沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训01一次函数存在性问题(原卷版+解析)

这是一份沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训01一次函数存在性问题(原卷版+解析)，共82页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在长方形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点A，C在坐标轴上，直线与交于点D，与y轴交于点E．
(1)直接写出点D的坐标为 ；点E的坐标为 ．
(2)求的面积．
(3)若动点M在边上，点N是坐标平面内的点．
①当点N在第一象限，又在直线上时，若是等腰直角三角形，求点N的坐标；
②若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出整个运动过程中点N纵坐标n的取值范围．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B．已知点C的标为，若点P是x轴上的一个动点．
(1)A的坐标是______，B的坐标是______；
(2)过点P作y轴的平行线交于点M，交于点N，当点P恰好是的中点时，求出P点坐标．
(3)若以点B、P、C为顶点的为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P点坐标．
3．如图1，在平面直角坐标系xy中，点O是坐标原点，直线： 与直线：交于点A，两直线与x轴分别交于点和．
(1)求直线和的表达式．
(2)点P是y轴上一点，当最小时，求点P的坐标．
(3)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F，若为直角三角形，求点D坐标．
4．已知，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，B两点，直线交x轴于点C，D两点，已知点C为，D为．
(1)求直线的解析式．
(2)设与交于点E，试判断的形状，并说明理由．
(3)点P，Q在的边上，且满足与全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标．
5．模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．
(1)求证：．
(2)模型应用：已知直线与轴交与点，将直线绕着点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式．
(3)如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，、分别在坐标轴上，是线段上动点，设，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，，点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．
(1)当点P与点C重合时，求直线的函数解析式；
(2)设运动时间为t秒．当点P在运动过程中，
①求的面积S关于t的函数解析式；
②是否存在等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知直线的函数关系式为，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线平移得直线，直线分别交x轴、y轴于点C、D，且经过点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)在直线上是否存在点E，使得？若存在，请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．与轴交于点，直线与轴交于点
(1)填空：______，______，______；
(2)如图2．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．
①求线段的长度；
②当点落在轴上时，求点的坐标；
③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．
9．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，．
(1)求直线的解析式．
(2)求的值．
(3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标．
10．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点与x轴交于点，直线与x轴交于点C．
(1)填空：___________，___________，___________．
(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．
①当点E落在y轴上时，求点E的坐标．
②若为直角三角形，求点D的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点A、．另一条直线与直线交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与点重合）．
(1)求的值．
(2)当的面积为18时，求点的坐标．
(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点，交轴于点，当时，求的面积．
12．如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，点是直线上的一点，它的坐标为，经过点作直线轴交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)已知点是直线上的动点，
若的面积为4，求点的坐标；
若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且，连接，已知．
(1)求直线 的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)在线段 上分别取点M，N，使得轴，在x轴上取一点P，连接 是否存在点M，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)请写出点A坐标 ，点B坐标 ，直线的函数解析式 ；
(2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
①若的面积为，求点的坐标；
②点在线段上，连接，如图，若，直接写出的坐标．
16．如图，函数的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C在y轴上，AC平分∠OAB．
(1)求点A、B的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)点P在第一象限内，且以A、B、P为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你直接写出点P的坐标．
17．如图①，为等腰直角三角形，，于点，于点．
(1)求证：
(2)如图②为等腰直角三角形，其中点坐标为，点的坐标为，求点的坐标．
(3)如图③在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为，，与轴交于点，若，求点的坐标．
