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人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练期末押题预测卷(2)(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练期末押题预测卷(2)(原卷版+解析)，共31页。
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·天津·八年级校考期末）下列各组数据中不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．3、4、6 B．7、24、25 C．6、8、10 D．9、12、15
2．（2023春·安徽蚌埠·九年级专题练习）今年合肥市五一黄金周的气温状况如下表：
则根据表格温度数据说法正确的是（ ）
A．这组数据的中位数是16 B．这组数据的众数是21 C．这组数据的平均数是19 D．这组数据的方差是16
3．（2022·浙江·乐清八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③
5．（2023·四川绵阳·八年级期末）已知一次函数y＝﹣2x+3，下列说法错误的是（ ）
A．y随x增大而减小 B．图象与y轴的交点坐标为（0，3）
C．图象经过第一、三、四象限 D．该图象可以由y＝﹣2x平移得到
6．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，直线与的交点的坐标为，则关于的不等式的整数解为（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（2022春·安徽安庆·八年级校考期末）在中，下列说法不正确的是（ ）
A．若点M是BC的中点，，则是矩形
B．若，则是菱形
C．若点E、F分别是AB、CD的中点，且，则是矩形
D．若边AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、H、I且，则是菱形
9．（2023·广东·模拟预测）在▱中，，，，则▱的周长是（ ）
A．B．8C．D．16
10．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在正方形中，，对角线上的有一动点，以为边作正方形．
①在点运动过程中，点始终在射线上；②在点运动过程中，可能为135°；
③若是的中点，连接，则的最小值为；
④为等腰三角形时，的值为或 以上结论正确的是（ ）
A．①③④B．②④C．①②③D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏无锡·八年级统考期末）写出一个二次根式，使它与的积是有理数．这个二次根式是______．
12．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，下表记录了他们次还原魔方所用时间的平均值与方差：
要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择________同学．
13．（2022·山东·八年级阶段练习）某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高平均数________，方差________．（变大、变小、不变）
14．（2022·江苏八年级期末）如图，在四边形中，，．若，，，则对角线的长为____________cm．
15．（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）已知直线y＝（m-1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）．当m变化时，下列结论正确的有_________．
①当m=2，图象经过一、三、四象限；②当m＞0时，y随x的增大而减小；
③直线必过定点（2，1）；④坐标原点到直线的最大距离是．
16．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，中，，，．点D为边上一个动点，作、，垂足为E、F，连接．则长度的最小值为______．
17．（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）平面直角坐标系中，，，为轴上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，当点在轴上运动，取最小值时，点的坐标为____．
18．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，若△CEF为直角三角形时，DE的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）计算
（1）；（2）．
20．（2022·河南安阳·八年级期末）从2003年10月神舟五号载人飞船进入太空，到2022年6月神舟十四号成功发射，中国航天人合力将中国太空梦化为现实，并不断取得突破性进展，为此，某中学开展以“航天梦·中国梦”为主题的演讲比赛，赛后，从七，八年级中各随机抽取20名学生的比赛成绩（比赛成绩均为整数，8分及8分以上为优秀）进行整理和分析，绘制出如下统计表．
表一：从七，八年级抽取学生的比赛成绩统计表
表二：学校对平均数，中位数，众数，优秀率进行分析，绘制成如下统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a＝______；b＝______；c＝______；
(2)若该校七，八年级共有学生500名，估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的共有多少人？
(3)根据表二中的数据分析，你认为哪个年级的学生在本次比赛中成绩较好，并说明理由．
21．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
22．（2022·福建八年级期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
23．（2022·四川绵阳·八年级期末）甲、乙两个种子店都销售“黄金1号”玉米种子，在甲店，该玉米种子的价格为m元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出函数图象，如表是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，10）．在乙店，不论一次购买该种子的数量是多少，付款金额T（元）与购买数量x（千克）的函数关系式为T＝kx．
（1）根据题意，得m＝ ，n＝ ．（2）当x＞2时，求出y关于x的函数解析式；
（3）如果某农户要购买4千克该玉米种子，那么该农户应选择哪个店更合算？
24．（2022春·河北·八年级统考期末）如图，在中，点O是AD的中点，连接CO，BA、CO的延长线相交于点E，连接AC、DE．(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)当与满足的数量关系为_____________时，四边形ACDE是矩形．
25．（2022春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，四边形是正方形，点E是直线边上一点，，且交正方形外角的平分线所在直线于点F．
(1)如图1，若点E是边上一点，求证：；(2)如图2，若点E为延长线上一点，交正方形外角的平分线所在直线于点F，请问（1）中的结论是否仍然成立，说明理由；(3)如图3，P为对角线上一点，E为的中点，连，若平分，直接写出的长度．
26．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)求的面积．(3)是否存在点在轴负半轴上，点在平面直角坐标系内，使得以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
日期
1
2
3
4
5
温度（℃）
20
18
16
20
21
甲
乙
丙
丁
（秒）
成绩（分）
4
5
6
7
8
9
10
抽取的七年级人数（人）
2
0
4
3
6
3
2
抽取的八年级人数（人）
1
2
1
6
5
4
1
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
7.4
a
8
55%
八年级
7.4
b
c
50%
付款金额（元）
m
7.5
10
12
n
购买量（千克）
1
1.5
2
2.5
3
期末押题预测卷（2）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·天津·八年级校考期末）下列各组数据中不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．3、4、6 B．7、24、25 C．6、8、10 D．9、12、15
【答案】A
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、32+42≠62，不能组成直角三角形，符合题意；
B、72+242=252，能组成直角三角形，不符合题意；
C、62+82=102，能组成直角三角形，不符合题意；
D、92+122=152，能组成直角三角形，不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．（2023春·安徽蚌埠·九年级专题练习）今年合肥市五一黄金周的气温状况如下表：
则根据表格温度数据说法正确的是（ ）
A．这组数据的中位数是16 B．这组数据的众数是21 C．这组数据的平均数是19 D．这组数据的方差是16
【答案】C
【分析】根据平均数、中位数、方差的意义即可求解．
【详解】解：这组数据的中位数是20，故选项A不合题意；
