沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训02一次函数其他难点突破(原卷版+解析)

这是一份沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训02一次函数其他难点突破(原卷版+解析)，共59页。试卷主要包含了解答题，第一等内容，欢迎下载使用。

1．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（4,0），点B（0,6），点P是直线AB上的一个动点，已知点P的坐标为（m,n）.
(1)当点P在线段AB上时（不与点A、B重合）
①当m=2,n=3时，求△POA的面积.
②记△POB的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出定义域.
（2）如果S△BOP：S△POA=1:2,请直接写出直线OP的函数解析式.（本小题只要写出结果，不需要写出解题过程）.
2．（2022春·上海·八年级专题练习）已知：如图，在中，，，，AD平分，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线AC交于点F．
（1）当点F在边AC上时，
①求证：；
②设，，求y与x之间的函数解析式并写出定义域．
（2）当是等腰三角形时，求BE的长．
3．（2022春·上海·八年级专题练习）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线AE的表达式；
(3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
(4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
4．（2018春·上海黄浦·八年级统考期中）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AE的表达式；
（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
（4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
5．（2023春·上海·八年级专题练习）将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．
(1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积；
(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，且点P正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．
6．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，在中， ， ，，点 D 是边 上的动点（点 D 与点 A、B 不重合），过点 D 作 交射线 于点 E，联结 ，点 F是 的中点，联结、、 ．
(1)当点 E在边 上（点 E与点C不重合）时，
①设， ，求出y关于x的函数关系式及定义域；
②当平分时，求出的长；
③求证： 是等边三角形．
(2)如果，请直接写出的长
7．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，线与直线、分别交于、．
(1)求直线的函数表达式；
(2)设点是直线上的一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，若，则的坐标_______________．
(3)在（2）问条件下，且动点在轴左侧，连接，是轴上的一动点，且，直接写出线段的长．
8．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴上点（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得，且，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点为1宝点，理由如下：在x轴上取点，以为斜边作等腰直角三角形，可以算得一个点，它是在y轴上的，因此点为1宝点．
(1)如图①，在点，，，中，2宝点是点___________．（填“A”“B”“C”或“D”）
(2)如图①，点，，若N为4宝点，求点N的坐标．
(3)如图②，若一次函数的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标．
(4)若一次函数图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式．
9．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，两直线相交于点，已知点的坐标为，点的横坐标为2．
(1)直接写出点、、的坐标；
(2)求出直线的函数表达式；
(3)如图1，求的面积；
(4)如图2，点是线段上任一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，则：
①用表示点、的坐标： ， ；
②线段的长度用表示，写出与的函数关系式；
③的面积用表示，写出与的函数关系式．
10．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知：如图，在中，，，，点是边的中点．点是射线上的一动点（点不与点重合），点在的延长线上，且，，垂足为点，交边于点
(1)求证：；
(2)当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并指出函数的定义域；
(3)当时，直接写出的长
11．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数（其中k，b为常数，且）的关联函数．
【理解运用】例如：一次函数，它的关联函数为．
(1)点在一次函数的关联函数的图像上，则m的值为______；
(2)已知一次函数．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数，它的关联函数为的图像与性质进行探究．下面是小明的探究过程：
①填表，
②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数的关联函数的图像；
③若，则y的取值范围为______；
【拓展提升】
(3)在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为、，连接．直接写出线段MN与一次函数的关联函数的图像有1个交点时，b的取值范围为______．
12．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转90°得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ；
