还剩34页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
人教A版数学高二选择性必修第三册 第六章 计数原理 知识清单
展开
这是一份人教A版数学高二选择性必修第三册 第六章 计数原理 知识清单，共37页。
选择性必修三 第六章 计数原理知识点清单一、本章思维导图§6.1 分类加法与分步乘法计数原理1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法.利用分类加法计数原理解题的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎么才算是完成这件事.(2)完成这件事的n类办法,无论用哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要用到其他的方法.(3)确立恰当的分类标准,准确地对“完成这件事的办法”进行分类,要求每一种方法必属于某一类办法,不同类办法的任意两种方法不同,也就是分类必须既不重复也不遗漏.从集合的角度看,若完成一件事分A,B两类办法,则A∩B=⌀,A∪B=I(I表示全集).2.分步乘法计数原理：完成一件事有两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法.利用分步乘法计数原理解题的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事需要几步.(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,无论缺少哪一步,这件事都不可能完成.(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐一去做,才能完成这件事,各步之间既不能重复也不能遗漏.(4)对于同一个题目,标准不同,分步也不同.分步的基本要求:一是完成一件事,必须且只需连续做完几步,既不漏步也不重步;二是不同步骤的方法不能互相替代.利用分类加法计数原理解题的一般思路(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类;(2)计数:求出每一类中的方法数;(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.两个原理的联系与区别1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.2.区别§6.2 排列与组合1.排列定义：从个不同的元素中任取个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列.全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列.2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.排列应注意的问题(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”.(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.3.排列数：从个不同的元素中任取个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记作.4.排列数公式：（1）；（2），规定.；5.组合定义：从个不同的元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个组合.6.组合数：从个不同的元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作.7.组合数公式：（1）或或；（2），规定；（3）.8.排列与组合的区别与联系(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.§6.3 二项式定理1.二项式定理（1）二项式定理：.右边的多项式叫做的二项展开式.（2）二项展开式的通项：第项：.（3）二项式系数：2.二项式系数的性质：（1）若令,则有：，若令，则有.奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和.即.（2）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（3）增减性与最大值：当时，二项式系数的值逐渐增大，当时,的值逐渐减小；当为偶数时，中间的一项取得最大值；当为奇数时，中间的两项和相等，且同时取最大值.3.二项式定理形式上的特点(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.(2)二项式系数都是Cnk(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n.(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次. 分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复二、计数原理：分类加法计数原理与分步乘法考点一、分类加法计数原理1.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）A．5种 B．4种 C．9种 D．45种【答案】C【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择，故选：C.考点一、分类加法计数原理2.将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）A．16种 B．12种 C．9种 D．6种【答案】B【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；^当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；因此，不同的放球方法有12种，故选B.考点二、分步乘法计数原理3.某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演，原节目单上有10个节目已经排好顺序，又有3个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有（ ）种A．165 B．286 C．990 D．1716【答案】D【解析】第一步：10个节目空出11个位置，加入1个新来的节目，所以加入一个新节目有11种方法，第二步：从排好的11个节目空出的12个位置中，加入第2个新节目，有12种方法，第三步：从排好的12个节目空出的13个位置中，加入第3个新节目，有13种方法，所以由分步乘法计数原理得，加入3个新节目后的节目单的排法有（种）.故选：D考点二、分步乘法计数原理4.从集合中任取两个互不相等的数a，b组成复数，其中虚数有（ ）A．10个 B．12个 C．16个 D．20个【答案】C【解析】∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4}中选一个有4种，a从剩余的4个选一个有4种，∴根据分步计数原理知虚数有4×4＝16（个）．故选：C．考点三、两个计数原理综合运用5.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年级，有_______种不同的选法．【答案】【解析】选2个班参加社会实践，这2个班不同年级，2个班为高一和高二各一个班有，2个班为高二和高三各一个班有，2个班为高三和高一各一个班有，所以不同的选法共有.故答案为：.6.某学校需要把包含甲，乙，丙在内的6名教育专家安排到高一，高二，高三三个年级去听课，每个年级安排2名专家，已知甲必须安排到高一年级，乙和丙不能安排到同一年级，则安排方案的种数有（ ）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种【答案】B【解析】根据题意，分2种情况讨论：①甲和乙丙中1人在高一，此时高一的安排方法有种，高二的选法有种，则此时有种安排分法，②甲和其他三人中的1人在高一，则乙丙三人分别在高二、高三，有2种情况，将其他三人全排列，安排到三个年级，有种安排方法，则此时有种安排方法；故有种安排方法；安排方案的种数有12+24=36故选：B．6.2.1排列及排列数考点一、排列的概念7.下列问题是排列问题的是( )A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？【答案】B【解析】排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选B.考点一、排列的概念8.下列问题是排列问题的是( )A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？【答案】 B【解析】 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺序无关．故选B.考点二、排列数9.对于满足的正整数n，（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为，选取个数为，.故选：C．考点二、排列数10.若，则（ ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】,化解得解得：m=（舍）或m=5故选：A考点三、排队问题11.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600；（6）3720.【解析】（1）从7人中选5人排列，共有（种．（2）分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，按照分步乘法计数原理计算可得一共有（种.（3）捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，有种，再与3名男生进行全排列有种，共有（种．（4）插空法，先排女生，再在空位中插入男生，故有（种．（5）先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有(种).（6）7名学生全排列，有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有(种).考点三、排队问题12.参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（ ）A．360 B．720 C．2160 D．4320【答案】B【解析】分两步完成：第一步：从6人中选3人排前排：种不同排法；第二步：剩下的3人排后排：种不同排法，再按照分步乘法计数原理：种不同排法，故选：B.考点四、数字问题13.现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？