18．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点．
(1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，；
①直接写出______，______；
②点的坐标______；
(2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化?（填“变”或“不变”），若不变，其值为______；若变，请说明理由；
(3)【拓展应用】如图4，当时，直线与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是______．
19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，过点作轴，垂足为．
(1)求两点的坐标；
(2)若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且在直线上有一点，使得最小，求点坐标；
(3)如图2，直线上是否存在点使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
20．如图，一次函数的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P为中点，点C，D分别在上，连结，点A，E关于对称，点B，F关于对称，且．
(1)直接写出点A，B，P的坐标．
(2)如图1，若点O，E重合，求．
(3)如图2，若点F横坐标为5，求点E的坐标．
21．模型建立：
（1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点C，过A作于D，过B作于E．
求证：；
模型应用：
（2）已知直线：与y轴交于A点，将直线绕着A点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式；
模型拓展：
（3）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段上的一个动点，点位于第一象限内．若是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标．
22．平面直角坐标系中，直线，分别交x轴，y轴于点A，点C；点B在y轴负半轴上．且，点在直线上，点P是x轴上的一个动点，设点P的横坐标为t．
(1)求直线的函数表达式．
(2)连接、，若的面积等于面积的，直接写出t的值___________．
(3)以为斜边作等腰直角三角形，是否存在t的值，使点E落在线段或上？直接写出所有满足t的值___________．
(4)直接写出的最小值为___________．
23．如图1，已知一次函数与x轴，y轴分别交于B点，A点，x正半轴上有一点C，，以A，B，C为顶点作平行四边形．
(1)求C点坐标．
(2)如图2，将直线沿y轴翻折，翻折后的直线交于E点，在y轴上有一个动点P，x轴上有一动点Q，当取得最小值时，求此时的值．
(3)如图3，将向左平移使得点C与坐标原点O重合，A的对应点为，O的对应点为，将绕点O顺时针旋转，旋转角为，在旋转过程中，直线与直线、交于M，G两点，在旋转过程中，能否成为等腰三角形，若能，求出所满足条件的，若不能，请说明理由．
特训01 一次函数存在性问题
一、解答题
1．如图，在长方形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点A，C在坐标轴上，直线与交于点D，与y轴交于点E．
(1)直接写出点D的坐标为 ；点E的坐标为 ．
(2)求的面积．
(3)若动点M在边上，点N是坐标平面内的点．
①当点N在第一象限，又在直线上时，若是等腰直角三角形，求点N的坐标；
②若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出整个运动过程中点N纵坐标n的取值范围．
【答案】(1)；
(2)30
(3)①点N的坐标为，，；②或
【分析】（1）由题意可得：点D的纵坐标是6，点E在y轴上，横坐标是0，代入直线解析式求解即可；
（2）先求出点F的坐标，再根据的面积=求解即可；
（3）①分三种情况若点A为直角顶点时，点N在第一象限；点M为直角顶点时，点N在第一象限；若点N为直角顶点，点N在第一象限；结合图形，利用全等三角形的判定和性质求解即可；②考虑特殊情况：当点M在B点时，当M在C点时，分别求出点N纵坐标的值，进而可得结果．
【解析】（1）∵在长方形ABCO中，点B的坐标为，直线与交于点D，与y轴交于点E，
把代入中，，所以点D的坐标为，
把代入中，，所以点E的坐标为；
故答案为：，；
（2）如图1，
把代入中，可得：，
所以点F的坐标为，
∴，
∴的面积=．
（3）①（a）若点A为直角顶点时，点N在第一象限，连接，如图2，，
∴不可能为等腰直角三角形，
∴点N不存在；
（b）若点M为直角顶点时，点N在第一象限，如图3，过点N作，交的延长线于点H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴N，
（c）若点N为直角顶点，点N在第一象限，如图4，
设，
过点作于点，交于点，
同上面的方法可证，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
同理可得，
∴，
∴，
综上所述，点N的坐标为，，；
②当点M在B点时，如图，
，
∵，
∴，
∴的纵坐标为，
同理，的纵坐标为，
当M在C点时，如图，
，
过点作于点S，延长交CB于点P，
则，
则，
设点纵坐标为，则，
那么，
解得：，
则点纵坐标为，
同理可得，纵坐标为，
∴当点N为直角顶点时，t的取值范围为或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，具有相当的难度，熟练掌握全等三角形的判定和性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B．已知点C的标为，若点P是x轴上的一个动点．
(1)A的坐标是______，B的坐标是______；
(2)过点P作y轴的平行线交于点M，交于点N，当点P恰好是的中点时，求出P点坐标．
(3)若以点B、P、C为顶点的为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P点坐标．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或或或．
【分析】（1）分别令，即可求出点A和B的坐标；
（2）设直线的解析式将，代入求出解析式，
设点，则点，点，再利用列方程，再解方程即可；
（3）设, 而，则、、再分当时、当、当时讨论即可.
【解析】（1）解：一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B，
令，即，
解得，
令，即，
，，
故答案为：，；
（2）设直线的解析式，
将，代入，
，
解得，
∴直线的函数解析式，
设点，则点，点，
依题意可得，
∴，
解得：，
；
（3）设, 而，
，
，
，
当时，
有，
解得：，
，
当,
有，
解得：，
不合题意舍去，
，
当时，
有，
解得：或，
或，
综上所述：或或或，
【点睛】本题考查了求函数与坐标轴交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，线段的中点坐标的含义，勾股定理的应用，等腰三角形的含义，利用平方根的含义解方程；熟练的运用以上知识是解本题的关键.
