中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇专题12二次函数与四边形综合(原卷版+解析)

这是一份中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇专题12二次函数与四边形综合(原卷版+解析)，共74页。试卷主要包含了，与y轴交于点C，，且tan∠OAC=12，，交y轴于点C，连接AC，BC等内容，欢迎下载使用。
——二次函数与四边形综合（重庆专用）
1．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）如图，已知抛物线y=ax2+bx+23与x轴交A2,0，B6,0，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)若点P是直线BC下方抛物线上一点，且位于对称轴左侧，过点P作PD⊥BC于点D，作PE∥x轴交抛物线于点E，求PD+12PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线ax2+bx+23向左平移2个单位长度得到新抛物线y'，平移后的抛物线y'与原抛物线交于点Q，点M是原抛物线对称轴上一点，点N是新抛物线上一点，请直接写出使得以点B，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c的顶点为D2,8，与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，连接AD，BC，点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥AD交CB于点Q，求PQ的最大值及此时点P的坐标；
(3)将该抛物线关于直线x=1对称得到新抛物线y1，点E是原抛物线y和新抛物线y1的交点，F是原抛物线对称轴上一点，G为新抛物线上一点，若以E、F、A、G为顶点的四边形是是平行四边形，请直接写出点F的坐标．
3．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+12与x轴交于点A−43，0，B23，0，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式：
(2)过点B作BD∥AC，交抛物线于点D，点P直线AC上方抛物线上一动点，连接PA，PC，AD，CD，求四边形PADC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线y=ax2+bx+12沿射线AC平移23个单位，新抛物线与y轴交于点Q，点E为新抛物线对称轴上一点，F为平面直角系中一点，直接写出所有使得以点B，Q，E，F为顶点的四边形是菱形的点F的坐标，并把求其中一个点F的坐标的过程写出来．
4．（2022春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A、B(4，0)两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C(0，2)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接BC，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）的一动点，过点P作PF//BC交x轴于点F，PE//x轴交AC于点E，PH//y轴交BC于点H，HQ⊥PF，垂足为点Q，求PE+PQ的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线BC方向平移5个单位得到新抛物线y'，点M为原抛物线对称轴上一点，在新抛物线y'上是否存在一点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
5．（2022秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图1，抛物线y=−x2+3x+4与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接AC,BC．
(1)求△ABC的面积；
(2)如图2，点P为直线上方抛物线上的动点，过点P作PD∥AC交直线BC于点D，过点P作直线PE∥x轴交直线BC于点E，求PD+PE的最大值及此时P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将原抛物线y=−x2+3x+4沿射线AC方向平移217个单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
6．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=32x−12与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=38x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为第四象限的抛物线上一动点，连接BD，与AC相交于点E，设点D的横坐标为t，EDEB＝K，求K与t的函数关系，及K的最大值和此时点D的坐标；
(3)在（2）中K取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移4个单位，点F为点D的对应点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
7．（2022秋·重庆·九年级重庆八中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于点A−1,0，B4,0，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点P为直线BC下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交BC于点Q，过点P作x轴的平行线交y轴于点F，过点Q作x轴的平行线交y轴于点E，求矩形PQEF的周长最大值及此时点P的坐标．
(3)将抛物线y=ax2+bx−3沿射线CB方向平移，当它对称轴左侧的图象经过点B时停止平移，记平移后的抛物线为y'，设y'与x轴交于B、D两点，作直线CD，点M是直线BC上一点，点N为直线CD上的一点，当以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的M点的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