（2）探索：如图②，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，，试求直线的解析式；
（3）应用：如图③，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，点D在第二象限，，若，，求b的值．
13．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段最短，则线段的长度称为点P到图形l的距离．例如：图②中，线段的长度是点到线段的距离；线段的长度是点到线段的距离．如图③，在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为，直线与x轴相交于点C．点为x轴上一动点，设点P到线段的距离为d．
(1)① ；
②若，求d的值；
(2)若，求a的值；
(3)若点P在线段上运动，且d为整数，求a的值．
14．（2022秋·浙江·八年级专题练习）设函数（为常数，且），函数和的图象的交点为点．
(1)求证：点在轴的右侧；
(2)已知点在第一象限，函数的值随的增大而增大；
当时，求的取值范围．
若点的坐标是且求证：当时，．
15．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于C，D两点，这两条直线相交于点P．
(1)求直线的关系式；
(2)求四边形的面积：
(3)E在直线上，F在直线上，当轴，轴于H，轴于G，
①设E点横坐标为a，当时，四边形的周长L与a之间的关系式为______；
②当时，a=______．
16．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，在中，，，，将一个角的顶点放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、交于点、，且．
(1)如图，当点与点重合时，求的长．
(2)如图，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
(3)连接，若是直角三角形，直接写出的长．
17．（2023春·全国·八年级专题练习）问题发现．
(1)如图，等腰直角置于平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是上一点，，则点的坐标为______．
(2)问题探究：如图，若点，的坐标分别为，，其余条件与相同，求经过，两点的直线表达式．
(3)问题解决：国庆前夕，某景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图，是景区东门的广场一角，，两面墙互相垂直，景区管理部门设计将，墙面布置成历史故事宣传墙，边上用建筑隔板搭出段将该角落与广场其他区域隔开，段布置成时事政治宣传墙，剩余部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到防疫安全，还需在靠近出入口的处建一个体温检测点．已知，，平分，体温检测点在与的交点处．求点分别到，墙面的距离．
18．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息：
请按要求完成下列各小题：
(1)a的值为______；
(2)在图中画出该函数的图象；
(3)结合函数的图象，解决下列问题：
①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）
A．函数图像关于x轴对称
B．当时，函数有最小值，最小值为
C．当时，y随x的增大而增大
②直接写出不等式的解集为______．
(4)将该函数图像在直线上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线进行翻折，得到新函数图像，若经过点的一次函数图像与新函数图像W只有1个交点时，请直接写出k满足的条件______．
19．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）在中，，点P为边上的动点，速度为．
(1)如图1，点D为边上一点，，动点P从点D出发，在的边上沿D→B→C的路径匀速运动，当到达点C时停止运动．设的面积为（cm2），的面积为（），点P运动的时间为t（）． ，与t之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列问题：
①在图1中， ， ；
②在图2中，求和的交点H的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图3，若点P，点Q同时从点A出发，在的边上沿A→B→C的路径匀速运动，点Q运动的速度为，当点P到达点C时，点P与点Q同时停止运动．求t为何值时，最大？最大值为多少？
x
…
0
1
2
…
y
…
5
3
1
3
5
…
x
…
0
1
2
…
…
4
a
1
4
…
特训02 一次函数 其他难点突破
一、解答题
1．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（4,0），点B（0,6），点P是直线AB上的一个动点，已知点P的坐标为（m,n）.
(1)当点P在线段AB上时（不与点A、B重合）
①当m=2,n=3时，求△POA的面积.
②记△POB的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出定义域.
（2）如果S△BOP：S△POA=1:2,请直接写出直线OP的函数解析式.（本小题只要写出结果，不需要写出解题过程）.
【答案】（1）6；（2）S=3m，0【分析】（1）根据点坐标可得△POA的底和高，根据三角形面积公式计算；（2）根据点坐标可得△POB的底和高，根据三角形面积公式列出S与m的解析式；（3）分别讨论当P在第二、第一、第四象限内，根据题意列出等式求P点坐标，确定直线OP解析式.
【解析】解：（1）如图，过P作PM⊥x轴，垂足为M，
∵A（4,0），P（2,3），
∴S△POA==.
（2）如图，过P作PN⊥y轴，垂足为N，
∵B（0,6），P（m,n），
∴S ==.
∵P在线段AB上（不与点A、B重合）
∴0∴S关于m的函数解析式为S=3m，0（3）如图，设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（4,0），B（0,6）代入，
，
解得， ，
∴直线AB的解析式为 ，
∴P（m, ）.
∵S△BOP：S△POA=1:2，∴S△POA=2 S△BOP
①当m≤0，即点P在第二象限时，
根据题意得，
解得，m= -4，
∴P（-4,12），
设直线OP解析式为y=ax，将P点代入，
-4a=12,
解得，a= -3，
∴直线OP解析式为y= -3x；
②当0根据题意得，
解得，m= ，
∴P（,4），
设直线OP解析式为y=ax，将P点代入，
a=4,
解得，a= 3，
∴直线OP解析式为y= 3x；
③当m>4，即点P在第四象限时，
根据题意得，
解得，m= -4（不符合题意，舍去） .
综上所述，直线OP的解析式为：y=3x或y= -3x
【点睛】本题考查一次函数与几何图形的综合，利用数形结合的思想，按照“表达式坐标线段长几何图形的性质及应用”的思路思考是解答此题的关键.