3．如图1，在平面直角坐标系xy中，点O是坐标原点，直线： 与直线：交于点A，两直线与x轴分别交于点和．
(1)求直线和的表达式．
(2)点P是y轴上一点，当最小时，求点P的坐标．
(3)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F，若为直角三角形，求点D坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】(1)把点的坐标分别代入相应的函数解析式求解即可．
(2) 作点C关于y轴的对称点M，连接，交y轴于点P，点P即所求，设直线表达式为，确定解析式，并求出与y轴的交点坐标即可．
(3) 分两种情况求解即可．
【解析】（1）将代入得，
解得，
故直线的解析式为；
把代入，得，
解得，
故直线的解析式为．
（2）作点C关于y轴的对称点M，连接，交y轴于点P，则点P满足的值最小，
∵，，
∴，，
∴，，设直线表达式为，
∴，
解得，
∴直线表达式为，
令，
∴．
（3）设点，
如图，当时，过点A作于点G，
∵，，沿直线翻折得到，
∴，，，，
∴，
∴，，
解得，
故点；
如图，当时，过点D作于点G，
∵，，沿直线翻折得到，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，，，
解得，
故点；
综上所述，点或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，线段和的最小值，熟练掌握待定系数法，勾股定理，分类思想是解题的关键．
4．已知，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，B两点，直线交x轴于点C，D两点，已知点C为，D为．
(1)求直线的解析式．
(2)设与交于点E，试判断的形状，并说明理由．
(3)点P，Q在的边上，且满足与全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)为等腰三角形，理由见解析
(3)点在坐标为，，,
【分析】（1）把代入得到关于的二元一次方程组，求出的值即可；
（2）联立方程组，得到点E的坐标为，由求出点A的坐标，分别求出，，，从而可判断出为等腰三角形；
（3）分①在上；②在上，在上；③在上，在上；④在上，与点重合四种情况结合图形求解即可
【解析】（1）解：把代入得
，
解得，，
∴直线的解析式为；
（2）联立得：，
解得，，
∴点的坐标为，
对于直线，当时，，
∴，
∴
又，
∴，即，
,
,
,
是等腰三角形；
（3）①当在上时，如图1，此时，，
，
设，
又，
，
解得，，（舍去），
，
；
②当在上，在上时，如图2，此时，
设则，
代入得，
解得，，
则
；
③在上，在上时，如图3，此时，，
；
④当在上，与点重合时，如图4，此时，则
∴与点重合，
∴
综上，点在坐标为，，,
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形以及一次函数与几何综合等知识，正确进行分类讨论是解答本题的关键
5．模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．
(1)求证：．
(2)模型应用：已知直线与轴交与点，将直线绕着点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式．
(3)如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，、分别在坐标轴上，是线段上动点，设，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)的解析式：
(3)点，，．
【分析】（1）根据同角的余角相等可得，再由可证得；
（2）过点作于点，交于点，过作轴于，根据可得为等腰直角三角形，由（1）可知，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式即可；
（3）设，①点为直角顶点，分两种情况：当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，则，利用三角形全等得到关于x的方程，得D点坐标；当点在矩形的外部时，利用三角形全等得到关于x的方程，得D点坐标；②点为直角顶点，此时点位于矩形的外部，则，利用三角形全等得到关于x的方程，得D点坐标，即可．
【解析】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴ ，
又∵，
∴，
在与中，
∴；
（2）解：过点作于点，交于点，过作轴于，如图，
∵，
∴为等腰直角三角形，
由（1）得：，
∴，，
∵直线，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设的解析式为，
把点，代入得：
∴，解得：，
∴的解析式：；
（3）解：当点位于直线上时，分两种情况：
设，
①点为直角顶点，分两种情况：
当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，则，
∴，；
由（1）得：，
∴，
即，
解得：；
∴；
当点在矩形的外部时， 则，
∴，；
由（1）得：，
∴，
即，
解得：；
∴；
②点为直角顶点，此时点位于矩形的外部，则，
∴；
同（1）得，，
∴，；
∴；
∴，
解得：；
∴；
综合上面情况可得：点的坐标为或或．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
6．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，，点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．
(1)当点P与点C重合时，求直线的函数解析式；
(2)设运动时间为t秒．当点P在运动过程中，
①求的面积S关于t的函数解析式；
②是否存在等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在等腰三角形，点P的坐标为或或．