8．（2022秋·重庆·九年级重庆八中校考阶段练习）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），且tan∠OAC=12．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AC下方对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQ//x轴交抛物线于点Q，过点P作PR⊥x轴交AC于点R，若PQ+PR=32，求点P的坐标；
(3)将抛物线y=x2+bx+c向右平移一个单位，向下平移一个单位得到新抛物线，在新抛物线上有点 M，在原抛物线对称轴上有点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
9．（2022·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）在平面直角坐标系中， 抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于点 A−2,0 、点 B （点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C， 且过点 2,3．
(1)求抛物线的表达式：
(2)如图 1， 点 P 为直线 BC 上方抛物线上 （不与 B、C 重合） 一动点， 过点 P 作 PD∥ y轴， 交 BC 于 D，过点 P 作 PE∥x 轴， 交直线 BC 于 E， 求 PE+DB 的最大值及此时点 P 的坐标；
(3)如图 2， 将原抛物线沿 x 轴向左平移 1 个单位得到新抛物线 y'， 点 M 为新抛物线 y' 上一点， 点 N 为原抛物线对称轴上一点， 当以点 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形时， 求点 N 的坐标， 并写出求其中一个 N 点坐标的解答过程．
10．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝35x2+125x﹣3交x轴于点A，点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接AC，BC．P是第三象限内抛物线上一动点，过P作PE∥y轴交AC于点E，过E作EF∥BC交x轴于点F．
(1)求△ABC的面积；
(2)求PE+1010EF+FO的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线y＝35x2+125x﹣3平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P，点Q为x轴下方的新抛物线上一点，R为x轴上一点，直接写出所有使得以点A，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形的点R的坐标．
11．（2022秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，连接BC．点A的坐标为(3，0)，tan∠OBC＝34．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为线段BC下方的抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E，求PD+32DE的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线CA方向平移33个单位长度，得到抛物线y'，M为y'对称轴上一动点，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以B、M、N、C四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标，若不存在，在请说明理由．
12．（2021秋·重庆·九年级重庆南开中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣14x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC交抛物线于D，点E为直线AD上一动点，连接CP，CE，BP，BE，求四边形BPCE面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线CB方向平移52个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
13．（2021秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在平面角坐标系中，已知抛物线y=x2−2x−3与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
（1）求A点、C点的坐标；
（2）点P是第四象限内的抛物线上一点，连接AC，CP，BP．若四边形ACPB的面积为638，请求出此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线AC方向平移10个单位长度得到新抛物线y'，新抛物线y'与原抛物线对称轴交于点D．点E为新抛物线y'上的一个动点，点F为直线BC上一点，直接写出所有使得以点D，E，F，B为顶点构成的四边形是平行四边形的点E的横坐标，并把求其中一个点E的横坐标的过程写出来．
14．（2021·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），且点A的坐标为(3,0)，连接BC，过点A作AD//BC交y轴于点D，OB=3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一点，求四边形PBEC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点C，平移后点A的对应点为点A'，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y'的对称轴上一点，在新抛物线y'上存在一点M，使以点M，Q，A'，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．