2．（2022春·上海·八年级专题练习）已知：如图，在中，，，，AD平分，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线AC交于点F．
（1）当点F在边AC上时，
①求证：；
②设，，求y与x之间的函数解析式并写出定义域．
（2）当是等腰三角形时，求BE的长．
【答案】（1）①见详解；②；（2）BE=8或12-4．
【分析】（1）①先证明∆AGF≅∆AGE，从而得AD垂直平分FE，根据中垂线的性质，即可得到结论；②分两种情况：（a）当点F在线段AC上时，（b）当点F在AC的延长线上时，分别求出y与x之间的函数解析式，即可；
（2）分三种情况：①当∠AFD是顶角，即FA=FD时，②当∠FAD是顶角，即FA=DA时，③当∠ADF是顶角，即DF=DA时，分别求解，即可．
【解析】（1）①∵，，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分，
∴∠FAG=∠EAG，
∵，
∴∠AGF=∠AGE=90°，
又∵AG=AG，
∴∆AGF≅∆AGE，
∴FG=EG，
∴AD垂直平分FE，
∴DE=DF；
②∵在中，，，，
∴AB=2AC=12，
（a）当点F在线段AC上时，如图，
∵，，
∴AE=12-x，
∵∆AGF≅∆AGE，
∴AF=AE=12-x，
∴y=6-(12-x)=x-6，
∵0＜AF≤6，
∴0＜12-x≤6，
∴6≤x＜12；
（b）当点F在AC的延长线上时，如图，
∵，，
∴AF=AE=12-x，
∴y=12-x-6=6-x，
∵6＜AF，
∴6＜12-x，
∴0＜x＜6；
综上所述：y与x之间的函数解析式为：；
（2）①当是等腰三角形时，∠AFD是顶角，即FA=FD时，如图
∵，
∴AF=FD=6-y，
∵∠FAG=∠EAG=∠BAC=30°，
∴∠FDG=∠FAG=30°，
∵∠C=90°，∠ADC=90°-30°=60°，
∴∠CDF=30°，
∴DF=2CF，
∴6-y=2y，解得：y=2，
∴AF=6-2=4，
∴AE=AF=4，
∴BE=12-4=8；
②当是等腰三角形时，∠FAD是顶角，即FA=DA时，如图，
∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=6，
∴AD=2CD=2×（6÷）=4，
∴AE=AF=4，
∴BE=12-4；
③当是等腰三角形时，∠ADF是顶角，即DF=DA时，如图，
∵DC⊥AF，
∴CF=CA=6，
∴AF=12，
∴AE=AF=12，此时，点E与点B重合，舍去，
综上所述：BE=8或12-4．
【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，中垂线的性质以及函数解析式，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质以及分类讨论思想，是解题的关键．
3．（2022春·上海·八年级专题练习）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线AE的表达式；
(3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
(4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
【答案】(1)B（8，0）
(2)y=﹣2x+6
(3)△OFB为等腰三角形，S△OBF=8
(4)y=（0＜x＜8）
【分析】（1）对于一次函数，令和求出对应的与的值，确定出 及的长，即可确定出的坐标；
（2）由（1）得出A的坐标，利用勾股定理求出的长，过作垂直于，由为角平分线，利用角平分线定理得到，利用可得出直角三角形与直角三角形全等，可得出，设，由表示出，由表示出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的长，得出的坐标，即可求得直线的解析式；
（3）延长与轴交于点，利用得出△≌△，可得出，利用三线合一得到为的中点，在直角三角形中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到，过作垂直于轴于点，利用三线合一得到为的中点，求出的长，即为的横坐标，将求出的横坐标代入直线解析式中求出对应的纵坐标，即为的长，以为底，为高，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积；
（4）在三角形中，设，再由的长，利用勾股定理表示出，再由表示出，由三角形的面积可以由为底，为高来求出，也可以由为底，为高来求出，两种方法表示出的面积相等列出关系式，整理后即可得到与的函数关系式，同时求出的范围即为函数的定义域．
（1）
解：对于，
当时，；当时，，
，，
在中，根据勾股定理得：，
则，；
（2）
解：过点作，垂足为（如图1所示），
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
设，则有，，
在中，，，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，
设直线的表达式为，
将，代入得：
，
解得：，
则直线的表达式为；
（3）
解：延长交轴于点（如图2所示），
平分，
，
又，
，
在和中，
，
，
，即为的中点，
又为直角三角形，
，
为等腰三角形，
过点作，垂足为（如图2所示），
，，
，
点的横坐标为，
设，将代入，得：，
，
则；
（4）
解：在中，，，
根据勾股定理得：，
又，（等积法），
，又，
则．
【点睛】本题主要考查一次函数，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形面积的求法，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用面积法求高．
4．（2018春·上海黄浦·八年级统考期中）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AE的表达式；
（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
（4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
【答案】（1）B（8，0）；（2）y=﹣2x+6；（3）△OFB为等腰三角形，S△OBF=8； （4）y=（0＜x＜8）．
