沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷专题04多边形平行四边形(重点)(原卷版+解析)

这是一份沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷专题04多边形平行四边形(重点)(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
2．一个凸多边形的内角中最多有几个锐角( )
A．个B．个C．个D．个
3．下列命题中，真命题的是（ ）
A．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行且一组对角互补的四边形是平行四边形
C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D．一组邻边相等且一组对边平行的四边形是平行四边形
4．如图，在平行四边形中，，，，平分，下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
5．如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（ ）
A．20B．21C．22D．23
6．一个多边形边数每增加1条时，其内角和（ ）
A．增加B．增加C．不变D．不能确定
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．ABCD，ADCB
C．AB＝CD，AD＝CBD．ABCD，AD＝CB
8．已知点、点、点，以点A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是_____°．
12．一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形的边数为______．
13．在平行四边形中，，那么___度．
14．平行四边形的对角线与相交于点O，如果那么的周长是 _____．
15．ABCD的周长为64cm，BC上高AE=6cm，CD上高AF=10cm，则ABCD的面积为_____cm2．
16．如图，平行四边形中，，垂足分别是E、F，，则平行四边形的周长为_______．
17．如图，在平行四边形中，于点，于点，，且，则平行四边形的周长为______．
18．如图，在▱中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处．若的周长为，的周长为，则的长为______．
19．如图，平行四边形中，，则___________.
20．如图，已知中，垂直平分，且，点E为上一点，连接、，若，，则的长为______．
三、解答题
21．若一个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多90°，那么这个多边形的边数是多少？
22．已知：如图，中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，分别交边DC、AB于点E、F，求证：AE＝CF．
23．已知：如图，点E、G在平行四边形ABCD的边AD上，EG＝ED，延长CE到点F，使得EF＝EC．求证：AF∥BG．
24．如图，四边形ABCD是平行四边形，P是AD上一点，且BP和CP分别平分和，cm．
(1)求平行四边形ABCD的周长．
(2)如果cm，求PC的长．
25．如图，在▱ABCD中，AB＝AE．
（1）求证：AC＝ED；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°．求∠ACD的度数．
26．如图，平行四边形的对角线、交于点，，，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
27．已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，交AC于点F，联结BE．求证：四边形BEFC为平行四边形．
28．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别在CD、BC的延长线上，且，联结DF，使得，联结AD、BE交于点G．
(1)求证：BE和AD互相平分；
(2)求证：EF⊥BF
29．已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，△ABC的面积为9．点P为边AB上动点，过点B作BD∥AC，交CP的延长线于点D．∠ACP的平分线交AB于点E．
(1)如图1，当CD⊥AB时，求PA的长；
(2)如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系．
30．如图，OA，OB的长分别是关于x的方程x2-15x+50=0的两根，且OA＞OB．请一起解决下列问题：
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)如果P为线段AB上一点，而且BP=AB，联结OP，求OP的函数的表达式；
(3)在（2）的条件下，点Q为坐标平面内一点，如果以B、P、O、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
专题04 多边形 平行四边形（重点）
一、单选题
1．如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
【答案】A
【分析】多边形的外角和是，则内角和是．设这个多边形是n边形，内角和是，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
【解析】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得：．
故这个多边形是六边形．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
2．一个凸多边形的内角中最多有几个锐角( )
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据任意凸多边形的外角和是可知它的外角中，最多有个钝角，则内角中，最多有个锐角．
【解析】解：一个凸多边形的内角中，最多有个锐角．
理由是：因为凸多边形的外角和是度，在外角中最多有个钝角，如果超过个，则和一定大于度，多边形的内角与外角互为邻补角，
所以外角中最多有个钝角，内角中就最多有个锐角．
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的内角和外角，注意每个内角与其相邻的外角是邻补角，由于多边形的外角和是不变的，所以要分析内角的情况可以借助外角来分析．
3．下列命题中，真命题的是（ ）
A．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行且一组对角互补的四边形是平行四边形
C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D．一组邻边相等且一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
【解析】解：、一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，原命题是假命题,不符合题意；
B、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题,不符合题意；
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，原命题是真命题,符合题意；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题,不符合题意；
故选：C
【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
4．如图，在平行四边形中，，，，平分，下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解，
【解析】解：四边形是平行四边形，，
，，，，
，故D正确；
平分，
，
，
，故C错误；
，
，故A正确；
，
，故B正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】A
【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得的长，然后由，，，根据勾股定理可求得的长，继而求得答案．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．一个多边形边数每增加1条时，其内角和（ ）
A．增加B．增加C．不变D．不能确定
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和公式：（n-2）•180° 判断即可．
【解析】解：∵n边形的内角和=（n-2）×180°，
∴多边形的边数增加1，其内角和增加180°，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的内角和公式，理解多边形内角和公式是求解本题的关键．