这组数据的众数是20，故选项B不合题意；
这组数据的平均数是，故选项C符合题意；
这组数据的方差是，故选项D不合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
3．（2022·浙江·乐清八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．
【详解】解：连接AC，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．
4．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③
【答案】D
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【详解】只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
5．（2023·四川绵阳·八年级期末）已知一次函数y＝﹣2x+3，下列说法错误的是（ ）
A．y随x增大而减小 B．图象与y轴的交点坐标为（0，3）
C．图象经过第一、三、四象限 D．该图象可以由y＝﹣2x平移得到
【答案】C
【分析】当k<0时，图像是下降的，当b>0时，图像是往上平移3个单位；根据一次函数的图像和性质进行逐一判断．
【详解】A项：由于k<0，图像是下降的，y随x增大而减小；故A正确，不符题意；
B项：图像与y轴相交时，x=0，令x=0即可求得交点坐标为（0,3），故B正确，不符题意；
C项：图像经过一、二、四象限，故C错误，符合题意；
D项：y＝﹣2x向上平移3个单位即可得到y＝﹣2x+3的图像，故D正确，不符合题意．故选C
【点睛】本题考查一元一次函数图像性质，掌握k,b对函数图像的影响就能正确解题．
6．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数轴上点的位置判断出的正负，原式利用二次根式的化简公式变形，再利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：，即，
则，故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，直线与的交点的坐标为，则关于的不等式的整数解为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】满足关于x的不等式，就是直线位于直线y＝kx＋b的下方且位于x轴上方的部分所对应的自变量的取值范围，然后求出其整数解即可．
【详解】解：∵直线，
∴直线与x轴的交点坐标为（3，0），
又∵直线与的交点的坐标为，
∴不等式的解集为：，∴整数解为x＝2，故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系是解题关键．
8．（2022春·安徽安庆·八年级校考期末）在中，下列说法不正确的是（ ）
A．若点M是BC的中点，，则是矩形
B．若，则是菱形
C．若点E、F分别是AB、CD的中点，且，则是矩形
D．若边AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、H、I且，则是菱形
【答案】D
【分析】依据平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定以及中点四边形，对四个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．如图所示，∵点M是BC的中点，∴BM=CM，
又∵平行四边形ABCD中，AB=DC，∠MAD=∠MDA，∴△ABM≌△DCM全等，∴∠B=∠C，
又∵∠B+∠C=180°，∴∠B=∠C=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；
B．如图所示，∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；
C．如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=DF，
又∵DE=AF，AD=DA，∴△ADE≌△DAF，∴∠DAE=∠ADF，
又∵∠DAE+∠ADF=180°，∴∠DAE=∠ADF=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；
D．如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=DC，
又∵边AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、H、I，∴AI=DI=BQ=CQ，AP=DH=PB=HC，
又∵PQ=QH=HI=IP，∴△API≌△DHI≌△BPQ≌△CHQ，∴∠A=∠D=∠B=∠C，
又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠A=∠D=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定以及中点四边形，证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
9．（2023·广东·模拟预测）在▱中，，，，则▱的周长是（ ）
A．B．8C．D．16
【答案】C
【分析】由AC⊥AD，∠B＝30°，AC＝2，根据含30°角的直角三角形的性质，可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长，继而求得答案．
【详解】解：∵AC⊥AD，∠B＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，
∴BC2，∴▱ABCD的周长是：2（AB+BC）＝8+4．故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理．注意平行四边形的对边相等．
10．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在正方形中，，对角线上的有一动点，以为边作正方形．
①在点运动过程中，点始终在射线上；②在点运动过程中，可能为135°；
③若是的中点，连接，则的最小值为；
④为等腰三角形时，的值为或 以上结论正确的是（ ）
A．①③④B．②④C．①②③D．②③④
【答案】A
【分析】由“SAS”可证△DPH≌△FPC，可得∠PHD＝∠PCF＝135°，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由三角形的外角可得∠CPD不可能为135°，故②错误；由△DPN≌△DGE（SAS），可得EG＝PN，当NP⊥AC时，NP有最小值为，即EG有最小值为，故③正确；由等腰三角形的性质可得AP的值为或，故④正确，即可求解．
【详解】解：连接CF，过点P作PH⊥PC交CD于H，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形DPFG是正方形，
∴PD＝PF，∠DPF＝∠HPC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠DPH＝∠CPF，∠PCH＝∠PHC＝45°，∴PH＝PC，∠PHD＝135°，
∴△DPH≌△FPC（SAS），∴∠PHD＝∠PCF＝135°，
∴∠ACB＋∠PCF＝180°，∴点B，点C，点F三点共线，故①正确；
∵∠CPD＝∠CAD＋∠ADP，∠CAD＝45°，∠CPD＝135°，
∴∠ADP＝90°，则点P与点C重合，此时∠CPD不存在，故②错误；
取AD的中点N，连接PN，如图所示：
∵点N是AD的中点，点E是CD中点，∴AN＝DE＝DN＝2，
∵∠ADC＝∠PDG＝90°，∴∠ADP＝∠GDE，
又∵DP＝DG，∴△DPN≌△DGE（SAS），∴EG＝PN，
∵点P是线段AC上一点，∴当NP⊥AC时，NP有最小值为，
∴EG有最小值为，故③正确；∵AD＝CD＝4，∴，
当点P是AC中点时，AP＝PD＝PC＝，则△PCD是等腰三角形，
当CP＝CD＝4时，△PCD是等腰三角形，∴，故④正确；
综上分析可知，①③④正确，故A正确．故选：A．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏无锡·八年级统考期末）写出一个二次根式，使它与的积是有理数．这个二次根式是______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断．
【详解】解：；故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式，解题的关键是选择使它们的积是有理数．
12．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，下表记录了他们次还原魔方所用时间的平均值与方差：
要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择________同学．
【答案】丁
【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：因为乙和丁的方差最小，但丁平均数最小，
所以丁还原魔方用时少又发挥稳定．
故应该选择丁同学．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．（2022·山东·八年级阶段练习）某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高平均数________，方差________．（变大、变小、不变）
【答案】 变小 变小
【分析】根据平均数的定义可分别求出原数据和新数据的平均数；根据方差公式求出变化前后的方差比较即可．
【详解】解：原数据的平均数为：=188（cm），
新数据的平均数为：=187（cm），