【分析】（1）如图1中，设OE=x，作EM⊥AB于M．首先证明△AEO≌△AEM，推出AM=AO=6，由OA=6，OB=8，∠AOB=90°，推出AB=10，推出BM=4，在Rt△EBM中，根据EM2+BM2=EB2，可得x2+42=（8-x）2，解方程即可．
（2）根据S△AEB=，即可解决问题．
（3）利用面积即可解决，方法类似（2）．
【解析】解: （1）如图1中，
∵一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交于A、B点，
∴A（0，6），B（8，0），设OE=x，作EM⊥AB于M．
∵AE平分∠OAB，OE⊥OA，
∴OE=EM=x，
在△AEO和△AEM中，
，
∴△AEO≌△AEM，
∴AM=AO=6，
∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=10，
∴BM=4，
在Rt△EBM中，∵EM2+BM2=EB2，
∴x2+42=（8-x）2，
∴x=3，
∴E（3，0），
设直线AE的解析式为y=kx+b则
，解得，
∴直线AE的解析式为y=-2x+6．
（2）由（1）可知OE=3，AE=，EB=5，
∵S△AEB=•EB•OA=•AE•BF，
∴BF=．
（3）如图2中，
在Rt△AOE中，，
∴AE=，
∵S△AEB=•EB•OA=•AE•BF，
∴BF=，
∴y=（0＜x＜8）．
【点睛】本题考查一次函数综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积．勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用面积法求高.
5．（2023春·上海·八年级专题练习）将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．
(1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积；
(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，且点P正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．
【答案】(1)84
(2)
(3)
【分析】（1）先求出点B坐标，继而可得OB，由翻折性质可得：，根据勾股定理可得OC的长，根据三角形面积公式即可求解；
（2）设，，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的长，从而得到点A坐标，将点A（，0）代入可得k的值；
（3）连接CE交AB于点P，由轴对称的性质可得当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，将直线AB和直线CE的解析式联立可得点P，继而即可求得反比例函数解析式．
【解析】（1）∵将代入，得：，
∴点B（0，-7），
∴，
又∵点D（0，18），即，
∴，
由翻折的性质可得：，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得：，
∴直线BC的坐标三角形的面积；
（2）设，，
∵在Rt△AOB中，由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴点A（，0），
∵将点A（，0）代入，得：，
∴，
（3）如图，连接CE交AB于点P，
∵点C与点D关于直线AB对称，
∴，
∴，
∴当点P、C、E在一条直线上时，有最小值，
又∵DE的长度不变，
∴当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，
设直线CE的解析式，
将点C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：，
解得：，
∴直线CE的解析式，
联立，
解得：，
∴点P（-9，5），
设反比例函数解析式为，
∴，
∴反比例函数解析式为．
【点睛】本题考查一次函数的综合运用，涉及到翻折的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，解题的关键是求得各直线解析式，明确当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小．
6．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，在中， ， ，，点 D 是边 上的动点（点 D 与点 A、B 不重合），过点 D 作 交射线 于点 E，联结 ，点 F是 的中点，联结、、 ．
(1)当点 E在边 上（点 E与点C不重合）时，
①设， ，求出y关于x的函数关系式及定义域；
②当平分时，求出的长；
③求证： 是等边三角形．
(2)如果，请直接写出的长
【答案】(1)① （）；②；③证明见解析
(2)1或2
【分析】（1）①根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后再根据进行解答即可； ②利用角平分线的性质定理可得，再建立方程求解即可；③先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，然后即可证明是等边三角形；
（2）先求出的长度，在中，再利用勾股定理求出，再分点E在上与在射线上两种情况求解．
【解析】（1）解：①∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴；
②∵平分，，
∴，
在中，，
∴ ，
∴ ，
解得，
∴；
③证明：在和中，，
∵点F是的中点，
∴， ，
∴，
∴，．
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
（2）∵，，，
∴，，
在中，，
当点E在上时，，
当点E在射线上时，如图，
∴，
∴的长是1或2．
【点睛】本题主要考查了角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等边三角形的判定，列一次函数的关系式，综合性较强，只要仔细分析也不难解决．
7．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，线与直线、分别交于、．
(1)求直线的函数表达式；
(2)设点是直线上的一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，若，则的坐标_______________．
