人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练专题16.1二次根式重难点题型11个(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练专题16.1二次根式重难点题型11个(原卷版+解析)，共49页。试卷主要包含了二次根式与同类二次根式的识别，5B．1C．2D．2，二次根式有意义的综合应用，1 二次根式 重难点题型等内容，欢迎下载使用。
解题技巧：最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不
含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．
1．（2022·湖北襄阳·八年级期末）在式子中，二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·云南昭通·八年级期中）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·山东淄博·八年级期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．
A．B．C．D．
4．（2022·广西崇左·八年级期中）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．﹣D．
5．（2022·上海市罗星中学八年级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．；B．；C．；D．．
6．（2022·广西柳州·八年级期中）下列各式能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
题型2 利用二次根式的相关概念求参数值
1.（2022·山东烟台·八年级期末）若是整数，则正整数的最小值是（ ）
A．1B．3C．6D．12
2．（2022·河北邢台·八年级期末）若是二次根式，则a的取值范围是______；若是正整数，则正整数a的最小值是______．
3．（2022·湖北武汉·八年级期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_____．
4．（2022·河北沧州·八年级期中）计算的结果是______．已知最简二次根式与能进行合并，则______．
5．（2022·甘肃平凉·八年级期中）若最简二次根式和能合并，则的值为（ ）
A．0.5B．1C．2D．2.5
6．（2022·上海市八年级阶段练习）已知最简二次根式和是同类二次根式，则______．
题型3 利用二次根式性质化简符号
【解题技巧】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
1.（2022·山东泰安·八年级期中）化简：________．
2．（2021·四川省成都市八年级月考）化简二次根式得（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江八年级）把二次根式化简为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·湖北鄂州·八年级期末）把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·深圳初二期中）化简二次根式 的结果是（ ）
A．B．－C．D．－
6．（2022·温州八年级月考）下列四个式子中，与的值相等的是（ ）
A．B．C．D．
题型4.二次根式有意义的综合应用
解题技巧：此类题型，需要关注2点：1）被开放数大于等于0；2）分母不能为0.
常见考法：1）与题型；2）根据二次根式有意义的条件，化简绝对值。
1．（2022·广西贺州·八年级期中）若，则等于（ ）
A．－1B．1C．D．0
2．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川绵阳·八年级期中）若a，b为实数，，则_________．
4．（2022·浙江八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．
5．（2022·湖北十堰·八年级阶段练习）已知x满足|2021﹣x|+＝x，那么x﹣20212的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
6．（2022·山东济宁·八年级期中）已知a满足．
(1)有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______．(2)根据（1）的分析，求的值．
题型5 分母（子）有理化及其运用
1．（2022·北京市第一六一中学八年级期中）阅读材料，然后作答：
在化简二次根式时，有时会碰到形如这一类式子，通常进行这样的化简：
，，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：
例如：
请仿照上述方法解决下面问题：（1）分母有理化的结果是 ．
（2）分母有理化的结果是 ．（3）分母有理化的结果是 ．
2．（2022·河南八年级期中）像，，，两个含有二次根式的代数式相乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请先确定下列分母的有理化因式，然后再完成化简与计算．
（1）化简：；（2）计算：．
3．（2022·河北八年级期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：（1）的有理化因式是______；
（2）化去式子分母中的根号：______．（直接写结果）
（3）______（填或）
（4）利用你发现的规律计算下列式子的值：．
4．（2022·山东八年级期中）先阅读，然后完成问题．
（1）阅读：化简．
．
（2）完成下列问题：①与是互为__________关系；②写出的倒数__________；
③比较大小并说明理由：与．
5．（2022·山东烟台·八年级期中）阅读理解题：已知a=，将其分母有理化．
小明同学是这样解答的：a==．
请你参考小明的化简方法，解决如下问题：(1)计算：；
(2)计算：；(3)若a=，求2a2+8a+1的值．
6．（2022·重庆·八年级期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值．
题型6 二次根式的混合运算
解题技巧：二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
1．（2021·河北沧州市·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·淄博市八年级期末）计算：
（1） （2）
3．（2022·宁波市第七中学八年级期中）计算：
（1）（2）2+﹣ （2）（+﹣）÷
4．（2022·江苏苏州市·八年级期中）计算：
（1）； （2）；
（3） （4）
5．（2022·福建省福州延安中学八年级期中）解答下列各式．
（1）； （2）．
题型7 利用二次根式性质求代数式的值
1．（2022·安徽）已知，求______________．
2．（2022·湖北八年级期中）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
3．（2022·湖北八年级期末）已知，若，，试求a2+b2+ab的值．
4．（2022·山东八年级期中）已知a＝＋1，b＝﹣1，求下列各式的值．
（1）a2＋2ab＋b2；（2）a2﹣b2
5．（2022·辽宁）已知，，求下列各代数式的值．
（1）．（2）．
6．（2022·广东惠州一中）已知：，，求代数式的值．
题型8 复合二次根式的化简
解题技巧：化简二次根式，关键是要化简出平方（偶次）项来，我们八年级上册学习的完全平方公式能够很好的完成这个任务。因此，在化简二次根式时，我们常用到乘法公式。
1.（2022·四川广安·八年级期末）先阅读下列解答过程：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，，即， ，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，，
由于，，即，，
所以．
请根据材料解答下列问题：(1)填空：______；(2)化简：（请写出计算过程）；
(3)化简：．
2．（2022·湖北随州·八年级期中）阅读下面材料，回答问题：
(1)在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下：
小李的化简如下：
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
(2)请你利用上面所学的方法化简．