【分析】（1）求出，用待定系数法可得直线的函数解析式为；
（2）①当，即在上时，；当，即在上时，；②，，知在上时，不可能是等腰三角形，当在上时，，，，分三种情况：若时，，当时，，当时，，分别解方程可得答案．
【解析】（1）解：，，四边形是长方形，
，
当点与点重合时，设直线的函数解析式为，
把，代入得：
，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：①当，即在上时，如图：
；
当，即在上时，如图：
，
；
②存在等腰三角形，理由如下：
如图：
，，
，
在上时，不可能是等腰三角形，
当在上时，，
，，
若时，，
解得（舍去）或，
；
当时，，
解得或（舍去），
；
当时，，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
7．如图，已知直线的函数关系式为，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线平移得直线，直线分别交x轴、y轴于点C、D，且经过点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)在直线上是否存在点E，使得？若存在，请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）根据平移设，将代入，求出m值即可；
（2）在中，时，，得到，时，，得到；
（3）设，根据，，得到，，根据，得到，根据，得到，得到，或，求得，或，得到，或．
【解析】（1）解：设将向下平移m个单位，得到直线，
则，
∵经过点，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
（2）在中，
令，则，
令，则，
∴，；
（3）存在，或，理由：
在中，令，则，令，则，
∴，，
设，
，，
，，
，
，
，
，
设、之间的距离为，
，
，
，或，
，或，
或．
【点睛】本题主要考查了一次函数，平移，一次函数与一元一次方程，一次函数与三角形，解决问题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式，直线平移的性质，点平移的坐标性质，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与三角形面积的关系．
8．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．与轴交于点，直线与轴交于点
(1)填空：______，______，______；
(2)如图2．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．
①求线段的长度；
②当点落在轴上时，求点的坐标；
③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②点的坐标为；③点的坐标为或
【分析】（1）把代入，求出，得直线：，再把代入，求出，得点的坐标，然后把代入，求出；
（2）①根据折叠的性质得出，勾股定理即可求解；
②过点作轴于点，作轴于点，求出，即可得出，②求出，可得，即可得答案；
③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点坐标．
【解析】（1）解：把代入，
，
，
直线：，
把代入，
，
把代入，
，
，
；
故答案为：．
（2）①∵直线：令，解得，
∴点的坐标为，
∵
∴，
∵折叠，
∴；
②如下图，过点作轴于点，作轴于点，则，，
，
，
，
点的坐标为；
③ 如下图，
当时，由翻折得，
，
，
，
，
点的坐标为；
如图，
当时，
设，则，
在中由勾股定理得：
，
解得：
，
点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数，勾股定理，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．
9．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，．
(1)求直线的解析式．
(2)求的值．
(3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式；
（2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比；
（3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可．
【解析】（1）由题知，设，则．
在中，，
即：，
，
∴，
又，
∴．
（2）设，则，
由折叠性质知：．
在中：，
∴，
∴．
∴，
∴，，
∴．
（3），，理由如下：
如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F，
则,，
又∵
∴
∴，
∵轴，轴
∴为正方形
∴，
∴)
∴直线解析式为：，
∵两点坐标为：
∴直线解析式为：，
联立解得：，
∴
如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F，
则,，
又∵
∴
∴，
∵轴，轴
∴为正方形
∴，
∴)
∴直线解析式为：，
∵两点坐标为：
∴直线解析式为：，
联立解得：，
∴
综上所述，或
【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标．
10．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点与x轴交于点，直线与x轴交于点C．
(1)填空：___________，___________，___________．
(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．
①当点E落在y轴上时，求点E的坐标．
②若为直角三角形，求点D的坐标．
【答案】(1)，，
(2)①，②（2，0）或）
【分析】（1）把代入，求出，得直线，再把代入，求出，得点A的坐标，最后把代入，求出；
