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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理优秀第1课时学案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理优秀第1课时学案设计，文件包含人教A版数学高二选择性必修第三册61分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时导学案原卷版docx、人教A版数学高二选择性必修第三册61分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时导学案解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共25页， 欢迎下载使用。
学习目标
1. 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；
2. 了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义；
3. 能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
重点难点
重点：归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题.
难点：正确地理解“完成一件事”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”.
课前预习 自主梳理
知识点一 分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
(1)定义中每一类中的每一种方法能否独立完成这件事?
提示:能,每一类中的每一种方法都能独立完成这件事.
(2)各种方案之间有何关系?每一类方案中各种方法之间有何关系?
提示:各种方案之间相互独立,并且任何一类方案中任何一种方法也相互独立.
知识点二 分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
思考 如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
答案 区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．
(1)定义中每一步中的每一种方法能否独立完成这件事?
提示:不能,每一步中的每一种方法不能独立完成这件事.
(2)定义中的“完成一件事”指的是什么?
提示:完成一件事指的是将完成这件事划分成几个步骤,各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步骤都完成了,整个事件才算完成.
(3)根据定义完成一件事的方法数怎样计算?
提示:从计数上看,各步的方法数的积就是完成这一件事的方法总数.
知识点三 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系
思考：分类加法计数原理每一类中的方法和分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别?
提示:分类加法计数原理每一类中的方案可以完成一件事情,而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同. ( )
(2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能编出26+10=36种不同的号码, （ ）
(3)在分类加法计数原理中的每一种办法都可以完成这件事. ( )
(4)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． ( )
2.6名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是（ ）
A．20B．C．D．120
3.“完成一件事需要分成个步骤，各个步骤分别有种方法，则完成这件事有多少种不同的方法？”要解决上述问题，应用的原理是（ ）
A．加法原理B．减法原理C．乘法原理D．除法原理
4.某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A．40种B．20种C．15种D．11种
5.封信件投到个信箱中总共有 种投信方法
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按适当顺序排列而成．随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容．那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢?这就需要“数(shǔ)出”某种汽车号牌序号的组成方案下所有可能的序号数，这就是计数．
日常生活、生产中类似的问题大量存在．例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号……如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法．但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗?
在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法．这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理．这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式一排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题．作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理．
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法．但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高．能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢?下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数计数方法．
问题1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?
问题2：从甲地到乙地，可以乘火车也可以乘汽车.一 天中，火车4班，汽车8班.乘这些交通工具从甲地到乙地， 有多少种不同方法？
探究：你能说一说这个问题的特征吗?
首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示．因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．这两类号码数相加就得到号码的总数．
上述计数过程的基本环节是：
（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
（2）分别计算各类号码的个数；
（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数．
环节二 观察分析，感知概念
问题3：你能概括一下上述问题的共同特征吗？
归纳概括分类加法计数原理：
一般地，有如下分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法．
两类不同方案中的方法互不相同．
教师对原理进行解释，特别注意强调明确要完成的 “一件事”的重要性.
问题1中要完成的一件事是指“给一个座位编号”，
问题2中要完成的一件事是指“从甲地到乙地”.
特别注意：完成一件事都需要分类完成；每一类中的每一种方法都能完成这件事，两类不同的方案中的方法互不相同.
你能举一些生活中类似的例子吗？
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1．
表6.1-1
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择?
环节三 抽象概括，形成概念
探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第3类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢?
思考：
用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以，，…，，，，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?
这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同．在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码．但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤．用图6.1-1所示的方法可以列出所有可能的号码．
图6.1-1是解决计数问题常用的“树状图”．你能用树状图列出所有可能的号码吗？
也可以这样思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有种不同的号码．
问题4：从列号码的过程中你发现了什么规律？
补充问题:从甲地到乙地，需要经过丙地，从甲地到丙 地有4条路，从丙地到乙地有8条路.从甲地到乙地，有多 少条不同的路线？
环节四 辨析理解 深化概念
探究：你能说一说这个问题的特征吗?
上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成．因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的．
一般地，有如下分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法．
无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数．
问题5：你能举出生活中的一些分步计数问题吗？
例2某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法?
探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?
如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步都有若于种不同的方法，那么应当如何计数呢?
环节五 概念应用，巩固内化
例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法?
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法?
环节六 归纳总结,反思提升
请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1.本节课学习的概念有哪些？
2.你能从自己的生活经历中举出两个计数 原理的例子吗？
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教材第5〜6页练习第1,3题.
备用练习
1.某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ）
A．14B．64C．72D．80
2.某体育用品店有5款不同的篮球、4款不同的排球，某人要买一个篮球和一个排球，不同的选法有（ ）
A．9种B．10种C．20种D．36种
3.将标号为1、2、3、4、5、6、7的7个小球随机地放入标号为1、2、3、4、5、6、7、6、7的7个盒子中，每个盒子放一个小球，恰好有4个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有（ ）
A．90种B．135种C．180种D．315种
4.某车间有男工人20人，女工人15人，从中选一位工人参加技能培训，则不同选法的种数为（ ）
A．25B．35C．40D．300
5.现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（ ）
A．选1人为负责人的选法种数为30
B．每组选1名组长的选法种数为3024
C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335
D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
关键词
分类
分步
本质
每类方案都能独立完成这件事,它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事
每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事
各类(步)的关系
各类方案之间是互斥的、并列的、独立的,即“分类互斥”
各步之间是关联的、独立的,“关联”确保连续性,“独立”确保不重复,即“分步互依”
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
管理学
法学
工程学
学习目标
1. 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；
2. 了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义；
3. 能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
重点难点
重点：归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题.