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．ABCD，ADCB
C．AB＝CD，AD＝CBD．ABCD，AD＝CB
【答案】D
【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．
【解析】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵ABCD，ADCB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB＝CD，AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由ABCD，AD＝CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
8．已知点、点、点，以点A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】试题分析：根据平行四边形的边的性质知，对边相等．可以知道另一个顶点的坐标可以为：（1，﹣1）或（－3，1）或（3，1），∴不在第三象限．故选C．
考点：1．坐标与图形性质；2．平行四边形的性质．
9．如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得∠B=∠D=60°，AB=CD=1，与折叠的性质可得AE=AD，CD=CE=1，又由∠D=60°，可证△AED是等边三角形，可得AD=AE=DE=2，即可求得的周长．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=60°，AB=CD=1，
∵将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，
∴AE=AD，CD=CE=1，又∵∠D=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴AD=AE=DE=2，
∴的周长=2（AB+AD）=2×(1+2)=6，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
10．如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】首先证明Rt△ADF≌Rt△BAC，结合已知得到AE=DF，然后根据内错角相等两直线平行得到DFAE，由一组对边平行且相等可得四边形ADFE是平行四边形，故②正确；由∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，可得∠AHE=90°，故①正确；由2AG=AF可知③正确；在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，可证Rt△DBF≌Rt△EFA，故④正确．
【解析】解：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°．
∵F是AB的中点，
∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=AB．
∴AD=2AF．
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴BC=AB，
∴AF=BF=BC．
在Rt△ADF和Rt△BAC中，
AD＝BA ，AF＝BC，
∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL），
∴DF=AC，
∴AE=DF．
∵∠BAC=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°，
∴∠DFA=∠EAB，
∴DFAE，
∴四边形ADFE是平行四边形，故②正确；
∴AD=EF，ADEF，
设AC交EF于点H，
∴∠DAC=∠AHE．
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，
∴∠AHE=90°，
∴EF⊥AC．①正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴2GF=2GA=AF．
∴AD=4AG．故③正确．
在Rt△DBF和Rt△EFA中，
BD＝FE，DF＝EA，
∴Rt△DBF≌Rt△EFA（HL）．故④正确，
综上，①②③④都正确．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定及性质等，综合性较强，熟练掌握上述性质、定理是解题的关键．
二、填空题
11．一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是_____°．
【答案】1440
【分析】由多边形外角的性质可求解多边形的边数，再利用多边形的内角和定理可求解．
【解析】，
．
即这个多边形的内角和是，
故答案为：1440．
【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，求解多边形的边数是解题的关键．
12．一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形的边数为______．
【答案】12
【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式列出方程，解方程即可求解．
【解析】解：设这个多边形的边数为，
则，
解得．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
13．在平行四边形中，，那么___度．
【答案】100
【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补即可求解．
【解析】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，．
∴．
故答案为：100．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等，邻角互补是解题的关键．
14．平行四边形的对角线与相交于点O，如果那么的周长是 _____．
【答案】
【分析】利用平行四边形的性质得出从而可得答案．
【解析】解：∵是平行四边形的对角线，，
∴，
∴的周长是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，掌握“平行四边形的对角线互相平分”是解题关键．
15．ABCD的周长为64cm，BC上高AE=6cm，CD上高AF=10cm，则ABCD的面积为_____cm2．
【答案】120
【分析】首先根据ABCD的周长，得出与的和，然后根据面积相等法，得出，然后把代入与的和中，即可算出的长，最后根据平行四边形面积公式，即可得出ABCD的面积．
【解析】解：∵ABCD的周长为64cm，
∴cm，
即cm，
又∵，
，
∴，
∴，
把代入，
可得：，
可得：cm，
∴cm2，
故答案为：120
【点睛】本题考查了平行四边形的面积，解本题的关键在熟练掌握平行四边形的面积公式．
16．如图，平行四边形中，，垂足分别是E、F，，则平行四边形的周长为_______．
【答案】20
【分析】由平行四边形的性质得，再证，然后由含角的直角三角形的性质得即可解答．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴平行四边形的周长，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17．如图，在平行四边形中，于点，于点，，且，则平行四边形的周长为______．
【答案】
【分析】要求平行四边形的周长就要先求出、的长，利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出结果．
【解析】解：，
，
，
则，，
设，则，
在中，根据勾股定理可得，，
同理可得：，
则平行四边形的周长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题关键是利用平行四边形的性质结合等腰直角三角形的性质、勾股定理来解决有关的计算和证明．
18．如图，在▱中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处．若的周长为，的周长为，则的长为______．
【答案】6
【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明，此为解题的关键性结论；运用的周长为，求出的长，即可解决问题．
【解析】解：如图，四边形为平行四边形，
，；
由题意得：，；
的周长为，的周长为，
，，
，
即，
，即；
，
故答案为：．
【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题，解题的方法是准确找出图形中隐含的等量关系；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点来分析、判断、解答．
19．如图，平行四边形中，，则___________.