(3)在（2）问条件下，且动点在轴左侧，连接，是轴上的一动点，且，直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)或
(3)的长为或．
【分析】（1）直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，可知点，，的坐标，由此即可求解；
（2）点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，则设，，根据，即可求解；
（3）动点在轴左侧，可知点，由此可求出点的坐标，由此确定的各边的关系，且，根据三角形的面积相等可求出的正弦值，由此在中即可求解．
【解析】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，，则，，
∵点与点关于轴对称，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，则，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：根据题意画图如下所示，
∵点在直线上，点在直线于，
∴设，，则，
∵，即，解方程得，，
∴或．
（3）解：∵点，关于轴对称，
∴，，
∵轴，
∴，
∴在中，，
设交于轴于，则，
∴，，
∵，
∴，
作于，则，
∴，，
如图所示，过点作轴的平行线交轴于，过作的垂线交的延长线于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
∴，且，，
∴，则，
∴，设直线为，
∴，解方程组得，，
∴直线为，
∴，
当在点下方时，设为，
∵，作于，
同理可得：，
同理可得直线为，
令，，
∴，
∴的长为或．
【点睛】本题主要考查一次函数图象的变换，利用待定系数法求解一次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质，理解一次函数图象的在平面直角坐标系中点的特点，及图象间的关系是解题的关键．
8．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴上点（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得，且，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点为1宝点，理由如下：在x轴上取点，以为斜边作等腰直角三角形，可以算得一个点，它是在y轴上的，因此点为1宝点．
(1)如图①，在点，，，中，2宝点是点___________．（填“A”“B”“C”或“D”）
(2)如图①，点，，若N为4宝点，求点N的坐标．
(3)如图②，若一次函数的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标．
(4)若一次函数图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式．
【答案】(1)D
(2)或
(3)或
(4)或
【分析】（1）在x轴上取点，由宝点的定义可知，y轴上存在点，此时点D为2宝点；
（2）连接，根据宝点的定义作图，可得点N的坐标；
（3）设2宝点为点，当在x轴上方时，过作轴于F，可证，进而得2宝点的坐标，当在x轴下方时，过作轴于H，可证明，进而得另一个符合套件的2宝点的坐标；
（4）如图，由题意可得，分别求得当点N在第一象限时，点N在第二象限时的坐标，可得答案．
【解析】（1）解：在x轴上取点，由宝点的定义可知，
点D符合，如图，此时y轴上存在点，符合题意，
故答案为D；
（2）解：如图，连接，将线段绕点T分别逆时针和顺时针旋转，可得点N的坐标，由图可得，点N的坐标为或；
（3）解：设2宝点为点
①当在x轴上方时，过作轴于F，如图所示：
∵是2的宝点，
∴
∴
∵
∴
∴，
设，则
∴
将代入得：
，解得，∴
②当在x轴下方时，过作轴于H，如图所示：
同①可证明，
∴，
设，则
∴，
将代入得：
，解得
∴
综上所述，点的坐标为（2，4）或（0，-2）
（4）解：如图，由题意可得，
①如左图，当点N在第一象限时，设点，则点，
所以符合条件的一次函数解析式为；
②如右图，当点N在第二象限时，设点，则点，
所以符合条件的一次函数解析式为．
【点睛】本题考查新定义题，准确掌握图形的特点及平面直角坐标系的相关知识是解题的关键．
9．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，两直线相交于点，已知点的坐标为，点的横坐标为2．
(1)直接写出点、、的坐标；
(2)求出直线的函数表达式；
(3)如图1，求的面积；
(4)如图2，点是线段上任一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，则：
①用表示点、的坐标： ， ；
②线段的长度用表示，写出与的函数关系式；
③的面积用表示，写出与的函数关系式．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
(4)①，；②；③
【分析】（1）在直线中，分别令和，，可求得、、的坐标；
（2）利用待定系数法得到直线的解析式；
（3）求出点D的坐标，根据即可求解；
（4）①根据直线，直线即可用m表示点M、N的坐标；
②根据①得出的点、的坐标即可写出与的函数关系式；
③根据即可求解．
【解析】（1）解：在直线中，
令可得，令可得，令可得，
，，；
（2）解：设直线的解析式为，
∴，解得
直线的解析式为；
（3）解：直线的解析式为，
点，
；
（4）解：①点是线段上任一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，
则：，，
故答案为：，；
②线段的长度，
与的函数关系式为；
③，
与的函数关系式为．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，用点的坐标表示线段的长是解题的关键．
10．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知：如图，在中，，，，点是边的中点．点是射线上的一动点（点不与点重合），点在的延长线上，且，，垂足为点，交边于点
(1)求证：；
(2)当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并指出函数的定义域；
(3)当时，直接写出的长
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或．