(3)计算：．
3．（2022·上海市梅陇中学八年级阶段练习）同学们，我们以前学过完全平方公式，a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧？现在我么又学习了平方根，那么所有的正数和0都可以看作是一个数的平方，比如：2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，02＝0，那么我们利用这种思想方法计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根
解：3﹣2＝2﹣2+1＝（）2﹣2+12＝（﹣1）2
∴3﹣3的算术平方根是﹣1
同学们，你看明白了吗？大胆试一试，相信你能做正确！
(1) (2) (3)++．
4．（2022·河南驻马店·八年级期中）先阅读下列材料，再解决问题．
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：．
(1)模仿上例的过程填空：______＝______＝______＝______；
(2)根据上述思路，试将下列各式化简：①；②．
5．（2022·福建八年级期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
6．（2022·成都市八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：．
题型9 含二次根式的规律探究
解题技巧：规律探究，需要注意每个根式中分子、分母的关系或变化规律。
1．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“2，然后根据二次根式的性质可进行求解．
【详解】解：由题意得：，解得：x>2，
∴；故选D．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
5．（2022·深圳初二期中）化简二次根式 的结果是（ ）
A．B．－C．D．－
【答案】B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【解析】
故选B
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
6．（2022·温州八年级月考）下列四个式子中，与的值相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件可得出，可得，由此可将变形得出答案．
【详解】由题意得：，可得，
∴．故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是由等式可确定出．
题型4.二次根式有意义的综合应用
解题技巧：此类题型，需要关注2点：1）被开放数大于等于0；2）分母不能为0.
常见考法：1）与题型；2）根据二次根式有意义的条件，化简绝对值。
1．（2022·广西贺州·八年级期中）若，则等于（ ）
A．－1B．1C．D．0
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：，
∵，∴，∴，
∴．故选：B
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，乘方，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
2．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据二次根式的意义求出n，再求出m，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答．
【详解】解：由题意可得：2n-5=5-2n=0，∴m=0+0+2=2，
∴n-m=故选A．
【点睛】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．
3．（2022·四川绵阳·八年级期中）若a，b为实数，，则_________．
【答案】4
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【详解】解：由题意可知：，，解得：，，
，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数．
4．（2022·浙江八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，
∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
5．（2022·湖北十堰·八年级阶段练习）已知x满足|2021﹣x|+＝x，那么x﹣20212的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，然后去绝对值化简即可得出答案．
【详解】解：∵x−20220，∴x2022，∴2021−x＜0，
∴原式变形为x−2021＋＝x，∴＝2021，
两边平方得：，∴．故选：D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和化简绝对值，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
6．（2022·山东济宁·八年级期中）已知a满足．
(1)有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______．(2)根据（1）的分析，求的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据绝对值的性质化简；
（2）去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可．
（1）解：∵有意义，∴，∴，
∴，∴；故答案为：；；
（2）∵，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出a≥2022是解此题的关键．
题型5 分母（子）有理化及其运用
1．（2022·北京市第一六一中学八年级期中）阅读材料，然后作答：
在化简二次根式时，有时会碰到形如这一类式子，通常进行这样的化简：
，，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：
例如：
请仿照上述方法解决下面问题：（1）分母有理化的结果是 ．
（2）分母有理化的结果是 ．（3）分母有理化的结果是 ．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把分子1变形为，然后用平方差公式分解因式即可求的答案；
（2）把分子2变形为，然后用平方差公式分解因式即可求的答案；
（3）把分子变形为，然后用平方差公式分解因式即可求的答案．
【详解】解：（1），故答案为：；
（2），故答案为：；
（3），故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，把分子变形为平方差的形式再用平方差公式分解因式是解决本题的关键．
2．（2022·河南八年级期中）像，，，两个含有二次根式的代数式相乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请先确定下列分母的有理化因式，然后再完成化简与计算．
（1）化简：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分子分母同时乘，进行有理化，然后化简即可；
（2）对式子分别进行有理化，然后计算即可．
【详解】解：（1）原式
（2）原式
【点睛】此题主要考查了二次根式分母有理化，熟练掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键．
3．（2022·河北八年级期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：（1）的有理化因式是______；
（2）化去式子分母中的根号：______．（直接写结果）
（3）______（填或）
（4）利用你发现的规律计算下列式子的值：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2020
【分析】（1）根据有理化因式的定义求解；（2）利用分母有理化计算；
（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到，，然后进行比较大小；
（4）先根据规律，化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）的有理化因式是，故答案为：；
（2）∵，故答案为：；
（3）∵，，
而，
∴>，
∴