【答案】##162度
【分析】证明△AMG≌△DMC，根据直角三角形中位线性质得出GM=MC=EM，等腰三角形底角相等求出∠EGM=54°，外角和求出∠EMC，平行线的性质求出∠EGM=∠DCM=54°，再求出∠DME．
【解析】解：连接CM并延长，交BA延长线于G
在△AMG和△DMC中
∴△AMG≌△DMC（AAS）
∴GM=MC
又∵AB⊥EC，
∴GM=MC=EM
∵∠MEC=36°
∴∠GEM=54°
∴∠EGM=54°
∴∠EMC=108°
∵BGDC
∴∠EGM=∠DCM=54°
∵DM=DC
∴∠DMC=54°
∴∠DME =∠DMC+∠EMC=162°
故答案为：162°．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质，解题的关键根据相关的性质求出相等的角．
20．如图，已知中，垂直平分，且，点E为上一点，连接、，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】过点B作于M，由平行四边形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，设，则，，，由勾股定理列出方程可得出答案．
【解析】解：过点B作于M，
∵垂直平分，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
三、解答题
21．若一个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多90°，那么这个多边形的边数是多少？
【答案】见解析
【分析】设这个多边形的边数是n，再列方程，解方程即可得到答案．
【解析】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：，
解得：
答：这个多边形的边数是12．
【点睛】本题考查的是多边形的内角和定理，掌握利用一元一次方程解决多边形的内角和问题是解题的关键．
22．已知：如图，中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，分别交边DC、AB于点E、F，求证：AE＝CF．
【答案】证明见解析
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明△ADE≌△CBF即可判断AE＝CF．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB，∠D＝∠B，AD＝BC，
∵AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，
∴∠DAE＝∠BCF，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．证明线段相等的技巧一般是找到两个线段的相关三角形，通过全等求解．
23．已知：如图，点E、G在平行四边形ABCD的边AD上，EG＝ED，延长CE到点F，使得EF＝EC．求证：AF∥BG．
【答案】见解析
【分析】连接FG，FD，GC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形FGCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得FG∥DC，FG=DC，又四边形ABCD也是平行四边形，所以AB∥DC，AB=DC，从而得到AB∥FG，AB=FG，然后得到四边形ABGF是平行四边形，根据平行四边形的对边平行即可得证．
【解析】证明：连接FG，FD，GC．
∵EG=ED，EF=EC，
∴四边形FGCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴FG∥DC，FG=DC（平行四边形对边相等且平行），
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴AB∥FG，AB=FG，
∴四边形ABGF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴AF∥BG．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等，作出辅助线构造出平行四边形是解题的关键．
24．如图，四边形ABCD是平行四边形，P是AD上一点，且BP和CP分别平分和，cm．
(1)求平行四边形ABCD的周长．
(2)如果cm，求PC的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线可得，，由平行线的性质及等量代换得出，，依据等角对等边可得cm，cm，即可求出平行四边形的周长；
（2）由（1）可得，，利用平行线的性质得出，结合各角之间的数量关系可得，在直角三角形中利用勾股定理即可得出结果．
（1）
解：∵BP、CP平分，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴cm，(cm)，
∴(cm)，
∴平行四边形的周长为：(cm)；
（2）
解：由（1）可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，cm，
∴(cm)．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，等角对等边及勾股定理解三角形，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
25．如图，在▱ABCD中，AB＝AE．
（1）求证：AC＝ED；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°．求∠ACD的度数．
【答案】（1）见解析；（2）85°
【分析】（1）△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B＝∠DAE即可证明ABC≌EAD（SAS），进而得出答案；
（2）先证明ABE为等边三角形，利用平行四边形的性质求解即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE．
在△ABC和△AED中，
，
∴ABC≌EAD（SAS），
∴AC＝ED．
（2）解：∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠DAE＝∠BAE；
又∵∠DAE＝∠AEB，∠AEB＝∠B．
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．
∴ABE为等边三角形．
∴∠BAE＝60°．
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°．
∴∠ACD＝∠BAC＝85°．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，（1）中能根据题意得出△ABC≌△EAD并证明是解题关键；（2）中能结合（1）推出△ABE为等边三角形是解题关键．
26．如图，平行四边形的对角线、交于点，，，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，推出，再证明即可；
（2）只要证明，即可．
（1）