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明；
（2）连接，根据全等三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理列出关系式，再利用两个临界位置得到函数定义域；
（3）分点E在线段上，点E在线段的延长线上两种情况，根据（2）的结论与探究方法，再利用函数式或勾股定理计算即可．
【解析】（1）证明：∵点是边的中点．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）连接， ∵，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，，
∴，
∵，，
即，
整理得，；
当，重合时，如图，
此时，，
∴，
解得：，，
当，重合时，如图，
此时，，，
同理可得：，，
∴，
∴．
（3）当点E在线段上时，，即，
∴ ，
解得，，即，
当点E在线段的延长线上时，如图2，连接，，
由（1）得，， ，
∴，
即，
解得，， 即
综上所述，当时，或．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
11．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数（其中k，b为常数，且）的关联函数．
【理解运用】例如：一次函数，它的关联函数为．
(1)点在一次函数的关联函数的图像上，则m的值为______；
(2)已知一次函数．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数，它的关联函数为的图像与性质进行探究．下面是小明的探究过程：
①填表，
②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数的关联函数的图像；
③若，则y的取值范围为______；
【拓展提升】
(3)在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为、，连接．直接写出线段MN与一次函数的关联函数的图像有1个交点时，b的取值范围为______．
【答案】(1)5；
(2)②作图见解析；③；
(3)或者．
【分析】（1）根据关联函数的定义把代入，即可求解；
（2）②根据列表即可作出图形，③分别求出、0、2时，y的值，结合图形即可求得对应y的取值范围；
（3）先求出直线与y轴的交点坐标，再由一次函数的关联函数为，根据不等式即可得结论．
【解析】（1）解∶由题意得的关联函数为，
∵点在一次函数的关联函数的图像上，且，
∴把代入，得， ，
解得，
故答案为∶5；
（2）解：②作图如下，
③∵当时，，当x=0时，
∴时，，
∵当x=0时，当时，，
∴时，，
∴时，；
（3）解：如图，
设直线为，
∵点M、N的坐标分别为、，
∴，
解得，
∴直线为，
令，则，
∴直线为与y轴的交点为，
由题意得，一次函数的关联函数为．
当y轴右侧部分与有交点时，把和代入，得，
当y轴左侧部分与MN有交点时，把和，代入，得，
当，，
∴或者，
∴关联函数与有1个交点时， b的取值范围为∶或者，
故答案为∶ 或者．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键．
12．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转90°得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ；
（2）探索：如图②，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，，试求直线的解析式；
（3）应用：如图③，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，点D在第二象限，，若，，求b的值．
【答案】（1）；（2）（3）
【分析】（1）证明，得出，根据线段之间的关系即可得出结论；
（2）连接，证明，得出，，求出，，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）过点O作，交的延长线于点E，连接，证明，得出，，证明，利用勾股定理求出，从而得出，最后利用勾股定理求出结果即可．
【解析】解：（1）∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：；
（3）过点O作，交的延长线于点E，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，即，
把代入得：，即，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴b的值为5．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法．
13．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段最短，则线段的长度称为点P到图形l的距离．例如：图②中，线段的长度是点到线段的距离；线段的长度是点到线段的距离．如图③，在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为，直线与x轴相交于点C．点为x轴上一动点，设点P到线段的距离为d．
(1)① ；
②若，求d的值；
(2)若，求a的值；
(3)若点P在线段上运动，且d为整数，求a的值．
【答案】(1)①45；②
(2)若，a的值为1或3
(3)若点P在线段上运动，且d为整数，则a的值为或1或
【分析】（1）①利用待定系数法求得直线的解析式，进而得到点C的坐标，过点A作于点E，利用等腰三角形的判定与性质即可得出结论；
②利用新定义解答即可；
（2）利用分类讨论的思想方法分①当点P在点E的左侧时，②当点P在点E的右侧时，利用新定义的意义解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分当①点P在点E的左侧时，②当点P与点E重合时，③当点P在点E的右侧时，利用d为整数，令，利用勾股定理求出线段，的长度，进而求得线段的长，则结论可得．
【解析】（1）①设直线的解析式为，
∴，
解得：．
∴直线的解析式为．
令，则，
∴，
∴．
∴．
过点A作于点E，如图，
则．
∴．
∴．
∴．
∴．
故答案为：45；
②若，点P与点E重合，
∴线段的长度为点P到线段的距离d，
∴；
（2）①当点P在点E的左侧时，的长为P到线段的距离d，