15．（2020秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,2)．
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图1，点D为第一象限内抛物线上一点，连接OD、BC交于点E，过点D作DG⊥x轴于G，交BC于点F，连接DB，P为x轴上一动点，当S△DBES△OBE取得最大值时，求点D的坐标及DP+55BP的最小值；
（3）如图2，在满足（2）问的条件下，将直线OD沿y轴负方向平移得到直线1，使它经过点G，点M为直线l上一点，点N为抛物线上一点，若以F、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
16．（2020春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，抛物线y=ax2−bx−4与x轴交于A−2,0，B6,0两点，与y轴交于点C．连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，M为线段OB的中点，过点M作MN//BC，交y轴与点N，P是抛物线上位于直线BC下方的一个动点，连接PM，交BC于点Q，连接PN，NQ，当△PNQ的面积最大时，求出此时点P的坐标及△PNQ的面积最大值；
（3）当点P满足（2）问的条件时，在直线BC上是否存在一点E，在平面内是否存在一点F，使得以点P，E，C，F为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
17．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−18x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C0,1，且OA=2OC．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为线段BC上方抛物线上一动点，过P点作线段BC的垂线交BC于点R，作x轴的平行线交BC于点Q，当△PQR的周长最大时，请求出△PQR周长的最大值及点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线y沿射线CA方向平移5个单位到新抛物线y1，M为新抛物线y1与原抛物线y的交点，N为原抛物线对称轴上一点，S为平面上任意一点，是否存在点S使得以点M，N，P，S为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出满足条件的S点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2021秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A−2,0，B6,0，与y轴交于点C，且CO:AO=1:2．连接BC，与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，连接PC、PD，求△PCD面积的最大值，及当△PCD面积最大时点P的坐标；
（3）M为抛物线对称轴上一点，N为抛物线上一点，在（2）的基础上，是否存在这样的点M，使得以点P、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2021秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其中A（– 4，0），B（2，0），C（0，– 4）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，PD⊥AC，当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；
（3）将ΔBOC沿直线BC平移，平移后的三角形为ΔB'O'C'（其中点O'与点O不重合），点S是坐标平面内一点，若以A，C，O'，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点O'的坐标．
20．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A−3,0和B4,0，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的函数解析式；
(2)如图，点P在直线BC上方的抛物线上运动，过点P作PD∥AC交BC于点D，作PE⊥x轴交BC于点E，求72PD+4PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中72PD+4PE取最大值的条件下，将抛物线沿水平方向向右平移4个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，点Q为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点Q、G、M、N为顶点的叫边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
二轮复习【中考冲刺】2022-2023年中考数学重要考点
名校模拟题分类汇编专题12
——二次函数与四边形综合（重庆专用）
1．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）如图，已知抛物线y=ax2+bx+23与x轴交A2,0，B6,0，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)若点P是直线BC下方抛物线上一点，且位于对称轴左侧，过点P作PD⊥BC于点D，作PE∥x轴交抛物线于点E，求PD+12PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线ax2+bx+23向左平移2个单位长度得到新抛物线y'，平移后的抛物线y'与原抛物线交于点Q，点M是原抛物线对称轴上一点，点N是新抛物线上一点，请直接写出使得以点B，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．
【答案】(1)y=36x2−433x+23；
(2)PD+12PE的最大值为174，此时点P坐标为：P1,536；
(3)4,−433或4,33或4,0．
【分析】（1）由抛物线解析式可得C0,23，根据抛物线与x轴交A2,0，B6,0，设y=ax−2x−6，代入C0,23即可求得抛物线解析式；