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（2）
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、平行线的性质和判定等知识．解题的关键是首先证明四边形是平行四边形．
27．已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，交AC于点F，联结BE．求证：四边形BEFC为平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】证△ABE≌△ACD（SAS），得∠EBA＝∠DCA＝60°，再证∠EBC+∠BCA＝180°，则BE∥CF，然后由EF∥BC，即可得出结论．
【解析】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠BCA＝∠EAD＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠EAB＝∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠EBA＝∠DCA＝60°，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°，
∴∠EBC+∠BCA＝180°，
∴BE∥CF，
又∵EF∥BC，
∴四边形BEFC为平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明△ABE≌△ACD是解题的关键．
28．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别在CD、BC的延长线上，且，联结DF，使得，联结AD、BE交于点G．
(1)求证：BE和AD互相平分；
(2)求证：EF⊥BF
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥DE，从而证明四边形ABDE是平行四边形，即可得到结论；
（2）根据等边对等角得到∠DCF=∠DFC，再根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB=DE，推出DF=DE，则有∠DEF=∠DFE，结合三角形内角和求出∠BFE=90°，即可证明．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵点E在CD的延长线上，
∴AB∥DE，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴BE和AD互相平分；
（2）∵DF=CD，
∴∠DCF=∠DFC，
在□ABCD和□ABDE中，
AB=CD，AB=DE，
∴CD=DE，
∴DF=DE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴∠DFC+∠DFE=（∠DCF+∠DFC+∠DEF+∠DFE）=90°，
即EF⊥BF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等边对等角，熟练掌握性质定理并灵活运用是解题的关键．
29．已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，△ABC的面积为9．点P为边AB上动点，过点B作BD∥AC，交CP的延长线于点D．∠ACP的平分线交AB于点E．
(1)如图1，当CD⊥AB时，求PA的长；
(2)如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系．
【答案】(1)4
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据三角形的面积公式以为底，为高得出，进而利用勾股定理得出即可．
（2）延长，过A作，利用平行四边形的性质可得解答即可．
（1）
解：（1），的面积为9，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
的长为4．
（2）
（2）线段，，的数量关系为：，
延长，过作，AO与BD的延长线交于点O，如图所示，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵是 的中点，
∴延长 肯定可以过点点，
∴，
，
，
．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质进行解答，属于中考常考题型．
30．如图，OA，OB的长分别是关于x的方程x2-15x+50=0的两根，且OA＞OB．请一起解决下列问题：
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)如果P为线段AB上一点，而且BP=AB，联结OP，求OP的函数的表达式；
(3)在（2）的条件下，点Q为坐标平面内一点，如果以B、P、O、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)直线AB的函数表达式为y=x+5；
(2)OP的函数的表达式为y=-x；
(3)Q的坐标为（-8，-4）或（8，4）或（-8，6）．
【分析】（1）先解方程可得A、B坐标，再用待定系数法即可求出直线AB的函数表达式；
（2）过P作PC⊥y轴于C，利用三角形的面积公式可求得PC=8，从而可得P（-8，1），再用待定系数法得OP的函数的表达式为y=-x；
（3）分三种情况：①以OB、PQ为一组对边，②以OP、BQ为一组对边，③以OP、BQ为一组对边，分别画出图形，根据平移的知识，即可得Q的坐标为（-8，-4）或（8，4）或（-8，6）．
（1）
解：解方程x2-15x+50=0得x=10或x=5，
∵OA＞OB，
∴A（-10，0），B（0，5），
设直线AB的函数表达式为y=kx+b，将A（-10，0），B（0，5）代入得：
，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y=x+5；
（2）
解：过P作PC⊥y轴于C，如图：
∵A（-10，0），B（0，5），
∴S△ABO=OA×OB=25，AB==5，BP=AB，
∴S△PBO=S△ABO=20，
∵S△PBO=OB×PC=20，
∴PC=8，
当x=-8时，y=x+5=1，
∴P（-8，1），
设OP的函数的表达式为y=k'x，将P（-8，1）代入得：
-8k'=1，
解得k'=-，
∴OP的函数的表达式为y=-x；
（3）
解：由（1）（2）可知B（0，5）、P（-8，1）、O（0，0），
①以OB、PQ为一组对边，如图：
把线段OB平移到QP，则B（0，5）平移到P（-8，1），O（0，0）平移到Q，
∴Q（-8，-4）；
②以OP、BQ为一组对边，如图：
把线段OP平移到QB，则P（-8，1）平移到B（0，5），O（0，0）平移到Q，
∴Q（8，4）；
③以OP、BQ为一组对边，如图：
O（0，0）平移到B（0，5），则P（-8，1）平移到Q，
∴Q（-8，6），
综上所述，Q的坐标为（-8，-4）或（8，4）或（-8，6）．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，平行四边形的性质等知识，解题的关键是分类思想和数形结合思想的应用．