∵188>187，∴平均数变小；换人前身高的方差为：×=．
换人后身高的方差为：×=；
∵>，∴方差变小；故答案为：变小；变小．
【点睛】本题考查了平均数的定义和方差公式，熟练掌握平均数和方差的定义和公式是解题关键．
14．（2022·江苏八年级期末）如图，在四边形中，，．若，，，则对角线的长为____________cm．
【答案】
【分析】过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，证明△ABC≌△ADC（SSS），由全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，求出∠EBC=45°，由直角三角形的性质求出CE和AC的长即可．
【详解】解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，
在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，
∵∠BAD=60°，∠BCD=30°，∴∠EAC=∠BAD=30°，∠ACB=∠BCD=15°，
∴∠EBC=∠BAC+∠ACB=30°+15°=45°，∴BE=CE，
∵BC=4cm，∴CE=BC=cm，∴AC=2CE=cm，故答案为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△ABC≌△ADC是解题的关键．
15．（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）已知直线y＝（m-1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）．当m变化时，下列结论正确的有_________．
①当m=2，图象经过一、三、四象限；②当m＞0时，y随x的增大而减小；
③直线必过定点（2，1）；④坐标原点到直线的最大距离是．
【答案】①③④
【分析】根据一次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：当m＝2时，y＝（2-1）x+3﹣2×2＝x－1，
此时一次函数y＝x－1，经过一、三、四象限，故①正确；
对于直线y＝（m-1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）来说，
当m－1＞0时，即m＞1时，y随x的增大而减小；故②错误；
当x＝2时，y＝（m-1）x+3﹣2m＝2（m－1）＋3－2m＝2m－2＋3－2m＝1，
∴直线必过定点（2，1）；故③正确；设原点到直线的距离为d，
∵由③知直线y＝（m-1）x+3﹣2m必过定点（2，1），
设点P（2，1），∴d≤｜OP｜＝，
∴坐标原点到直线的最大距离是．故④正确．故答案为：①③④
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
16．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，中，，，．点D为边上一个动点，作、，垂足为E、F，连接．则长度的最小值为______．
【答案】
【分析】解直角三角形求出和，证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，当时，有最小值，此时有最小值，根据三角形的面积公式求出长即可．
【详解】解：∵，，，∴，
根据勾股定理可得，，即,
解得：，（舍去），∴，连接，如图所示：
∵，，，∴，
∴四边形是矩形，∴，当时，最小，此时有最小值，
∵，∴，
∴长度的最小值是，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线，证明是解此题的关键．
17．（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）平面直角坐标系中，，，为轴上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，当点在轴上运动，取最小值时，点的坐标为____．
【答案】
【分析】如图，作轴于点，由旋转可知≌，推出，，可得到，令，，可知，即可知点在直线的图象上运动，设直线交轴于点，交轴于点，作于点，根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，构建方程组确定交点的坐标即可求解．
【详解】解：如图，作轴于点，设点A的坐标为（0，m)；
，，，，
，，
，，，
在与中，≌，
，，，
令，，，点在直线上运动，
设直线交轴于点，交轴于点，作于点，
则直线的解析式为：，由，解得：，，
根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，此时．故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识点，正确找到点的运动轨迹是解题的关键．
18．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，若△CEF为直角三角形时，DE的长为______．
【答案】或8或或
【分析】先利用勾股定理计算出AC=10，当△CEF为直角三角形时，有几种情况：①当点F落在矩形内部时，如图1所示．根据折叠的性质得∠AFE=∠D=90°，设DE=x，则EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x即可．②当点F落在AB延长线上时，如图2所示．此时四边形ADEF为正方形，得出DE=AD=8．③当点F落在BC边上时，如图3所示，易知AF=AD=8，BF=
，设DE=EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x即可；④当点F落在CB延长线上时，如图4，设DE=EF=x，CE=x-6，BF=，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，CD=AB=6，
∴AC==10，当△CEF为直角三角形时，有下列几种情况：
①当点F落在矩形内部时，F落在AC上，如图1所示．
由折叠的性质得：EF=DE，AF=AD=8，CF=2，
设DE=x，则EF=x，∴CE=6-x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：
∵EF2+CF2=CE2，∴x2+22=（6-x）2，解得，∴；
②当点F落在AB延长线上时，如图2所示．
此时四边形ADEF为正方形，∴DE=AD=8．
③当点F落在BC边上时，如图3：
易知AF=AD=8，BF=，设DE=EF=x，CE=6-x，
在Rt△EFC中，x2=（6-x）2+（8-）2，∴，∴；
④当点F落在CB延长线上时，如图4，
设DE=EF=x，CE=x-6，则BF=，
在Rt△CEF中，解得．
综上所述，DE的长为或8或或．
故答案为：或8或或
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握折叠和矩形的性质是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）计算
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先分别将化简成最简二次根式，再进行乘除运算，同级运算，从左到右.
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、其中涉及二次根式的化简、分母有理化、合并同类二次根式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
20．（2022·河南安阳·八年级期末）从2003年10月神舟五号载人飞船进入太空，到2022年6月神舟十四号成功发射，中国航天人合力将中国太空梦化为现实，并不断取得突破性进展，为此，某中学开展以“航天梦·中国梦”为主题的演讲比赛，赛后，从七，八年级中各随机抽取20名学生的比赛成绩（比赛成绩均为整数，8分及8分以上为优秀）进行整理和分析，绘制出如下统计表．
表一：从七，八年级抽取学生的比赛成绩统计表
表二：学校对平均数，中位数，众数，优秀率进行分析，绘制成如下统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a＝______；b＝______；c＝______；
(2)若该校七，八年级共有学生500名，估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的共有多少人？
(3)根据表二中的数据分析，你认为哪个年级的学生在本次比赛中成绩较好，并说明理由．
【答案】(1)8，7.5，7 (2)估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的约有125人
(3)七年级学生比赛成绩较好，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义分析确定即可；
（2）先计算出所抽取学生中成绩在9分及9分以上的人数，再用该校学生总数乘以所抽取学生中成绩在9分及9分以上的人数所占抽取学生比例即可；（3）从平均数、中位数和众数的角度进行分析，得出答案．
（1）解：七年级抽取学生的比赛成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数均为8分，因此中位数是8分，即a=8，
八年级抽取学生的比赛成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数分别为7分和8分，因此中位数是分，即b=7.5，
八年级20名学生成绩出现次数最多的为7分，共出现6次，因此众数为7分，即．
故答案为：8，7.5，7；
（2）解：人， 人，
答：估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的约有125人；