（2）①过点A作轴于点H，作轴于点G，求出，再求出，可得，即可得答案；
②分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点D坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点D坐标．
【解析】（1）解：把代入，
∵
∴，
∴直线
把代入
∴
把代入
∵
∴，
故答案为，，
（2）①∵直线
∴点C的坐标为，
如图，过点A作轴于点H，作轴于点G，
则，
∴
∴
∴点E的坐标为
②如图，
当时，由翻折得
∴，
∵，
∴，
∴
∴点D的坐标为
如图，
当时，
设，则
在中由勾股定理得：
解得：
∴
∴点D的坐标为
综上，点D的坐标为或）
【点睛】此题考查了一次函数，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点A、．另一条直线与直线交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与点重合）．
(1)求的值．
(2)当的面积为18时，求点的坐标．
(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点，交轴于点，当时，求的面积．
【答案】(1)
(2)点坐标为或
(3)
【分析】（1）将点代入即可求出a的值；
（2）先根据待定系数法求出的解析式，然后设，求出，，得出，求出，分，，三种情况讨论，得出答案即可；
（3）过作，设，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质，求出m的值，得出，，根据三角形面积公式，求出结果即可．
【解析】（1）解：将代入，
，
．
（2）解：设直线解析式为，
将、代入得：
，解得：，
直线，
设，
把代入得：，解得：，
把代入得：，
∴，，
，
∴，
①如图1，时，
，
，
解得：，
，
②时，的面积不可能为18，
③如图2，时，
，
，
解得：．
综上，点坐标为或．
（3）解：如图3，过作，
设，
，，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
解：，
，，
．
【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式，解题的关键是作出图形，注意分类讨论．
12．如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，点是直线上的一点，它的坐标为，经过点作直线轴交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)已知点是直线上的动点，
若的面积为4，求点的坐标；
若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)，；或
【分析】（1）利用待定系数法可得直线的解析式为，把代入，得，即可求出点的坐标；
（2）利用三角形的面积公式求出的长即可解决问题；分两种情况进行讨论：当时，当时，分别求解即可．
【解析】（1）解：设直线的解析式为，
直线与轴交于点与轴交于点，
，
解得，
直线的解析式为，
把代入，得，
，
．
（2）解：，
，
直线轴交轴于点，，
，
，
，；
一定不是直角，
当时，点恰好在点，
，
当时，
，
由题可得，，，
，
，
，
，
综上所述，所有满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、三角形面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线AP的解析式为
(2)
(3)Q的坐标为或或，理由见解析
【分析】（1）由非负数的性质求出，得到，由待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）过作交x轴于D，连接，由三角形面积关系得到，进而得到，待定系数法求出直线的解析式，即可得到点M的坐标；
（3）设，分三种情况分别求解点Q的坐标即可．
【解析】（1）解：∵，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为；
（2）过作交x轴于D，连接，
∵，的面积等于6，
∴的面积等于6，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴；
（3）Q的坐标为或或．
理由如下：
设，
①当点Q在x轴负半轴时，过B作轴于E，如图，
∴，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②当Q在y轴正半轴上时，过C作轴于F，过B作轴于G，如图，
∴，，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴；
③当Q在y轴正半轴上时，过点C作轴于F，过B作轴于T，如图，
∴，，
同②可证，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上，Q的坐标为或或．
【点睛】此题是一次函数和几何综合题，考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且，连接，已知．
(1)求直线 的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)在线段 上分别取点M，N，使得轴，在x轴上取一点P，连接 是否存在点M，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)线段的表达式
(2)点D的坐标为
(3)存在，点M的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）根据三角形面积公式得到D到 的距离等于B点到的距离的2倍，即D点的纵坐标为4，然后利用直线的解析式计算函数值为4所对应的自变量的值，从而得到D点坐标．
（3）先求出直线的表达式,再求出点N的坐标为，分情况讨论即可.