∵，，
∴点P与点C重合．
∴①．
②当点P在点E的右侧时，点P到线段的垂线段的长度为P到线段的距离d，
过点A作交x轴于点F，如图，
∵，
∴，．
∴点P与点F重合．
∵，
∴．
∴．
综上，若，a的值为1或3；
（3）①当点P在点E的左侧时，的长为P到线段的距离d，
∵，d为整数，
∴当，即，如图，
∴．
∴．
∴．
∴．
②当点P与点E重合时，，符合题意，
∴．
∴．
③当点P在点E的右侧时，点P到线段的垂线段的长度为P到线段的距离d，
过点P作于点H，如图，
当时，即，
∵，
∴．
∴．
∴．
当时，即，
∵，
∴．
∴，不合题意．
综上，若点P在线段上运动，且d为整数，则a的值为或1或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
14．（2022秋·浙江·八年级专题练习）设函数（为常数，且），函数和的图象的交点为点．
(1)求证：点在轴的右侧；
(2)已知点在第一象限，函数的值随的增大而增大；
当时，求的取值范围．
若点的坐标是且求证：当时，．
【答案】(1)见解析
(2) ；见解析
【分析】（1）由，解得，即知点在轴的右侧；
（2）由函数的值随的增大而增大，得，点在第一象限，可得，当时，，可得，即可得；
根据点的坐标是，知，由可得，而当时，，，即可证明．
【解析】（1）证明：令，解得，
函数和的图象的交点的横坐标为1，
点在轴的右侧；
（2）解：函数的值随的增大而增大，
由（1）知
点在第一象限，
当时，，
即
，
此时满足
的取值范围是；
证明：点的坐标是，
且
，
当时，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查一次函数及应用，涉及一次函数图象上点坐标特征，不等式等知识，解题的关键是根据已知求出的范围．
15．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于C，D两点，这两条直线相交于点P．
(1)求直线的关系式；
(2)求四边形的面积：
(3)E在直线上，F在直线上，当轴，轴于H，轴于G，
①设E点横坐标为a，当时，四边形的周长L与a之间的关系式为______；
②当时，a=______．
【答案】(1)
(2)四边形AODP的面积为
(3)①；②或
【分析】（1）根据直线与x，y轴的两交点代入中求解k，b即可得到直线的关系式；
（2）过点P作轴，交x轴于点Q，将四边形面积分割成直角三角形的面积与直角梯形的面积之和；
（3）①由题意可知，四边形为矩形，矩形的一边长为E点横坐标，另一边长为E点纵坐标减F点纵坐标，再用矩形的周长公式，即可得出L与a之间的关系式；②分析可得，当时不合题意，则需讨论的情况，再通过数形结合，分为E点在F点上方和F点在E点上方两种情况去求解．
【解析】（1）解：由已知得：，代入中得：
解得：
∴直线的关系式为
（2）解：如图，过点P作轴，交x轴于点Q，
点P为直线与直线的交点，联立两直线关系式得：
解得：
即
∴梯形的面积
∵三角形为直角三角形
∴三角形的面积
∴四边形面积
（3）解：①由题意可知，四边形为矩形，
∵E在直线上，且设E点横坐标为a
∴
∵F在直线上，当轴，轴于H，轴于G
∴，，
当时，E点位于F点上方
∴，
∴
故答案为：．
②当时，，解得：，不符合题意，舍去
当时，通过画图观察，四边形分为E点在F点上方和F点在E点上方两种情况
当E点在F点上方时
,
此时
若，解得：，符合题意
当F点在E点上方时，
,
此时
若，解得：，符合题意
综上所述：当时，或
故答案为：或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的解析式、三角形和梯形的面积计算以及在平面直角坐标系中用坐标表示点之后求线段长度，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用数形结合的数学思想思考问题，掌握利用方程组求两条直线的交点坐标，熟悉两点之间的距离公式．
16．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，在中，，，，将一个角的顶点放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、交于点、，且．
(1)如图，当点与点重合时，求的长．
(2)如图，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
(3)连接，若是直角三角形，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)（）
(3)或
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）证明等边三角形，求出，可得，根据，得出，根据一定与线段、相交，得出最大到处，求出即可得出答案；
（3）分为两种情况：为直角顶点时．为直角顶点时，分别构建方程求解即可．
【解析】（1），
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2），，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
角的两边分别与的边、交于点、，
过作于，最后只能到点，
此时是，
函数的定义域即的取值范围是：；
（3）如图中，当时，
，，，
，
，
，
，
解得：，
即；
当时，如图2，
，

，
解得：，
即；
综上所述：或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了含度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．（2023春·全国·八年级专题练习）问题发现．
(1)如图，等腰直角置于平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是上一点，，则点的坐标为______．
(2)问题探究：如图，若点，的坐标分别为，，其余条件与相同，求经过，两点的直线表达式．
(3)问题解决：国庆前夕，某景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图，是景区东门的广场一角，，两面墙互相垂直，景区管理部门设计将，墙面布置成历史故事宣传墙，边上用建筑隔板搭出段将该角落与广场其他区域隔开，段布置成时事政治宣传墙，剩余部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到防疫安全，还需在靠近出入口的处建一个体温检测点．已知，，平分，体温检测点在与的交点处．求点分别到，墙面的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】过作于，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