（3）解：七年级学生比赛成绩较好．
理由是：七、八年级学生比赛成绩的平均数相等，但七年级比赛成绩的中位数高于八年级，所以七年级学生在本次比赛中成绩较好．（答案不唯一，合理即可）
【点睛】本题主要考查了中位数、众数、利用样本估计整体等知识，熟练掌握中位数、众数的意义是解题关键．
21．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米．
【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得；
（2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可．
【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变，
∴，故答案为：=；
（2）∵A、B、F三点共线， ∴在RtΔCFA中，，
∵，∴在RtΔCFB中，，
由（1）可得：，∴，∴小男孩需移动的距离为米．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．
22．（2022·福建八年级期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果；
（3）将写成，4写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算．
【详解】解：（1）；
；
（2）；
（3）==．
【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
23．（2022·四川绵阳·八年级期末）甲、乙两个种子店都销售“黄金1号”玉米种子，在甲店，该玉米种子的价格为m元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出函数图象，如表是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，10）．在乙店，不论一次购买该种子的数量是多少，付款金额T（元）与购买数量x（千克）的函数关系式为T＝kx．
（1）根据题意，得m＝ ，n＝ ．（2）当x＞2时，求出y关于x的函数解析式；
（3）如果某农户要购买4千克该玉米种子，那么该农户应选择哪个店更合算？
【答案】（1）5，14；（2）y=4x+2；（3）当k＜2.5时，到乙种子店花合算；当k=2.5时，个种子店花费的钱相同；k＞2.5时，到甲种子店花合算．
【分析】（1）结合函数图象与表格即可得出购买量为函数的自变量，再根据购买2千克花了10元钱即可得出m值，结合超过2千克部分的种子价格打8折可得出n值；
（2）设当x＞2时，y关于x的函数解析式为y=ax+b，根据点的坐标利用待定系数法即可求出函数解析式；
（3）当x=4时，分别求出两家店花费的钱即可．
【详解】解：（1）结合函数图象以及表格即可得出购买量是函数的自变量x，
∵10÷2=5，∴m=5，n=12+2=14．故答案为：5；14；
（2）设当x＞2时，y关于x的函数解析式为y=ax+b，
将点（2.5，12）、（2，10）代入y=ax+b中，
得：，解得，∴当x＞2时，y关于x的函数解析式为y=4x+2．
（3）∵x＞2，∴当甲、乙两个种子店花费的钱相同时，4×4+2=4k，解得k=2.5，
∴当k＜2.5时，到乙种子店花合算；当k=2.5时，两个种子店花费的钱相同；k＞2.5时，到甲种子店花合算．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求出函数解析式，观察函数图象找出点的坐标再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
24．（2022春·河北·八年级统考期末）如图，在中，点O是AD的中点，连接CO，BA、CO的延长线相交于点E，连接AC、DE．(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)当与满足的数量关系为_____________时，四边形ACDE是矩形．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先证明：，由性质得到，再由，即可证得四边形是平行四边形；（2）由平行四边形的性质得，再由矩形的性质得，则然后由三角形的外角性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
点是边的中点，，
在和中，，
，，，
四边形是平行四边形；
（2）解：，理由如下：
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．
25．（2022春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，四边形是正方形，点E是直线边上一点，，且交正方形外角的平分线所在直线于点F．
(1)如图1，若点E是边上一点，求证：；(2)如图2，若点E为延长线上一点，交正方形外角的平分线所在直线于点F，请问（1）中的结论是否仍然成立，说明理由；(3)如图3，P为对角线上一点，E为的中点，连，若平分，直接写出的长度．
【答案】(1)见解析；(2)仍然成立，见解析；(3)
【分析】（1）在AB上取BH=BE，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF；（2）延长AB至点M，使BM=BE，则△BME是等腰直角三角形，AM=CE，利用余角的性质得到∠MAE=∠CEF，证得△MAE≌△CEF（ASA），即可得到结论AE=EF；
（3）连接AF，延长EP交AF于N，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°，BE=2，AE=2，进而得到AF，EN的长，证明△ANP∽△ABE，得到，即，求出NP即可得到EP
(1)证明：在AB上截取BH=BE，连接HE，如图1所示：
则△BHE是等腰直角三角形，AH=CE，
∴BHE=∠BEH=45°，∴∠AHE=135°，∴∠1+∠HEA=45°，
由（1）得：∠ECF=135°，∴∠AHE=∠ECF，
∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∴∠1+∠CEF=45°，∴∠1=∠2，
∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；
(2)仍然成立，理由如下：
延长AB至点M，使BM=BE，则△BME是等腰直角三角形，AM=CE，∴BME=∠BEM=45°，
∵∠ECF=45°，∴∠AME=∠ECF，
∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠EAB=∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠MAE=∠CEF，∴△MAE≌△CEF（ASA），∴AE=EF；
(3)EP=
如图，连接AF，延长EP交AF于N，
由（1）（2）可知AE=EF，
∵∠AEF=90°，∴∠EAF=∠AFE=45°，
∵EP平分∠AEF，∴∠AEN=∠FEN=45°，
∴EN⊥AF，则∠ANP=90°，
∵AC是正方形的对角线，AB=4，点E是BC的中点，
∴∠BAC=45°，BE=2，AE=2，
∴AF=，EN=，
∵∠BAE=∠NAP，∴△ANP∽△ABE，
∴，即，
∴，∴EP=EN-NP=
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定及性质，正确作出辅助线、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意类比思想的正确运用．
26．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)求的面积．(3)是否存在点在轴负半轴上，点在平面直角坐标系内，使得以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，或
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）联立求得，过点作轴于点，则，根据三角形面积公式计算即可求解；
（3）分①以AC、PC为邻边时，四边形ACPQ为菱形，②以AC、CQ为邻边时，四边形ACQP为菱形，根据菱形的性质即可求解．
（1）设直线的解析式为，
将点，，代入，得，
，解得，直线的解析式为；
（2）由，令，解得，令，解得，，，
，，，
联立，解得，，
如图，过点作轴于点，
则，，由图可知
，，
，的面积为
（3）存在以A、C、P、Q为顶点的四边形为菱形，理由如下：
①以AC、PC为邻边时，四边形ACPQ为菱形，
∴AC= PC， AP⊥CQ．∴点Q在y轴上
∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），
∴点P的坐标为（-4，0），点Q的坐标为(0， -3)．
②以AC、CQ为邻边时，四边形ACQP为菱形，此时CQ//AP，且CQ=AC=AP
∵A(4，0)．∴AO =3在Rt△ACO中，根据勾股定理得：
AC=∴AP= AC=5
∵点P在x轴负半轴上，∴点P的坐标为（-1，0）
∴存在以A、C、P、Q为顶点的四边形为菱形，P点坐标为（-4，0）或（-1，0）．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，掌握一次函数的性质，菱形的性质是解题的关键．
日期
1
2
3
4
5
温度（℃）
20
18
16
20
21
甲
乙
丙
丁
（秒）
成绩（分）
4
5
6
7
8
9
10
抽取的七年级人数（人）
2
0
4
3
6
3
2
抽取的八年级人数（人）
1
2
1
6
5
4
1
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
