x =−1．
C．抛物线 的图象关于 x 轴对称．
D．抛物线 的图象关于 y 轴对称．
【答案】C
【分析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案.
【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，故A错误；
抛物线 的准线方程为，故B错误；
抛物线 的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误；
故选：C.
3.（多选题）以轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由题意设、，根据已知可得，即可得抛物线方程.
【详解】由题意，若，则焦点为，故，所以，即；
若，则焦点为，故，所以，即；
综上，，则.
故选：AB
4.已知抛物线上一点，则点A到抛物线焦点的距离为 .
【答案】
【分析】先根据抛物线的方程求出准线方程，进而利用点A的纵坐标求得到点A准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案.
【详解】解：由题意得：
抛物线的准线方程为
点A到准线的距离为
根据抛物线的定义可知点A与抛物线的距离就是点A与抛物线准线的距离
点A与抛物线焦点的距离为
故答案为：
5.已知抛物线上一点到焦点和点的距离之和的最小值为，则此抛物线方程为 ．
【答案】
【分析】利用抛物线的定义，求出未知数p.
【详解】根据抛物线的定义，到焦点与点的距离之和等于点到准线的距离与到点的距离之和，其最小值为点到准线的距离，即，所以，所以抛物线方程为.
【点睛】本题主要考查抛物线的方程和几何性质，考查数学运算能力,数形结合思想.
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线①
的哪些几何性质？如何研究这些性质？
【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。
【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。
问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？
【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为
环节二 观察分析，感知概念
1．范围
问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？
【预设答案】在方程中，并无限制，因此。而因为，且，所以。
【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。
因为，由方程①可知，对于抛物线上的点，，，
当时，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；
当的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
问题4：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？
【预设答案】学生观察图形容易得到开口向右的抛物线关于轴对称，没有对称中心。
问题5：从“数”的角度，怎样说明抛物线图像关于x轴对称？
以代，方程①不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
【教师讲授】要说明抛物线的图像关于x轴对称，只需要在抛物线上任取一点，关于x轴的对称点也在抛物线上即可。
【设计意图】引导学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的对称性。
环节三 抽象概括，形成概念
3．顶点
问题6：根据图形，观察抛物线的顶点是什么？
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程①中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点．
【预设答案】
问题7：从“数”的角度，如何从方程中得到抛物线的顶点？
【教师讲授】在抛物线的方程中，，令，得到。
【设计意图】引导学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的顶点。
【教师讲授】给出抛物线离心率的定义，并根据抛物线的定义，得出离心率为1。
此时，继续引导学生复习椭圆和双曲线的定义和取值范围。
4．离心率
抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率，用表示．
由抛物线的定义可知，．
环节四 辨析理解 深化概念
例3 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程．
解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，所以可设它的标准方程为．
因为点在抛物线上，所以，解得．
因此，所求抛物线的标准方程是．
【预设答案】由已知抛物线的开口向右，故设抛物线的标准方程为。将带入方程，得到，故抛物线的方程为。
变式训练：已知抛物线对称轴为坐标轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求抛物线的标准方程。
【预设答案】或
【设计意图】
（1）例题1和变式训练都是对抛物线性质的初步应用，进一步强化待定系数法求抛物线方程的训练。
思考
顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程．
因为点在第四象限，所以抛物线的开口方向可能向右，也可能向下．
当抛物线开口向右时，抛物线的标准方程是．
当抛物线的开口向下时，设它的标准方程为，将代入，得
，解得，所以所求抛物线的标准方程是．
综上可知，所求抛物线的标准方程是和．
环节五 概念应用，巩固内化
例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长．
分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线的斜率为1，所以可以求出直线的方程；与抛物线的方程联立，可以求出，两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出，这种方法思路直接，具有一般性．请你用此方法求．
下面介绍另外一种方法——数形结合的方法．
在图3.3-4中，设，．由抛物线的定义可知，等于点到准线的距离．由，，得，于是，同理，，于是得
．
由此可见，只要求出点，的横坐标之和，就可以求出．
解：由题意可知，，，焦点的坐标为，准线方程为．如图3.3-4，
设，，，两点到准线的距离分别为，，由抛物线的定义，可知
，，于是．
因为直线的斜率为1，且过焦点，所以直线的方程为． ①
将①代入方程，得，化简，得．
所以，．
所以，线段的长是8．
如果直线不经过焦点，还等于吗？
环节六 归纳总结,反思提升
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：
（1）抛物线的简单几何性质有哪些？
（2）你是如何研究抛物线的简单几何性质的？
（3）抛物线的简单几何性质有什么应用？
设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教材
（2），（3），（4）； 3.
设计意图：提升学生应用知识和方法解题的能力。
备用练习
1.已知抛物线上一点与其焦点的距离为5，则点到轴的距离等于（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义求解即可.
【详解】设，焦点为,，
由抛物线的定义可知： ，所以，
将其代入抛物线方程中得故，所以点到轴的距离等于4，
故选：B
2.已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.
【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，
则，将代入可得，则.
故选：C.
3.是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题可设，，利用的面积算出，再结合图形求出.
【详解】如图，
∵，知两点关于轴对称，
设，
∴，解得，
∴，∴，
∴，∴.
故选：C
4.抛物线上一点P和焦点F的距离等于6，则点P的横坐标（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】计算准线方程得到，解得答案.
【详解】抛物线的准线方程为，设点的横坐标为，
到焦点的距离等于，故.
故选：B.
5.已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，若以F为圆心，|FO|为半径的圆与直线相切，则抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可求出的值.
【详解】易知焦点坐标，半径为，
因为圆与直线相切，，所以 ，解得或(舍)，
所以抛物线的准线方程为.
故选：A.
标准
方程
y2＝2px (p＞0)
y2＝－2px (p＞0)
x2＝2py (p＞0)
x2＝－2py (p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
开口方向
向右
向左
向上
向下
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1