沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷专题08梯形(原卷版+解析)

这是一份沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷专题08梯形(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的梯形是等腰梯形
B．有两个角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行的四边形一定是梯形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形
2．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，下列条件中，不一定能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（ ）
A．AD＝BCB．∠ABC＝∠BADC．AB＝2DCD．∠OAB＝∠OBA
3．如图，在梯形中，，，，那么下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若等腰梯形两底角为30°，腰长为8，高和上底相等，则梯形中位线长为 （ ）
A．8B．10C．4D．16
5．如图，将三角形纸片沿过边中点D、E的线段折叠，点A落在边上的点F处，下列结论中，一定正确的个数是（ ）
①是等腰三角形 ② ③四边形是菱形 ④
A．1B．2C．3D．4
6．如图，在中，的平分线与交于点，直线与射线的延长线交于点，则的长是（ ）
A．B．C．D．
7．已知在直角梯形ABCD中， AD∥BC，∠BCD＝90°, BC＝CD＝2AD , E、F分别是BC、CD边的中点，连结BF、DE交于点P，连结CP并延长交AB于点Q，连结AF，则下列结论不正确的是（ ）
A．CP 平分∠BCDB．四边形 ABED 为平行四边形
C．CQ将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分D．△ABF为等腰三角形
8．某花木场有一块形如等腰梯形ABCD的空地，各边的中点分别是E，F，G，H，测量得对角线AC=10米，现想用篱笆围成四边形EFGH的场地，则需篱笆总长度是（ ）
A．40米B．30米C．20米D．10米
9．如图，中，，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为（ ）
A．B．1C．D．2
10．边长为4的正方形中，点、分别是、的中点，连接、，点，分别是、的中点，连接，则的长为( )
A．B．1C．2D．
二、填空题
11．如图，在中，点D、E分别是边、的中点，若，则的长度为_______．
12．如图，在中，，是的中点．若，则等于______．
13．如图，点E、F分别是梯形两腰的中点，联结、，如果图中的面积为1.5，那么梯形的面积等于___．
14．平行四边形中，两条邻边长分别为和，与的平分线交于点，点是的中点，连接，则______．
15．如图，梯形ABCD中对角线，，，点E为BC边上一点，如果，那么BE：BC=_______．
16．在四边形中，，分别是边，的中点，若，，，，则______．
17．如图，在中，，，以为斜边作．使，，、分别是、的中点，连接、、，则的长为___________．
18．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于______．
三、解答题
19．如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．证明：四边形DECF是平行四边形．
20．如图，矩形的对角线与相交点，，分别为的中点，求的长度．
21．如图，已知：、分别是的边和边的中点，连接、，若，求的面积.
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形；
（2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值．
23．如图，在梯形中，，对角线相交于点O．
(1)如图1，当，求证：四边形是等腰梯形；
(2)如图2，如果，且，求的长．
24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE，联结BF、CF、AC．
(1)求证：四边形ABFC是平行四边形．
(2)联结BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求证：四边形ABFC是矩形．
25．已知：如图，矩形的两条对角线与相交于点O，点E、F分别是线段的中点，联结．
(1)求证：四边形是等腰梯形；
(2)过点O作，垂足为点M，联结，如果，求证：四边形是菱形．
26．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一动点（点P与点B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，，设BP＝x，四边形APCD的面积为y．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)连接PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积．
27．如图1，已知在中，平分，交于点，过点作，交于点，是的中点，连接，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，如图2所示：
①求证：；
②若，，求的长．
28．在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设．
（1）求边的长；
（2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式；
（3）如果的长为，求梯形的面积．
专题08 梯形
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的梯形是等腰梯形
B．有两个角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行的四边形一定是梯形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形
【答案】A
【分析】根据等腰梯形的判定定理与梯形定义对各个选项逐一分析即可．
【解析】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，
∵四边形ABCD为梯形，
∴DC∥AB，
过C作CE∥DB交AB延长线于E，
∴四边形BECD为平行四边形
∴∠DBA=∠E，BD=CE，
∵AC=BD，
∴AC=BD=CE，
∴∠CAB=∠E=∠DBA，
在△ADB和△BCA中，
，
∴△ADB≌△BCA（SAS），
∴AD=BC，
四边形ABCD为等腰梯形，故本选项正确；
B、根据等腰梯形的性质和判定可判断：直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形，故本选项错误；
C、一组对边平行的四边形一定是梯形，错误，因为这组对边相等，那么就有可能是平行四边形，当这组对边不相等时是梯形，故本选项错误；
D、一组对边平行，另一组对边相等则有两种情况，即平行四边形或等腰梯形，所以不能说一定是等腰梯形．故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查等腰梯形判定与梯形的识别，掌握等腰梯形判定定理与梯形的识别方法是解题关键．