7.4
a
8
55%
八年级
7.4
b
c
50%
付款金额（元）
m
7.5
10
12
n
购买量（千克）
1
1.5
2
2.5
3
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·天津·八年级校考期末）下列各组数据中不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．3、4、6 B．7、24、25 C．6、8、10 D．9、12、15
2．（2023春·安徽蚌埠·九年级专题练习）今年合肥市五一黄金周的气温状况如下表：
则根据表格温度数据说法正确的是（ ）
A．这组数据的中位数是16 B．这组数据的众数是21 C．这组数据的平均数是19 D．这组数据的方差是16
3．（2022·浙江·乐清八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③
5．（2023·四川绵阳·八年级期末）已知一次函数y＝﹣2x+3，下列说法错误的是（ ）
A．y随x增大而减小 B．图象与y轴的交点坐标为（0，3）
C．图象经过第一、三、四象限 D．该图象可以由y＝﹣2x平移得到
6．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，直线与的交点的坐标为，则关于的不等式的整数解为（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（2022春·安徽安庆·八年级校考期末）在中，下列说法不正确的是（ ）
A．若点M是BC的中点，，则是矩形
B．若，则是菱形
C．若点E、F分别是AB、CD的中点，且，则是矩形
D．若边AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、H、I且，则是菱形
9．（2023·广东·模拟预测）在▱中，，，，则▱的周长是（ ）
A．B．8C．D．16
10．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在正方形中，，对角线上的有一动点，以为边作正方形．
①在点运动过程中，点始终在射线上；②在点运动过程中，可能为135°；
③若是的中点，连接，则的最小值为；
④为等腰三角形时，的值为或 以上结论正确的是（ ）
A．①③④B．②④C．①②③D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏无锡·八年级统考期末）写出一个二次根式，使它与的积是有理数．这个二次根式是______．
12．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，下表记录了他们次还原魔方所用时间的平均值与方差：
要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择________同学．
13．（2022·山东·八年级阶段练习）某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高平均数________，方差________．（变大、变小、不变）
14．（2022·江苏八年级期末）如图，在四边形中，，．若，，，则对角线的长为____________cm．
15．（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）已知直线y＝（m-1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）．当m变化时，下列结论正确的有_________．
①当m=2，图象经过一、三、四象限；②当m＞0时，y随x的增大而减小；
③直线必过定点（2，1）；④坐标原点到直线的最大距离是．
16．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，中，，，．点D为边上一个动点，作、，垂足为E、F，连接．则长度的最小值为______．
17．（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）平面直角坐标系中，，，为轴上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，当点在轴上运动，取最小值时，点的坐标为____．
18．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，若△CEF为直角三角形时，DE的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）计算
（1）；（2）．
20．（2022·河南安阳·八年级期末）从2003年10月神舟五号载人飞船进入太空，到2022年6月神舟十四号成功发射，中国航天人合力将中国太空梦化为现实，并不断取得突破性进展，为此，某中学开展以“航天梦·中国梦”为主题的演讲比赛，赛后，从七，八年级中各随机抽取20名学生的比赛成绩（比赛成绩均为整数，8分及8分以上为优秀）进行整理和分析，绘制出如下统计表．
表一：从七，八年级抽取学生的比赛成绩统计表
表二：学校对平均数，中位数，众数，优秀率进行分析，绘制成如下统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a＝______；b＝______；c＝______；
(2)若该校七，八年级共有学生500名，估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的共有多少人？
(3)根据表二中的数据分析，你认为哪个年级的学生在本次比赛中成绩较好，并说明理由．
21．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
22．（2022·福建八年级期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
23．（2022·四川绵阳·八年级期末）甲、乙两个种子店都销售“黄金1号”玉米种子，在甲店，该玉米种子的价格为m元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出函数图象，如表是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，10）．在乙店，不论一次购买该种子的数量是多少，付款金额T（元）与购买数量x（千克）的函数关系式为T＝kx．
（1）根据题意，得m＝ ，n＝ ．（2）当x＞2时，求出y关于x的函数解析式；
（3）如果某农户要购买4千克该玉米种子，那么该农户应选择哪个店更合算？
24．（2022春·河北·八年级统考期末）如图，在中，点O是AD的中点，连接CO，BA、CO的延长线相交于点E，连接AC、DE．(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)当与满足的数量关系为_____________时，四边形ACDE是矩形．
25．（2022春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，四边形是正方形，点E是直线边上一点，，且交正方形外角的平分线所在直线于点F．
(1)如图1，若点E是边上一点，求证：；(2)如图2，若点E为延长线上一点，交正方形外角的平分线所在直线于点F，请问（1）中的结论是否仍然成立，说明理由；(3)如图3，P为对角线上一点，E为的中点，连，若平分，直接写出的长度．
26．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)求的面积．(3)是否存在点在轴负半轴上，点在平面直角坐标系内，使得以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
日期
1
2
3
4
5
温度（℃）
20
18
16
20
21
甲
乙
丙
丁
（秒）
成绩（分）
4
5
6
7
8
9
10
抽取的七年级人数（人）
2
0
4
3
6
3
2
抽取的八年级人数（人）
1
2
1
6
5
4
1
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
7.4
a
8
55%
八年级
7.4
b
c
50%
付款金额（元）
m
7.5
10
12
n
购买量（千克）
1
1.5
2
2.5
3
期末押题预测卷（2）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·天津·八年级校考期末）下列各组数据中不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．3、4、6 B．7、24、25 C．6、8、10 D．9、12、15
【答案】A
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、32+42≠62，不能组成直角三角形，符合题意；
B、72+242=252，能组成直角三角形，不符合题意；
C、62+82=102，能组成直角三角形，不符合题意；
D、92+122=152，能组成直角三角形，不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．（2023春·安徽蚌埠·九年级专题练习）今年合肥市五一黄金周的气温状况如下表：
则根据表格温度数据说法正确的是（ ）
A．这组数据的中位数是16 B．这组数据的众数是21 C．这组数据的平均数是19 D．这组数据的方差是16
【答案】C
【分析】根据平均数、中位数、方差的意义即可求解．
【详解】解：这组数据的中位数是20，故选项A不合题意；
这组数据的众数是20，故选项B不合题意；
这组数据的平均数是，故选项C符合题意；
这组数据的方差是，故选项D不合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