难点：正确地理解“完成一件事”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”.
课前预习 自主梳理
知识点一 分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
(1)定义中每一类中的每一种方法能否独立完成这件事?
提示:能,每一类中的每一种方法都能独立完成这件事.
(2)各种方案之间有何关系?每一类方案中各种方法之间有何关系?
提示:各种方案之间相互独立,并且任何一类方案中任何一种方法也相互独立.
知识点二 分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
思考 如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
答案 区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．
(1)定义中每一步中的每一种方法能否独立完成这件事?
提示:不能,每一步中的每一种方法不能独立完成这件事.
(2)定义中的“完成一件事”指的是什么?
提示:完成一件事指的是将完成这件事划分成几个步骤,各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步骤都完成了,整个事件才算完成.
(3)根据定义完成一件事的方法数怎样计算?
提示:从计数上看,各步的方法数的积就是完成这一件事的方法总数.
知识点三 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系
思考：分类加法计数原理每一类中的方法和分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别?
提示:分类加法计数原理每一类中的方案可以完成一件事情,而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同. ( )
(2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能编出26+10=36种不同的号码, （ ）
(3)在分类加法计数原理中的每一种办法都可以完成这件事. ( )
(4)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． ( )
2.6名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是（ ）
A．20B．C．D．120
3.“完成一件事需要分成个步骤，各个步骤分别有种方法，则完成这件事有多少种不同的方法？”要解决上述问题，应用的原理是（ ）
A．加法原理B．减法原理C．乘法原理D．除法原理
4.某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A．40种B．20种C．15种D．11种
5.封信件投到个信箱中总共有 种投信方法
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按适当顺序排列而成．随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容．那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢?这就需要“数(shǔ)出”某种汽车号牌序号的组成方案下所有可能的序号数，这就是计数．
日常生活、生产中类似的问题大量存在．例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号……如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法．但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗?
在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法．这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理．这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式一排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题．作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理．
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法．但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高．能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢?下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数计数方法．
问题1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?
问题2：从甲地到乙地，可以乘火车也可以乘汽车.一 天中，火车4班，汽车8班.乘这些交通工具从甲地到乙地， 有多少种不同方法？
探究：你能说一说这个问题的特征吗?
首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示．因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．这两类号码数相加就得到号码的总数．
上述计数过程的基本环节是：
（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
（2）分别计算各类号码的个数；
（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数．
环节二 观察分析，感知概念
问题3：你能概括一下上述问题的共同特征吗？
归纳概括分类加法计数原理：
一般地，有如下分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法．
两类不同方案中的方法互不相同．
教师对原理进行解释，特别注意强调明确要完成的 “一件事”的重要性.
问题1中要完成的一件事是指“给一个座位编号”，
问题2中要完成的一件事是指“从甲地到乙地”.
特别注意：完成一件事都需要分类完成；每一类中的每一种方法都能完成这件事，两类不同的方案中的方法互不相同.
你能举一些生活中类似的例子吗？
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1．
表6.1-1
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择?
环节三 抽象概括，形成概念
探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第3类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢?
思考：
用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以，，…，，，，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?
这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同．在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码．但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤．用图6.1-1所示的方法可以列出所有可能的号码．
图6.1-1是解决计数问题常用的“树状图”．你能用树状图列出所有可能的号码吗？
也可以这样思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有种不同的号码．
问题4：从列号码的过程中你发现了什么规律？
补充问题:从甲地到乙地，需要经过丙地，从甲地到丙 地有4条路，从丙地到乙地有8条路.从甲地到乙地，有多 少条不同的路线？
环节四 辨析理解 深化概念
探究：你能说一说这个问题的特征吗?
上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成．因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的．
一般地，有如下分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法．
无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数．
问题5：你能举出生活中的一些分步计数问题吗？
例2某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法?
探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?
如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步都有若于种不同的方法，那么应当如何计数呢?
环节五 概念应用，巩固内化
例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法?
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法?
环节六 归纳总结,反思提升
请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1.本节课学习的概念有哪些？
2.你能从自己的生活经历中举出两个计数 原理的例子吗？
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教材第5〜6页练习第1,3题.
备用练习
1.某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ）
A．14B．64C．72D．80
2.某体育用品店有5款不同的篮球、4款不同的排球，某人要买一个篮球和一个排球，不同的选法有（ ）
A．9种B．10种C．20种D．36种
3.将标号为1、2、3、4、5、6、7的7个小球随机地放入标号为1、2、3、4、5、6、7、6、7的7个盒子中，每个盒子放一个小球，恰好有4个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有（ ）
A．90种B．135种C．180种D．315种
4.某车间有男工人20人，女工人15人，从中选一位工人参加技能培训，则不同选法的种数为（ ）
A．25B．35C．40D．300
5.现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（ ）
A．选1人为负责人的选法种数为30
B．每组选1名组长的选法种数为3024
C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335
D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
关键词
分类
分步
本质
每类方案都能独立完成这件事,它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事
每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事
各类(步)的关系
各类方案之间是互斥的、并列的、独立的,即“分类互斥”
各步之间是关联的、独立的,“关联”确保连续性,“独立”确保不重复,即“分步互依”
A大学
B大学
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化学
会计学
医学
信息技术学
管理学
法学
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