2．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，下列条件中，不一定能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（ ）
A．AD＝BCB．∠ABC＝∠BADC．AB＝2DCD．∠OAB＝∠OBA
【答案】C
【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．
【解析】解：A、∵AD＝BC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
B、∵∠ABC＝∠BAD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
C、∵AB＝2DC，
∴不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；
D、根据∠OAB＝∠OBA，能推出梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰梯形的判定，属于基础题型．
3．如图，在梯形中，，，，那么下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】A、根据三角形的三边关系即可得出A不正确；B、通过等腰梯形的性质结合全等三角形的判定与性质即可得出∠ADB=90°，从而得出B正确；C、由梯形的性质得出AB∥CD，结合角的计算即可得出∠ABC=60°，即C正确；D、由平行线的性质结合等腰三角形的性质即可得出∠DAC=∠CAB，即D正确．综上即可得出结论．
【解析】A、∵AD=DC，
∴AC＜AD+DC=2CD，
故A不正确；
B、∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠BAD，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠BAC=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，∠ABC+∠DCB=180°，
∵DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=∠BAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，B正确，
C、∵AB∥CD，
∴∠CDA=∠DBA，
∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=∠DBA，C正确．
D、∵△DAB≌△CBA，
∴∠ADB=∠BCA．
∵AC⊥BC，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
∴DB⊥AD，D正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是逐项分析四个选项的正误．本题属于中档题，稍显繁琐，但好在该题为选择题，只需由三角形的三边关系得出A不正确即可．
4．若等腰梯形两底角为30°，腰长为8，高和上底相等，则梯形中位线长为 （ ）
A．8B．10C．4D．16
【答案】C
【分析】分析题意画出图形，则DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°，由DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，即可得出DE=4，进而求出CD的长度；运用勾股定理得出AE和BF的长度，易证四边形CDEF是平行四边形，得出EF的长度，进而得出AB+CD的长度，由梯形中位线的性质，即可解答本题.
【解析】根据题意画出图形，则DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°.
因为DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，
所以DE=AD=4，
所以CD=4，AE= =4，同理BF=4.
因为DE⊥AB，CF⊥AB，
所以DE∥CF.
因为CD∥EF，
所以四边形CDEF是平行四边形，
所以EF=CD=4.
因为CD=4cm，AB=AE+EF+FB=4+4+4=8+4，
所以AB+CD=8+4+4=8+8，
所以梯形的中位线长为 (AB+CD)=4+4.
故选C.
【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于需结合梯形中位线的性质，勾股定理等知识进行求解.
5．如图，将三角形纸片沿过边中点D、E的线段折叠，点A落在边上的点F处，下列结论中，一定正确的个数是（ ）
①是等腰三角形 ② ③四边形是菱形 ④
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【解析】解：①∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠EDF＝∠BFD，
又∵△ADE≌△FDE，
∴∠ADE＝∠EDF，AD＝FD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BFD，
∴△BDF是等腰三角形，故①正确；
同理可证，△CEF是等腰三角形，
∴BD＝FD＝AD，CE＝FE＝AE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，故②正确；
∵∠B＝∠BFD，∠C＝∠CFE，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠BFD+∠BDF＝180°，∠C+∠CFE+∠CEF＝180°，
∴∠BDF+∠FEC＝2∠A，故④正确．
而无法证明四边形ADFE是菱形，故③错误．
所以一定正确的结论个数有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定，中位线定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
6．如图，在中，的平分线与交于点，直线与射线的延长线交于点，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用角平分线的定义与垂直证明 证明 利用平行四边形的性质证明 从而可得答案．
【解析】解：∵∠ABC的平分线与CD交于点E，BE⊥AF，



∴ EF＝AE，
，
∵CE∥AB
∴CF＝BC，

∴AD＝BC=AB=，
故选：B
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线，掌握以上知识是解题的关键．
7．已知在直角梯形ABCD中， AD∥BC，∠BCD＝90°, BC＝CD＝2AD , E、F分别是BC、CD边的中点，连结BF、DE交于点P，连结CP并延长交AB于点Q，连结AF，则下列结论不正确的是（ ）
A．CP 平分∠BCDB．四边形 ABED 为平行四边形
C．CQ将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分D．△ABF为等腰三角形
【答案】C
【分析】A.根据边角边”证明△BCF≌△DCE，然后利用“角边角”证明△BEP≌△DFP，再利用“边角边”证明△BCP≌△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BCP=∠DCP；
B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED为平行四边形；