3．（2022·浙江·乐清八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．
【详解】解：连接AC，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．
4．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③
【答案】D
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【详解】只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
5．（2023·四川绵阳·八年级期末）已知一次函数y＝﹣2x+3，下列说法错误的是（ ）
A．y随x增大而减小 B．图象与y轴的交点坐标为（0，3）
C．图象经过第一、三、四象限 D．该图象可以由y＝﹣2x平移得到
【答案】C
【分析】当k<0时，图像是下降的，当b>0时，图像是往上平移3个单位；根据一次函数的图像和性质进行逐一判断．
【详解】A项：由于k<0，图像是下降的，y随x增大而减小；故A正确，不符题意；
B项：图像与y轴相交时，x=0，令x=0即可求得交点坐标为（0,3），故B正确，不符题意；
C项：图像经过一、二、四象限，故C错误，符合题意；
D项：y＝﹣2x向上平移3个单位即可得到y＝﹣2x+3的图像，故D正确，不符合题意．故选C
【点睛】本题考查一元一次函数图像性质，掌握k,b对函数图像的影响就能正确解题．
6．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数轴上点的位置判断出的正负，原式利用二次根式的化简公式变形，再利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：，即，
则，故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，直线与的交点的坐标为，则关于的不等式的整数解为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】满足关于x的不等式，就是直线位于直线y＝kx＋b的下方且位于x轴上方的部分所对应的自变量的取值范围，然后求出其整数解即可．
【详解】解：∵直线，
∴直线与x轴的交点坐标为（3，0），
又∵直线与的交点的坐标为，
∴不等式的解集为：，∴整数解为x＝2，故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系是解题关键．
8．（2022春·安徽安庆·八年级校考期末）在中，下列说法不正确的是（ ）
A．若点M是BC的中点，，则是矩形
B．若，则是菱形
C．若点E、F分别是AB、CD的中点，且，则是矩形
D．若边AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、H、I且，则是菱形
【答案】D
【分析】依据平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定以及中点四边形，对四个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．如图所示，∵点M是BC的中点，∴BM=CM，
又∵平行四边形ABCD中，AB=DC，∠MAD=∠MDA，∴△ABM≌△DCM全等，∴∠B=∠C，
又∵∠B+∠C=180°，∴∠B=∠C=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；
B．如图所示，∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；
C．如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=DF，
又∵DE=AF，AD=DA，∴△ADE≌△DAF，∴∠DAE=∠ADF，
又∵∠DAE+∠ADF=180°，∴∠DAE=∠ADF=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；
D．如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=DC，
又∵边AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、H、I，∴AI=DI=BQ=CQ，AP=DH=PB=HC，
又∵PQ=QH=HI=IP，∴△API≌△DHI≌△BPQ≌△CHQ，∴∠A=∠D=∠B=∠C，
又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠A=∠D=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定以及中点四边形，证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
9．（2023·广东·模拟预测）在▱中，，，，则▱的周长是（ ）
A．B．8C．D．16
【答案】C
【分析】由AC⊥AD，∠B＝30°，AC＝2，根据含30°角的直角三角形的性质，可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长，继而求得答案．
【详解】解：∵AC⊥AD，∠B＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，
∴BC2，∴▱ABCD的周长是：2（AB+BC）＝8+4．故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理．注意平行四边形的对边相等．
10．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在正方形中，，对角线上的有一动点，以为边作正方形．
①在点运动过程中，点始终在射线上；②在点运动过程中，可能为135°；
③若是的中点，连接，则的最小值为；
④为等腰三角形时，的值为或 以上结论正确的是（ ）
A．①③④B．②④C．①②③D．②③④
【答案】A
【分析】由“SAS”可证△DPH≌△FPC，可得∠PHD＝∠PCF＝135°，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由三角形的外角可得∠CPD不可能为135°，故②错误；由△DPN≌△DGE（SAS），可得EG＝PN，当NP⊥AC时，NP有最小值为，即EG有最小值为，故③正确；由等腰三角形的性质可得AP的值为或，故④正确，即可求解．
【详解】解：连接CF，过点P作PH⊥PC交CD于H，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形DPFG是正方形，
∴PD＝PF，∠DPF＝∠HPC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠DPH＝∠CPF，∠PCH＝∠PHC＝45°，∴PH＝PC，∠PHD＝135°，
∴△DPH≌△FPC（SAS），∴∠PHD＝∠PCF＝135°，
∴∠ACB＋∠PCF＝180°，∴点B，点C，点F三点共线，故①正确；
∵∠CPD＝∠CAD＋∠ADP，∠CAD＝45°，∠CPD＝135°，
∴∠ADP＝90°，则点P与点C重合，此时∠CPD不存在，故②错误；
取AD的中点N，连接PN，如图所示：
∵点N是AD的中点，点E是CD中点，∴AN＝DE＝DN＝2，
∵∠ADC＝∠PDG＝90°，∴∠ADP＝∠GDE，
又∵DP＝DG，∴△DPN≌△DGE（SAS），∴EG＝PN，
∵点P是线段AC上一点，∴当NP⊥AC时，NP有最小值为，
∴EG有最小值为，故③正确；∵AD＝CD＝4，∴，
当点P是AC中点时，AP＝PD＝PC＝，则△PCD是等腰三角形，
当CP＝CD＝4时，△PCD是等腰三角形，∴，故④正确；
综上分析可知，①③④正确，故A正确．故选：A．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏无锡·八年级统考期末）写出一个二次根式，使它与的积是有理数．这个二次根式是______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断．
【详解】解：；故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式，解题的关键是选择使它们的积是有理数．
12．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，下表记录了他们次还原魔方所用时间的平均值与方差：
要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择________同学．
【答案】丁
【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：因为乙和丁的方差最小，但丁平均数最小，
所以丁还原魔方用时少又发挥稳定．
故应该选择丁同学．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．（2022·山东·八年级阶段练习）某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高平均数________，方差________．（变大、变小、不变）
【答案】 变小 变小
【分析】根据平均数的定义可分别求出原数据和新数据的平均数；根据方差公式求出变化前后的方差比较即可．
【详解】解：原数据的平均数为：=188（cm），
新数据的平均数为：=187（cm），
∵188>187，∴平均数变小；换人前身高的方差为：×=．
换人后身高的方差为：×=；
∵>，∴方差变小；故答案为：变小；变小．
【点睛】本题考查了平均数的定义和方差公式，熟练掌握平均数和方差的定义和公式是解题关键．