过作于，根据已知条件得到直线的解析式为，根据勾股定理得到，设，根据勾股定理得到，待定系数法即可得到结论；
以点为坐标原点建立平面直角坐标系，由得直线的解析式为，过作于，根据角平分线的性质得到，证明 ，求得，由知，，根据勾股定理得到，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论．
【解析】（1）如图，过作于，
∴，
∵是等腰直角三角形，点，的坐标分别为，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（2）如图，过作于，
∴，
∵点，的坐标分别为，，
∴，，
∴，
∵
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得或（不合题意舍去），
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（3）如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，
由得直线的解析式为，
过作于，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴
∴直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴点分别到，墙面的距离分别为，
【点睛】本题主要考查了一次函数，全等三角形，勾股定理，等腰直角三角形等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式．
18．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息：
请按要求完成下列各小题：
(1)a的值为______；
(2)在图中画出该函数的图象；
(3)结合函数的图象，解决下列问题：
①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）
A．函数图像关于x轴对称
B．当时，函数有最小值，最小值为
C．当时，y随x的增大而增大
②直接写出不等式的解集为______．
(4)将该函数图像在直线上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线进行翻折，得到新函数图像，若经过点的一次函数图像与新函数图像W只有1个交点时，请直接写出k满足的条件______．
【答案】(1)1
(2)见解析
(3)①BC；②或
(4)或或
【分析】（1）把代入即可求出a的值；
（2）先描点再连线画出函数图像即可；
（3）①根据函数图象可以看出函数图像关于y轴对称，关于x轴不对称，即可判断A错误；根据函数图象可判断当时，函数有最小值，最小值为，得出B正确；根据函数图象可判断当时，y随x的增大而增大，得出C正确；
②根据函数图象写出不等式的解集即可；
（4）根据题意画出翻折后的图像，然后数形结合求出k的范围即可．
【解析】（1）解：把代入得：
，
即，
故答案为：1．
（2）解：该函数的图象，如图所示：
（3）解：①A．函数图像关于y轴对称，故A错误；
B．当时，函数有最小值，最小值为，故B正确；
C．当时，y随x的增大而增大，故C正确；
故答案为：BC；
②根据函数图象可知，当或时，；
故答案为：或；
（4）解：如图所示：
设点，，，，，
设的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
的解析式为：，
设的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
的解析式为：，
设的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
的解析式为：，
根据图像可知，当直线经过和点时，直线与图像W只有一个交点，
把，代入得：，
解得：；
∵，
∴，
根据图像可知，当直线与平行时，直线与图像W只有一个交点，且此时直线绕点继续逆时针旋转，直到与平行之前，直线与图像W只有一个交点，
∴当或时，直线与图像W只有一个交点；
综上分析可知，当或或时直线与图像W只有一个交点．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
19．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）在中，，点P为边上的动点，速度为．
(1)如图1，点D为边上一点，，动点P从点D出发，在的边上沿D→B→C的路径匀速运动，当到达点C时停止运动．设的面积为（cm2），的面积为（），点P运动的时间为t（）． ，与t之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列问题：
①在图1中， ， ；
②在图2中，求和的交点H的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图3，若点P，点Q同时从点A出发，在的边上沿A→B→C的路径匀速运动，点Q运动的速度为，当点P到达点C时，点P与点Q同时停止运动．求t为何值时，最大？最大值为多少？
【答案】(1)①5，6；②点
(2)时，最大值为5.5
【分析】（1）①由图象可求解；②由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求，即可求点H坐标；
（2）分三种情况讨论，由线段的和差关系可求解．
【解析】（1）①由图2可知，，，
∴（），
故答案为：5，6；
②如图1，过点A作于T，
∵，，
∴（），
∴（），
∴（），
∴当时，即，
此时点P是的中点，
∴，
∴，
∴点；
（2）①当时，P，Q均在上，
∴当时，最大，
②当时，P在上，Q在上，
∴，
∴当时，最大，
③当时，P，Q均在上，
∴，
∴当时，最大，
∴综上，时，最大值为5.5．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了函数图象的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
x
…
0
1
2
…
y
…
5
3
1
3
5
…
x
…
0
1
2
…
…
4
a
1
4
…