【解析】（1）解：将点代入，得解得
线段的表达式
（2）已知，且点C在x轴正半轴上，
∴点，
设点D的坐标为，如解图①，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，则
即，解得，
∴点D的坐标为
（3）存在，点M的坐标为或，设直线 的表达式为
将点代入，得，解得
直线的表达式．
已知点M在线段上，设点M的坐标为，则，
轴，且点N在上
∴将代入，得，，解得．
点N的坐标为
分三种情况讨论：
①如解图②，当M为直角顶点时，点P的坐标为
，
解得：，
点M的坐标为
②如解图③，当N为直角顶点时，点M的坐标与①中情况相同；
③如解图④，当P为直角顶点时，，过点P作轴，交MN于点Q，易得点Q为MN的中点，且，点Q的坐标为，
，
，
解得，
∴点M的坐标为
综上所述，点M的坐标为或
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数 ,则需要两组x,y的值．也考查了一次函数的性质，解题关键是分情况进行讨论．
15．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)请写出点A坐标 ，点B坐标 ，直线的函数解析式 ；
(2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
①若的面积为，求点的坐标；
②点在线段上，连接，如图，若，直接写出的坐标．
【答案】(1)，，；
(2)①点的坐标为，或，；②点的坐标为，或，．
【分析】（1）先确定出点坐标和点A坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式；
（2）①先表示出，最后用三角形面积公式即可得出结论；
②分点在轴左侧和右侧，由对称得出，，所以，当即可，利用勾股定理建立方程即可，即可求解．
【解析】（1）解：对于，
由得：，
∴．
由得：，解得，
∴，
∵点与点关于轴对称．
∴，，
设直线的函数解析式为，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为，
故答案为：，，；
（2）解：①设点，，则点，，点，，
过点作与点，
则|，，
则的面积，解得，
故点的坐标为，或，；
②如图，当点在轴的左侧时，
∵点与点A关于轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，，
∴，
解得：，
∴，，
如图，当点在轴的右侧时，
同理可得，，
综上，点的坐标为，或，．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
16．如图，函数的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C在y轴上，AC平分∠OAB．
(1)求点A、B的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)点P在第一象限内，且以A、B、P为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点坐标为或或或
【分析】（1）在函数解析式中分别令和，解相应方程，可求得、的坐标；
（2）过作于点，由勾股定理可求得，由角平分线的性质可得，再根据，可求得，则可求得的面积；
（3）可设，分、和三种情况，分别构造“”型全等，可求得点坐标．
【解析】（1）解：在中，
令可得
解得，
令，解得，
，；
（2）如图，过点作于点，
平分，
，
由可知，，
，
，
，解得，
；
（3）点P在第一象限内，为等腰直角三角形，
有、和三种情况，
①当时，如图，过点作轴于点，则
∵，，
∴，
∴
∴,
∴,
∴此时点坐标为；
②时，如图，
同理可得
∴,
∴,
则此时点坐标为；
③时，如图，过点作轴，过点作于点，
同理可得，
∴，
∴
解得：
∴
所以此时点坐标为；
综上可知使为等腰直角三角形的点坐标为或或．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、勾股定理、三角形的面积、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论思想及方程思想等知识．在(1)中注意函数图象与坐标轴的交点的求法，在(2)中利用角平分线的性质和等积法求得的长是解题的关键，在(3)中根据全等三角形的性质证明，由全等三角形的性质得到关于点坐标是解题的关键．
17．如图①，为等腰直角三角形，，于点，于点．
(1)求证：
(2)如图②为等腰直角三角形，其中点坐标为，点的坐标为，求点的坐标．
(3)如图③在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为，，与轴交于点，若，求点的坐标．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，，，可得，从而可得答案；
（2）如图，过作于，证明，结合，，可得，，从而可得答案；
（3）如图，过作交的延长线于，交轴于，过作于，作于，证明，可得，同理可得：，，则设，求解为，可得，，，，过作，交的延长线于，交轴于，同理可得：，可得，，，，从而可得答案．
【解析】（1）证明：∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵于点，于点．
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，过作于，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，而，，
∴，，
∴，
∴．
（3）如图，过作交的延长线于，交轴于，过作于，作于，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，则设，
设为，而点坐标为，点的坐标为，
∴，解得：，
∴为，
∴，解得，即，
∴，，，
过作，交的延长线于，交轴于，
∴，
同理可得：，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形，作出合适的辅助线，构建全等三角形是解本题的关键．
18．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点．
(1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，；
①直接写出______，______；