14．（2022·江苏八年级期末）如图，在四边形中，，．若，，，则对角线的长为____________cm．
【答案】
【分析】过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，证明△ABC≌△ADC（SSS），由全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，求出∠EBC=45°，由直角三角形的性质求出CE和AC的长即可．
【详解】解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，
在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，
∵∠BAD=60°，∠BCD=30°，∴∠EAC=∠BAD=30°，∠ACB=∠BCD=15°，
∴∠EBC=∠BAC+∠ACB=30°+15°=45°，∴BE=CE，
∵BC=4cm，∴CE=BC=cm，∴AC=2CE=cm，故答案为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△ABC≌△ADC是解题的关键．
15．（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）已知直线y＝（m-1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）．当m变化时，下列结论正确的有_________．
①当m=2，图象经过一、三、四象限；②当m＞0时，y随x的增大而减小；
③直线必过定点（2，1）；④坐标原点到直线的最大距离是．
【答案】①③④
【分析】根据一次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：当m＝2时，y＝（2-1）x+3﹣2×2＝x－1，
此时一次函数y＝x－1，经过一、三、四象限，故①正确；
对于直线y＝（m-1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）来说，
当m－1＞0时，即m＞1时，y随x的增大而减小；故②错误；
当x＝2时，y＝（m-1）x+3﹣2m＝2（m－1）＋3－2m＝2m－2＋3－2m＝1，
∴直线必过定点（2，1）；故③正确；设原点到直线的距离为d，
∵由③知直线y＝（m-1）x+3﹣2m必过定点（2，1），
设点P（2，1），∴d≤｜OP｜＝，
∴坐标原点到直线的最大距离是．故④正确．故答案为：①③④
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
16．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，中，，，．点D为边上一个动点，作、，垂足为E、F，连接．则长度的最小值为______．
【答案】
【分析】解直角三角形求出和，证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，当时，有最小值，此时有最小值，根据三角形的面积公式求出长即可．
【详解】解：∵，，，∴，
根据勾股定理可得，，即,
解得：，（舍去），∴，连接，如图所示：
∵，，，∴，
∴四边形是矩形，∴，当时，最小，此时有最小值，
∵，∴，
∴长度的最小值是，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线，证明是解此题的关键．
17．（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）平面直角坐标系中，，，为轴上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，当点在轴上运动，取最小值时，点的坐标为____．
【答案】
【分析】如图，作轴于点，由旋转可知≌，推出，，可得到，令，，可知，即可知点在直线的图象上运动，设直线交轴于点，交轴于点，作于点，根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，构建方程组确定交点的坐标即可求解．
【详解】解：如图，作轴于点，设点A的坐标为（0，m)；
，，，，
，，
，，，
在与中，≌，
，，，
令，，，点在直线上运动，
设直线交轴于点，交轴于点，作于点，
则直线的解析式为：，由，解得：，，
根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，此时．故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识点，正确找到点的运动轨迹是解题的关键．
18．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，若△CEF为直角三角形时，DE的长为______．
【答案】或8或或
【分析】先利用勾股定理计算出AC=10，当△CEF为直角三角形时，有几种情况：①当点F落在矩形内部时，如图1所示．根据折叠的性质得∠AFE=∠D=90°，设DE=x，则EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x即可．②当点F落在AB延长线上时，如图2所示．此时四边形ADEF为正方形，得出DE=AD=8．③当点F落在BC边上时，如图3所示，易知AF=AD=8，BF=
，设DE=EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x即可；④当点F落在CB延长线上时，如图4，设DE=EF=x，CE=x-6，BF=，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，CD=AB=6，
∴AC==10，当△CEF为直角三角形时，有下列几种情况：
①当点F落在矩形内部时，F落在AC上，如图1所示．
由折叠的性质得：EF=DE，AF=AD=8，CF=2，
设DE=x，则EF=x，∴CE=6-x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：
∵EF2+CF2=CE2，∴x2+22=（6-x）2，解得，∴；
②当点F落在AB延长线上时，如图2所示．
此时四边形ADEF为正方形，∴DE=AD=8．
③当点F落在BC边上时，如图3：
易知AF=AD=8，BF=，设DE=EF=x，CE=6-x，
在Rt△EFC中，x2=（6-x）2+（8-）2，∴，∴；
④当点F落在CB延长线上时，如图4，
设DE=EF=x，CE=x-6，则BF=，
在Rt△CEF中，解得．
综上所述，DE的长为或8或或．
故答案为：或8或或
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握折叠和矩形的性质是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）计算
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先分别将化简成最简二次根式，再进行乘除运算，同级运算，从左到右.
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、其中涉及二次根式的化简、分母有理化、合并同类二次根式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
20．（2022·河南安阳·八年级期末）从2003年10月神舟五号载人飞船进入太空，到2022年6月神舟十四号成功发射，中国航天人合力将中国太空梦化为现实，并不断取得突破性进展，为此，某中学开展以“航天梦·中国梦”为主题的演讲比赛，赛后，从七，八年级中各随机抽取20名学生的比赛成绩（比赛成绩均为整数，8分及8分以上为优秀）进行整理和分析，绘制出如下统计表．
表一：从七，八年级抽取学生的比赛成绩统计表
表二：学校对平均数，中位数，众数，优秀率进行分析，绘制成如下统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a＝______；b＝______；c＝______；
(2)若该校七，八年级共有学生500名，估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的共有多少人？
(3)根据表二中的数据分析，你认为哪个年级的学生在本次比赛中成绩较好，并说明理由．
【答案】(1)8，7.5，7 (2)估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的约有125人
(3)七年级学生比赛成绩较好，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义分析确定即可；
（2）先计算出所抽取学生中成绩在9分及9分以上的人数，再用该校学生总数乘以所抽取学生中成绩在9分及9分以上的人数所占抽取学生比例即可；（3）从平均数、中位数和众数的角度进行分析，得出答案．
（1）解：七年级抽取学生的比赛成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数均为8分，因此中位数是8分，即a=8，
八年级抽取学生的比赛成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数分别为7分和8分，因此中位数是分，即b=7.5，
八年级20名学生成绩出现次数最多的为7分，共出现6次，因此众数为7分，即．
故答案为：8，7.5，7；
（2）解：人， 人，
答：估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的约有125人；
（3）解：七年级学生比赛成绩较好．
理由是：七、八年级学生比赛成绩的平均数相等，但七年级比赛成绩的中位数高于八年级，所以七年级学生在本次比赛中成绩较好．（答案不唯一，合理即可）
【点睛】本题主要考查了中位数、众数、利用样本估计整体等知识，熟练掌握中位数、众数的意义是解题关键．