（2）令PE∥x轴交直线BC于点F，由（1）知A2,0，B6,0，C0,23，则抛物线的对称轴为x=4，OC=23，OB=6，即∠OBC=30°，易知PF=2PD，设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B6,0，C0,23，求得y=−33x+23，令Pt,36t2−433t+23，表示出PE=8−2t，PF=xF−xP=−12t2+3t，由PD+12PE=122PD+PE=12PF+PE，得到关于t的函数关系式即可得到结果；
（3）由平移得新抛物线解析式，联立原解析式求得点Q，设M4,m，Nx,y，分三种情况：①当QB，MN为对角线时；②当QN，MB为对角线时；②当BN，MQ为对角线时；利用其中点重合，可求得m的值，即可得到M的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+23与x轴交A2,0，B6,0，与y轴交于点C．
当x=0时，y=23，即：C0,23，
设y=ax−2x−6，代入C0,23，得：23=12a，解得：a=36，
∴抛物线解析式为：y=36x−2x−6=36x2−433x+23；
（2）PE∥x轴交直线BC于点F，
由（1）知A2,0，B6,0，C0,23，则抛物线的对称轴为：x=2+62=4，
则OC=23，OB=6，
∴tan∠OBC=OCOB=236=33，即∠OBC=30°，
∴PE∥x，
∴∠DFP=30°，
∵PD⊥BC，
∴PF=2PD，
设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B6,0，C0,23，
得6k+b=0b=23，解得：k=−33b=23，即：y=−33x+23，
令Pt,36t2−433t+23，则点E横坐标为：8−t，即：PE=8−2t
点F横坐标为：36t2−433t+23，即：36t2−433t+23=−33x+23，
解得：x=−12t2+4t，则PF=xF−xP=−12t2+3t，
∴PD+12PE=122PD+PE=12PF+PE
即：PD+12PE=12PF+PE=12−12t2+3t+8−2t
=−14t2+12t+4
=−14t−12+174，
当t=1时，PD+12PE有最大值174，此时点P坐标为：P1,536；
（3）由题意可知：y=36x−42−233，
原抛物线的对称轴为：x=4，则设M4,m，
则平移后的解析式为：y=36x−4+22−233=36x−22−233，
联立平移前后解析式，可得x−42=x−22，即x=3，则y=−32，
∴Q3,−32，
B6,0，Q3,−32，M4,m，设Nx,y，
以点B，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
①当QB，MN为对角线时，
6+3=4+x−32=m+y，解得：x=5y=−32−m，
∴−32−m=365−22−233，解得：m=−433
∴M4,−433；
②当QN，MB为对角线时，
3+x=4+6−32+y=m，解得：x=7y=32+m，
∴32+m=367−22−233，解得：m=33
∴M4,33；
②当BN，MQ为对角线时，
6+x=3+4y=m−32，解得：x=1y=m−32，
∴m−32=361−22−233，解得：m=0
∴M4,0；
综上，以点B，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标为：4,−433或4,33或4,0．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数、一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c的顶点为D2,8，与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，连接AD，BC，点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥AD交CB于点Q，求PQ的最大值及此时点P的坐标；
(3)将该抛物线关于直线x=1对称得到新抛物线y1，点E是原抛物线y和新抛物线y1的交点，F是原抛物线对称轴上一点，G为新抛物线上一点，若以E、F、A、G为顶点的四边形是是平行四边形，请直接写出点F的坐标．
【答案】(1)y=−12x2+2x+6
(2)PQ=352，P3,152
(3)2,4或2,15或2,−12．
【分析】（1）直接利用顶点坐标，写出二次函数的顶点式，即可得解；
（2）过点D作DE∥y轴，交BC于点E，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，设AD交BC于点M，证明△PFQ∽△DEM，得到PQPF=DMDE，得到当PF最大时，PQ最大，进行求解即可；
（3）求出新抛物线的解析式，求出点E的坐标，分AE,AF,EF分别为对角线，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=−12x2+bx+c的顶点为D2,8，
∴y=−12x−22+8=−12x2+2x+6；
（2）解：过点D作DE∥y轴，交BC于点E，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，设AD交BC于点M，
则PF∥DE，
∴∠DEM=∠PFQ，
又∵PQ∥AD，
∴∠PME=∠PQF，
∴△PFQ∽△DEM，
∴PQDM=PFDE，
∴PQPF=DMDE，
∵y=−12x2+2x+6，
当x=0时，y=6；当y=0时，−12x2+2x+6=0，解得：x1=−2,x2=6，
∴A−2,0,B6,0,C0,6，
设直线BC的解析式为：y=k1x+b1，
则：6=b10=6k1+b1，解得：k1=−1b1=6，
∴y=−x+6；
设直线AD的解析式为：y=k2x+b2，
则：8=2k2+b20=−2k2+b2，解得：k2=2b2=4，
∴y=2x+4；
∵AD交BC于点M，联立直线的解析式得：y=−x+6y=2x+4，
解得：x=23y=163，
∴M23,163，
∴DM=2−232+8−1632=435，
∵DE∥y轴，
∴E的横坐标为2，代入y=−x+6，得：y=−2+6=4，
∴E2,4，
∴DE=8−4=4，
∴PQPF=DMDE=4354=53，
∴PQ=53PF，
∴当PF最大时，PQ最大，
设Pm,−12m2+2m+6，则：Fm,−m+6，
∴PF=−12m2+2m+6+m−6=−12m2+3m=−12m−32+92，
∵a=−12