C. 连接QD，利用“边角边”证明△BCQ和△DCQ全等，根据全等三角形的面积相等判断出S△BCQ=S△DCQ，判断出CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等．
D. 根据平行四边形的对边相等可得AB=DE，再求出AB=BF，从而得到△ABF为等腰三角形；
【解析】解：∵BC=CD，E、F分别是BC、CD边的中点，
∴BE=CE=CF=DF，
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，
∴180°-∠BFC=180°-∠DEC，
即∠BEP=∠DFP，
在△BEP和△DFP中，
，
∴△BEP≌△DFP（ASA），
∴BP=DP，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠BCP=∠DCP，
∴CP平分∠BCD，故A选项结论正确；
∵BC=2AD，E是BC的中点，
∴BE=AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形，故B选项结论正确；
∴AB=DE，
又∵DE=BF（已证），
∴AE=BF，
∴△ABF为等腰三角形，故D选项结论正确；
连接QD，
在△BCQ和△DCQ中，
，
∴△BCQ≌△DCQ（SAS），
∴S△BCQ=S△DCQ，
∴CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等，故C选项结论不正确．
故选C．
【点睛】本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记各图形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键，难点在于多次证明三角形全等．
8．某花木场有一块形如等腰梯形ABCD的空地，各边的中点分别是E，F，G，H，测量得对角线AC=10米，现想用篱笆围成四边形EFGH的场地，则需篱笆总长度是（ ）
A．40米B．30米C．20米D．10米
【答案】C
【解析】解：如图，连接BD．
根据三角形中位线定理，得，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD．
∴EF=FG=GH=HE=5．
∴需篱笆总长度是EF+HG+EH+GF=2AC=2×10=20（米）．
故选C．
9．如图，中，，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】根据勾股定理得到，证明得到，求得，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
【解析】解：中，，，
∴，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
在和中
，
∴
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
10．边长为4的正方形中，点、分别是、的中点，连接、，点，分别是、的中点，连接，则的长为( )
A．B．1C．2D．
【答案】D
【分析】连接AC、BD交于点O，连接GO、HO，可得GO、HO分别是△ACE、△BDF的中位线，从而求出GO，HO的长，在通过证明△GOH是直角三角形，利用勾股定理求出GH的长．
【解析】解：连接AC、BD交于点O，连接GO、HO，如图所示，
∵点E、F分别是AB、BC的中点．
∴AE=AB=2，BF=BC＝2．
∵点O是正方形ABCD对角线的交点．
∴点O是AC、BD的中点．
∵点G是EC的中点．
∴GO是△ACE的中位线．
∴GO=AE=1，且GO∥AB．
同理，HO=1，且HO∥BC．
∵∠ABC=90°．
∴AB⊥BC．
∴GO⊥HO．
∴∠GOH=90°．
在Rt△GOH中，
GH=．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质与三角形的中位线性质定理，通过作辅助线把GH归纳到直角三角形中是解题的关键．
二、填空题
11．如图，在中，点D、E分别是边、的中点，若，则的长度为_______．
【答案】2
【分析】由题意得DE为△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求DE．
【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DEBC＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理的内容是解题的关键．
12．如图，在中，，是的中点．若，则等于______．
【答案】
【分析】取的中点，连接，证明，根据全等三角形的性质得，由三角形的中位线定理即可得．
【解析】解：取的中点，连接，

，
是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是的中点，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．
13．如图，点E、F分别是梯形两腰的中点，联结、，如果图中的面积为1.5，那么梯形的面积等于___．
【答案】6
【分析】过点A作于H，交于G，根据梯形中位线定理得到，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式计算，得到答案．
【解析】解：过点A作于H，交于G，如图，
∵点E、F分别是梯形两腰的中点，
∴是梯形的中位线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是梯形的中位线、三角形的面积计算，掌握梯形中位线定理是解题的关键．
14．平行四边形中，两条邻边长分别为和，与的平分线交于点，点是的中点，连接，则______．
【答案】5或2
【分析】分两种情形分别求解即可解决问题：如图中，当，时，延长交于如图中，当，时；由直角三角形的性质，梯形的中位线定理可得出答案．
【解析】如图中，当，时，延长交于．

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图中，当，时，

同法可证，，，
可得，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、梯形的中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构建梯形中位线解决问题，属于中考常考题型．
15．如图，梯形ABCD中对角线，，，点E为BC边上一点，如果，那么BE：BC=_______．
【答案】
【分析】根据平行线与等腰三角形证明，进而证明，得到AD=DF，再证明EF=CE，根据线段的和差关系求得CE，进而得到BE即可得出答案．
【解析】，，
∵梯形ABCD中，，
，
，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查梯形的性质，等腰三角形的性质与判断，互余的性质，求出CE的长是关键．
16．在四边形中，，分别是边，的中点，若，，，，则______．
【答案】145°
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到BD＝2EF＝12，EF∥BD，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，结合图形计算即可．
【解析】解：连接BD，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，
∴BD＝2EF＝12，EF∥BD，
∴∠ADB＝∠AFE＝55°，
∵，，
∵， ，
∴，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝145°，