21．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米．
【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得；
（2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可．
【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变，
∴，故答案为：=；
（2）∵A、B、F三点共线， ∴在RtΔCFA中，，
∵，∴在RtΔCFB中，，
由（1）可得：，∴，∴小男孩需移动的距离为米．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．
22．（2022·福建八年级期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果；
（3）将写成，4写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算．
【详解】解：（1）；
；
（2）；
（3）==．
【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
23．（2022·四川绵阳·八年级期末）甲、乙两个种子店都销售“黄金1号”玉米种子，在甲店，该玉米种子的价格为m元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出函数图象，如表是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，10）．在乙店，不论一次购买该种子的数量是多少，付款金额T（元）与购买数量x（千克）的函数关系式为T＝kx．
（1）根据题意，得m＝ ，n＝ ．（2）当x＞2时，求出y关于x的函数解析式；
（3）如果某农户要购买4千克该玉米种子，那么该农户应选择哪个店更合算？
【答案】（1）5，14；（2）y=4x+2；（3）当k＜2.5时，到乙种子店花合算；当k=2.5时，个种子店花费的钱相同；k＞2.5时，到甲种子店花合算．
【分析】（1）结合函数图象与表格即可得出购买量为函数的自变量，再根据购买2千克花了10元钱即可得出m值，结合超过2千克部分的种子价格打8折可得出n值；
（2）设当x＞2时，y关于x的函数解析式为y=ax+b，根据点的坐标利用待定系数法即可求出函数解析式；
（3）当x=4时，分别求出两家店花费的钱即可．
【详解】解：（1）结合函数图象以及表格即可得出购买量是函数的自变量x，
∵10÷2=5，∴m=5，n=12+2=14．故答案为：5；14；
（2）设当x＞2时，y关于x的函数解析式为y=ax+b，
将点（2.5，12）、（2，10）代入y=ax+b中，
得：，解得，∴当x＞2时，y关于x的函数解析式为y=4x+2．
（3）∵x＞2，∴当甲、乙两个种子店花费的钱相同时，4×4+2=4k，解得k=2.5，
∴当k＜2.5时，到乙种子店花合算；当k=2.5时，两个种子店花费的钱相同；k＞2.5时，到甲种子店花合算．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求出函数解析式，观察函数图象找出点的坐标再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
24．（2022春·河北·八年级统考期末）如图，在中，点O是AD的中点，连接CO，BA、CO的延长线相交于点E，连接AC、DE．(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)当与满足的数量关系为_____________时，四边形ACDE是矩形．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先证明：，由性质得到，再由，即可证得四边形是平行四边形；（2）由平行四边形的性质得，再由矩形的性质得，则然后由三角形的外角性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
点是边的中点，，
在和中，，
，，，
四边形是平行四边形；
（2）解：，理由如下：
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．
25．（2022春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，四边形是正方形，点E是直线边上一点，，且交正方形外角的平分线所在直线于点F．
(1)如图1，若点E是边上一点，求证：；(2)如图2，若点E为延长线上一点，交正方形外角的平分线所在直线于点F，请问（1）中的结论是否仍然成立，说明理由；(3)如图3，P为对角线上一点，E为的中点，连，若平分，直接写出的长度．
【答案】(1)见解析；(2)仍然成立，见解析；(3)
【分析】（1）在AB上取BH=BE，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF；（2）延长AB至点M，使BM=BE，则△BME是等腰直角三角形，AM=CE，利用余角的性质得到∠MAE=∠CEF，证得△MAE≌△CEF（ASA），即可得到结论AE=EF；
（3）连接AF，延长EP交AF于N，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°，BE=2，AE=2，进而得到AF，EN的长，证明△ANP∽△ABE，得到，即，求出NP即可得到EP
(1)证明：在AB上截取BH=BE，连接HE，如图1所示：
则△BHE是等腰直角三角形，AH=CE，
∴BHE=∠BEH=45°，∴∠AHE=135°，∴∠1+∠HEA=45°，
由（1）得：∠ECF=135°，∴∠AHE=∠ECF，
∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∴∠1+∠CEF=45°，∴∠1=∠2，
∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；
(2)仍然成立，理由如下：
延长AB至点M，使BM=BE，则△BME是等腰直角三角形，AM=CE，∴BME=∠BEM=45°，
∵∠ECF=45°，∴∠AME=∠ECF，
∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠EAB=∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠MAE=∠CEF，∴△MAE≌△CEF（ASA），∴AE=EF；
(3)EP=
如图，连接AF，延长EP交AF于N，
由（1）（2）可知AE=EF，
∵∠AEF=90°，∴∠EAF=∠AFE=45°，
∵EP平分∠AEF，∴∠AEN=∠FEN=45°，
∴EN⊥AF，则∠ANP=90°，
∵AC是正方形的对角线，AB=4，点E是BC的中点，
∴∠BAC=45°，BE=2，AE=2，
∴AF=，EN=，
∵∠BAE=∠NAP，∴△ANP∽△ABE，
∴，即，
∴，∴EP=EN-NP=
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定及性质，正确作出辅助线、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意类比思想的正确运用．
26．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)求的面积．(3)是否存在点在轴负半轴上，点在平面直角坐标系内，使得以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，或
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）联立求得，过点作轴于点，则，根据三角形面积公式计算即可求解；
（3）分①以AC、PC为邻边时，四边形ACPQ为菱形，②以AC、CQ为邻边时，四边形ACQP为菱形，根据菱形的性质即可求解．
（1）设直线的解析式为，
将点，，代入，得，
，解得，直线的解析式为；
（2）由，令，解得，令，解得，，，
，，，
联立，解得，，
如图，过点作轴于点，
则，，由图可知
，，
，的面积为
（3）存在以A、C、P、Q为顶点的四边形为菱形，理由如下：
①以AC、PC为邻边时，四边形ACPQ为菱形，
∴AC= PC， AP⊥CQ．∴点Q在y轴上
∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），
∴点P的坐标为（-4，0），点Q的坐标为(0， -3)．
②以AC、CQ为邻边时，四边形ACQP为菱形，此时CQ//AP，且CQ=AC=AP
∵A(4，0)．∴AO =3在Rt△ACO中，根据勾股定理得：
AC=∴AP= AC=5
∵点P在x轴负半轴上，∴点P的坐标为（-1，0）
∴存在以A、C、P、Q为顶点的四边形为菱形，P点坐标为（-4，0）或（-1，0）．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，掌握一次函数的性质，菱形的性质是解题的关键．
日期
1
2
3
4
5
温度（℃）
20
18
16
20
21
甲
乙
丙
丁
（秒）
成绩（分）
4
5
6
7
8
9
10
抽取的七年级人数（人）
2
0
4
3
6
3
2
抽取的八年级人数（人）
1
2
1
6
5
4
1
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
7.4
a
8
55%
八年级
7.4
b
c
50%
付款金额（元）
m
7.5
10
12
n
购买量（千克）
1
1.5
2
2.5
3
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