②点的坐标______；
(2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化?（填“变”或“不变”），若不变，其值为______；若变，请说明理由；
(3)【拓展应用】如图4，当时，直线与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是______．
【答案】(1)①，；②
(2)不变，的面积为定值，理由见解析
(3)点的坐标为或
【分析】（1）)①若，则直线与轴，轴分别交于，，，两点，即可求解；
②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解；
（2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）过点作轴于，过点作于，证明．分两种情况，由全等三角形的性质得，，可得点的坐标，将点的坐标代入求得的值，即可求解．
【解析】（1）解：①若，则直线为直线，
当时，，
,，
当时，，
,，
，，
故答案为：，；
②作于，
，
，
又是以为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
点的坐标为；
（2）当变化时，的面积是定值，，理由如下：
当变化时，点随之在轴负半轴上运动时，
，
过点作于，
，
，
，
，
，
，
又，
．
，
，
变化时，的面积是定值，；
（3）当时，过点作轴于，过点作于，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，
点的坐标为，，
，
直线，
将点的坐标代入得，，
解得： ，
点的坐标为；
当时，过点作轴于，过点作于，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，
点的坐标为，
，
直线，
将点的坐标代入得，，
解得：，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，构造全等三角形解题是关键．
19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，过点作轴，垂足为．
(1)求两点的坐标；
(2)若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且在直线上有一点，使得最小，求点坐标；
(3)如图2，直线上是否存在点使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点的坐标分别为、
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）对于，令，解得：，令，则，即可求解；
（2）作点关于直线的对称点，连接交于点，则点为所求点，进而求解；
（3）当点在上方时，证明，得到的坐标为，进而求解，当点在下方时，同理可解．
【解析】（1）解：对于，
令，解得：，令，则，
故点的坐标分别为、；
（2）解：点为线段的中点，则点，
如图1，过点作轴于点，
故是的中位线，
即点是的中点，则点，
作点关于直线的对称点，连接交于点，则点为所求点，
理由：为最小，
设直线的表达式为：，则，解得，
故直线的表达式为：
当时，，
故点的坐标为；
（3）解：存在，理由：
当点在上方时，如图2，过点作交于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
在Rt和Rt中，
，
，
，
故点的坐标为，
由点的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
故点的坐标为，
当点在下方时，
过点作交于点，则点关于点对称，
由中点坐标公式得，点，
由点得坐标得：直线得表达式为：，
当时，，
故点的坐标为．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、点的对称性，全等三角形的判定和性质等，其中（3），需要分类求解，避免遗漏．
20．如图，一次函数的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P为中点，点C，D分别在上，连结，点A，E关于对称，点B，F关于对称，且．
(1)直接写出点A，B，P的坐标．
(2)如图1，若点O，E重合，求．
(3)如图2，若点F横坐标为5，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分别让和代入解析式即可求出点A、点B的坐标，再根据中点坐标公式求出点P的坐标；
（2）根据题意可推出轴，即可推出轴，根据点B，F关于对称可得，设出，则可得出点F的坐标，根据两点的距离公式求出，然后利用，即可解出m的值，的长即可求出；
（3）设，由求得F点的坐标，再求的解析式为，过P作，则，证得，可设直线PE的解析式为，把代入得直线的解析式为：，设，由，求得t便可得E点坐标．
【解析】（1）∵当时，，
∴，
∵当时，即，则，
∴，
∵点P为中点
∴，
综上所述：
（2）∵点C在，点A，E关于对称，此时点O，E重合，
∴轴，
∵，
∴轴，
∵，
∴，
∵点B，F关于对称，
∴
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：（舍），
∴；
（3）设
由折叠知，
∵，
∴，
解得（舍）或，
∴，
设PF的解析式为，
则，
解得，
∴直线PF的解析式为：
过P作，则，
∴，
∴，即，
∴可设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为，，
设，
∵，
∴
解得（舍）或，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对称性质，关键是应用方程的思想列出适当的方程求得F、E点的坐标．
21．模型建立：
（1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点C，过A作于D，过B作于E．
求证：；
模型应用：
（2）已知直线：与y轴交于A点，将直线绕着A点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式；
模型拓展：
（3）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段上的一个动点，点位于第一象限内．若是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或