故答案为：145°．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
17．如图，在中，，，以为斜边作．使，，、分别是、的中点，连接、、，则的长为___________．
【答案】
【分析】根据直角三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据三角形中位线定理得到，，推出，利用勾股定理即可求解．
【解析】解：∵，F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形中位线定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
18．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于______．
【答案】8
【分析】由根据三角形的面积公式，由得，进而求得DE=2，从而求得底边EC的长，于是可求得CD的长，进而求得梯形ABCD的中位线．
【解析】解：过点B作BM⊥CE于点M，如下图，
∵，，
∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°，
∵，
∴，
∵，
∴DE=2，
∵BM⊥CE，
∴∠BMD=90°，
∴四边形ABMD是矩形，
∴DM=AB=4，
∴EM=2+4=6，
∵将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处，
∴BE=BC，
∵BM⊥CE，
∴EC=2EM=12，
∴CD=12-2=10，
∴梯形ABCD的中位线为：，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了梯形的中位线，平行线的性质，矩形的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题
19．如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．证明：四边形DECF是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】先由中位线定理得到DF∥BC，，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．
【解析】证明：∵D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．
∴DF∥BC，，
∴四边形DECF是平行四边形．
20．如图，矩形的对角线与相交点，，分别为的中点，求的长度．
【答案】3
【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=12，=6，再根据三角形中位线定理可得．
【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，
，
点P、Q是AO，AD的中点，
是的中位线，
．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．
21．如图，已知：、分别是的边和边的中点，连接、，若，求的面积.
【答案】6cm2．
【分析】首先根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，求出S△ACD是多少；然后根据E是AC的中点，用△ACD的面积除以2，求出△DEC的面积的面积为多少即可．
【解析】解：∵D是△ABC的边BC的中点，
∴S△ACD=24÷2=12（cm2）；
又∵E是AC的中点，
∴S△DEC=12÷2=6（cm2）．
故答案为6cm2．
【点睛】本题考查三角形的面积的求法，要熟练掌握，解题的关键是要明确：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形；
（2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值．
【答案】（1）见解析；（2）8
【分析】（1）根据“三线合一”性质先推出∠BAD=∠CAD，再结合平行线的性质推出∠BAD=∠ADE，从而得到∠ADE=∠EAD，即可根据“等角对等边”证明；
（2）根据题意结合中位线定理可先推出AC=2DE，然后在Rt△ADC中利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）证：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD⊥BC于点D，
∴由“三线合一”知：∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AB交AC于点E，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠CAD=∠ADE，
即：∠ADE=∠EAD，
∴AE=DE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）解：由“三线合一”知：BD=CD，
∵BC=12，
∴DC=6，
∵E为AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∴AC=AB=2DE=10，
在Rt△ADC中，，
∴AD=8．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理解三角形，以及三角形的中位线定理等，掌握等腰三角形的基本性质，熟练运用中位线定理和勾股定理计算是解题关键．
23．如图，在梯形中，，对角线相交于点O．
(1)如图1，当，求证：四边形是等腰梯形；
(2)如图2，如果，且，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明 再证明 可得 从而可得答案；
（2）如图，过作于 过作于 证明四边形是矩形，可得 设 则 由 再建立方程求解即可．
【解析】（1）证明：∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴ 即
∵梯形，
∴梯形是等腰梯形．
（2）如图，过作于 过作于 而
∴
∴四边形是矩形，
∴
∵
∴
设 则
∵
∴
解得：（负根舍去）
∴
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，等腰梯形的判定，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键．
24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE，联结BF、CF、AC．
(1)求证：四边形ABFC是平行四边形．
(2)联结BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求证：四边形ABFC是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC＝BD，再根据垂直平分线的性质得到DB＝FB，从而得到AC＝BF，然后证得ACBF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2 ）先证明△BDF是等边三角形，再证明∠ABF＝90°，即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接BD．
∵梯形ABCD中，ADBC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC＝BD，