【分析】（1）利用余角的性质证明，再利用即可证明；
（2）求出点A和点B的坐标，得到，，过点作交于点，过点作轴于点，同理证明，求出点C坐标，结合点A坐标得到的解析式；
（3）分点P是直角顶点和点Q是直角顶点，画出图形，同理运用全等三角形得到相等线段，从而列方程求解．
【解析】解：（1），，
，
在和中，
，
；
（2）直线与坐标轴交于点、，
令，则，令，则，
则点、的坐标分别为：、，
则，，
过点作交于点，过点作轴于点，
同（1）可证：，
，，则点，
将点、的坐标代入一次函数表达式：，得：
，解得：，
∴的表达式为：；
（3）∵，
∴点Q在直线上，
∵，
∴，，
当点P是直角顶点时，
，，
过点P作轴，垂足为N，过点Q作，垂足为M，
同（1）可证：，
∴，
∴，
解得；，
∴点Q坐标为；
当点Q为直角顶点时，
，，
过点Q作轴，垂足为N，延长点P，与的延长线交于点M，
同上可证：，
∴，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标为；
当点Q为直角顶点时，
，，
∴点Q在的垂直平分线上，
∴点Q的横坐标a为4，
∴，
∴点Q的坐标为．
综上：点Q的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质等，涉及到全等三角形的一般模型，要注意分类求解，避免遗漏．
22．平面直角坐标系中，直线，分别交x轴，y轴于点A，点C；点B在y轴负半轴上．且，点在直线上，点P是x轴上的一个动点，设点P的横坐标为t．
(1)求直线的函数表达式．
(2)连接、，若的面积等于面积的，直接写出t的值___________．
(3)以为斜边作等腰直角三角形，是否存在t的值，使点E落在线段或上？直接写出所有满足t的值___________．
(4)直接写出的最小值为___________．
【答案】(1)
(2)3或
(3)或0或4
(4)
【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）先求于面积，从而求出的面积，然后根据求解即可；
（3）分E在线段或上两种情况讨论即可；
（4）过P作于点Q，易求，则当C、P、Q三点共线，且时最小，然后根据等积法求解即可．
【解析】（1）解：当时，，解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设直线的函数表达式，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式；
（2）解：∵点在直线上，
∴，
∴
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又若的面积等于面积的，
∴，
∵，
∴，
解得或；
（3）解：当点E在线段上，
过E作轴，过D作于G，过P作于H，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，，
设，
又，，
∴，
解得或（舍去），
∴
∵，
∴，
解得；
当点E在线段上，
过D作轴于G，
同理可证，
∴，，
设，
∴，
∴或，
当时，，此时，∴，∴；
当时，，此时，∴，∴．
综上，或0或4；
（4）解：过P作于点Q，
∵，，
∴，
又
∴是等腰直角三角形，
∴，
则当C、P、Q三点共线，且时，最小，即最小，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．如图1，已知一次函数与x轴，y轴分别交于B点，A点，x正半轴上有一点C，，以A，B，C为顶点作平行四边形．
(1)求C点坐标．
(2)如图2，将直线沿y轴翻折，翻折后的直线交于E点，在y轴上有一个动点P，x轴上有一动点Q，当取得最小值时，求此时的值．
(3)如图3，将向左平移使得点C与坐标原点O重合，A的对应点为，O的对应点为，将绕点O顺时针旋转，旋转角为，在旋转过程中，直线与直线、交于M，G两点，在旋转过程中，能否成为等腰三角形，若能，求出所满足条件的，若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)当为或或或时，为等腰三角形
【分析】（1）先求得则，然后利用特殊锐角三角函数值可求得的长，则可得到点C的坐标；
（2）由关于y轴对称点的坐标特点可得到的解析式，然后依据相互平行的直线的一次项系数相同以及点C的坐标可求得的解析式，然后再求得点E的坐标，作点E关于x轴的对称点，D点关于y轴的对称点，连接分别交y轴和x轴与点P、Q，则的长为的最小值，最后利用两点间的距离公式求解即可；
（3）先根据题意画出图形（见答图：图2、图3、图4、图5），然后依据等腰三角形的性质性质，三角形的外角和的性质、依据旋转角的定义求解即可．
【解析】（1）解：把代入直线的解析式得：，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴点C的坐标为：．
（2）解：∵直线与直线关于y轴对称，
∴的解析式为，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴直线的解析式为，
将点C的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴点E的坐标为：，
作点E关于x轴的对称点，D点关于y轴的对称点，连接分别交y轴和x轴与点P、Q，如图1所示：
则的长为的最小值，
∵，点E与点关于x轴对称，
∴，
把代入得：，
∴点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴
．
（3）解：如图2所示：当时，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
如图3所示：当时，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
如图4所示：当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
如图5所示：当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
综上所述，当为或或或时，为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理，轴对称图形的性质、关于坐标轴对称点的坐标特点、等腰三角形的性质，找出取得最小值的条件是解答问题（2）的关键，根据题意画出符合题意的图形是解答问题（3）的关键．