∵△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝BD，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB＝∠DBC．
又∵DE⊥BC，EF＝DE，
∴△BDF是等腰三角形，
∴BD＝BF，∠DBC＝∠FBC，
∴AC＝BF，∠ACB＝∠CBF，
∴ACBF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）∵BC垂直平分DF，
∴BD＝BF，∠BED＝90°，
∵BD＝DF，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BDE＝60°，∠DBE＝30°，
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵ADBC，
∴∠ADB＝∠DBE＝∠ABD＝30°，
∴∠ABF＝90°，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴四边形ABFC是矩形
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定、矩形的定义、等边三角形的判定和性质等，熟练掌握平行四边形的判定和矩形的定义是解题的关键．
25．已知：如图，矩形的两条对角线与相交于点O，点E、F分别是线段的中点，联结．
(1)求证：四边形是等腰梯形；
(2)过点O作，垂足为点M，联结，如果，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，，求出 ，，根据三角形的中位线性质得出，，，求出，，根据等腰梯形的判定得出即可；
（2）根据三角形的中位线性质得出．求出，求出处，根据平行四边形的判定得出四边形和四边形是平行四边形．求出，根据菱形的判定得出平行四边形是菱形，根据菱形的性质得出，求出即可．
【解析】（1）证明：四边形是矩形，
，，，，
，，
点、分别是线段、的中点，
，，，
，，
，
即，
四边形是等腰梯形；
（2）证明：连接，
点、分别是线段、的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
由（1）知：，
四边形是平行四边形，
同理：四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，
，
又四边形是等腰梯形，
，
又，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识点，能灵活运用等腰梯形的性质和判定、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质进行推理是解此题的关键．
26．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一动点（点P与点B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，，设BP＝x，四边形APCD的面积为y．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)连接PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积．
【答案】(1)
(2)88或96或48
【分析】（1）过A作于，过作于，设，表示出与的长，利用解出，从而计算四边形的面积，得到与的函数关系式；
（2）分两种情形：①，②．先求出两种情形下的值，再代入函数解析式中求出的值，即四边形的面积．
【解析】（1）解：过A作于，过作于，设．
，，
，，
,
，
解得或，
，，
，
，即，
当时，不成立，舍去；当时，，符合题意．
．
，即．
（2）解：连接．
①当时，
，
，
由（1）得，
，即．
．
②当时，
，
，
又，
四边形是平行四边形或等腰梯形，
或，
即或，
当时，；
当时，．
综上，四边形的面积为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，勾股定理的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形与等腰梯形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质定理．
27．如图1，已知在中，平分，交于点，过点作，交于点，是的中点，连接，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，如图2所示：
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②1
【分析】（1）根据平行四边形的性质与判定得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，即可证明四边形是菱形；
（2）①根据题意得出四边形是正方形，根据已知条件证明，即可得证；
②取的中点，连接，则是的中位线，进而得出，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，即，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）①证明：，四边形是菱形，
四边形是正方形．
又是的中点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，．
四边形是矩形，
，
，即，
，
，
即．
②解：如图，取的中点，连接，则是的中位线，
，．
四边形是正方形，
，，
，，
又，
，
由（2）①得，
，
在中，．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，三角形中位线的性质，含度角的直角三角形的性质，正方形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
28．在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设．
（1）求边的长；
（2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式；
（3）如果的长为，求梯形的面积．
【答案】（1）3；（2）；（3）或
【分析】（1）过作，与、分别相交于点、，从而判定四边形是矩形，在中求出的长，利用可得出的长；
（2）首先确定，过点作，与、分别相交于、，根据，，可表示出、，继而可得出关于的函数解析式；
（3）①当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，可求得梯形的面积，②当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，可求得梯形的面积．
【解析】解：（1）如图1，过作，与、分别相交于点、，
梯形中，，
，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
．
（2），，
，
，
，
，，
，
，
如图2，过点作，与、分别相交于、，
，，
，，
，
，
关于的函数解析式为；
（3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，
，
当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，
，
综上所述，梯形的面积为或．
【点睛】本题考查直角梯形及由实际问题列一次函数关系式的知识，属于综合性较强的题目，难度较大，对于此类题目要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解．