【答案】（1）648；（2）156；（3）2296；【解析】（1）由题意，无重复的三位数共有个；（2）当百位为1时，共有个数；当百位为2时，共有个数；当百位为3时，共有个数，所以315是第个数；（3）无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，当个位上为0时，共有个数；当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有个数，所以无重复的四位偶数共有个数；考点四、数字问题14.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A．144个 B．120个 C．96个 D．72个【答案】B【解析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选B6.2.2组合及组合数考法一、组合的概念15.给出下列问题：①有10个车站，共需要准备多少种车票？②有10个车站，共有多少中不同的票价？③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？以上问题中，属于组合问题的是_________(填写问题序号).【答案】②④【解析】①有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；②有10个车站，共有多少中不同的票价？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；以上问题中，属于排列问题的是②④.考法一、组合的概念16.下列问题属于排列问题的是（ ）①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数A．①④ B．①② C．④ D．①③④【答案】A【解析】排列的概念：从个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列，由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序，由此可判断出：①④是排列问题，故选：A考法二、组合数17.若，则n等于（ ）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】根据题意，变形可得，；由组合性质可得，，即，则可得到.故选：B.考法二、组合数18.设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（ ）．A．11 B．10 C．9 D．8【答案】D【解析】设，则，又，，，由得：，，，，，的值为.故选：.考法三、组合应用19.男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．【答案】（1）120（2）246（3）196（4）191【解析】(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有Ceq \o\al(3,6)种选法；第二步，选2名女运动员，有Ceq \o\al(2,4)种选法．由分步计数原理可得，共有Ceq \o\al(3,6)·Ceq \o\al(2,4)＝120(种)选法．(2)方法一 “至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类计数原理可得总选法共有Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(4,6)＋Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(3,6)＋Ceq \o\al(3,4)Ceq \o\al(2,6)＋Ceq \o\al(4,4)Ceq \o\al(1,6)＝246(种)．方法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．从10人中任选5人有Ceq \o\al(5,10)种选法，其中全是男运动员的选法有Ceq \o\al(5,6)种．所以“至少有1名女运动员”的选法有Ceq \o\al(5,10)－Ceq \o\al(5,6)＝246(种)．(3)方法一 (直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为Ceq \o\al(4,8)；“只有女队长”的选法种数为Ceq \o\al(4,8)；“男、女队长都入选”的选法种数为Ceq \o\al(3,8)，所以共有2Ceq \o\al(4,8)＋Ceq \o\al(3,8)＝196(种)选法．方法二 (间接法)从10人中任选5人有Ceq \o\al(5,10)种选法，其中不选队长的方法有Ceq \o\al(5,8)种．所以“至少有1名队长”的选法有Ceq \o\al(5,10)－Ceq \o\al(5,8)＝196(种)．(4)当有女队长时，其他人任意选，共有Ceq \o\al(4,9)种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有Ceq \o\al(4,8)种选法，其中不含女运动员的选法有Ceq \o\al(4,5)种，所以不选女队长时的选法共有(Ceq \o\al(4,8)－Ceq \o\al(4,5))种．所以既要有队长又要有女运动员的选法共有Ceq \o\al(4,9)＋Ceq \o\al(4,8)－Ceq \o\al(4,5)＝191(种)．考法三、组合应用20.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．【答案】（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，所以甲、乙两组的比例是，又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．6.2.3排列组合的综合运用考法一、全排列21.2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（ ）A．64种 B．48种 C．24种 D．12种【答案】C【解析】4个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有种方法．故选：C．考法一、全排列22.3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（ ）A．3种 B．6种 C．12种 D．5种【答案】B【解析】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，全排列：.故选：B考法二、相邻问题23.某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（ ）A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【解析】先安排甲､乙相邻，有种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为.故选：C24.在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（ ）A．8种 B．12种 C．20种 D．24种【答案】C【解析】当甲排在第一位时，共有种发言顺序，当甲排在第二位时，共有种发言顺序，所以一共有种不同的发言顺序.故选：C.考法三、不相邻问题25.省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方式.A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为.故选：B.考法三、不相邻问题26.若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（ ）A．12种 B．14种 C．5种 D．4种【答案】A【解析】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有种排法；第二步，从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有种排法.故答案选A考法四、分组分配27.疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ）A．60种 B．90种 C．150种 D．240种【答案】C【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有;分为1，1，3时安排有所以一共有故选：C考法四、分组分配28.特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ）A．24 B．14 C．12 D．8【答案】C【解析】先把4名数学教师平分为2组，有种方法，再把2名体育教师分别放入这两组，有种方法，最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有种方法.故选：C.考向五、几何问题29.以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个A．70 B．64 C．60 D．58【答案】D【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有个.故选：D.考向五、几何问题30.以长方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A．1480 B．1468 C．1516 D．1492【答案】B【解析】因为平行六面体的8个顶点任意三个均不共线，故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有个三角形，从中任选两个，共有种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面，从8个顶点中4点共面共有12种情况，每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.考向六、方程不等式问题31.方程的正整数解的个数__________.【答案】【解析】问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内．共有种．故答案为：考向六、方程不等式问题32.三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有_____.【答案】【解析】由,则设，则且，则三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数等价于,的解的个数,等价于将16个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法，又将16个相同的小球分成3组，每组至少1个的不同分法，只需在16个球之间的15个空中选2个空用隔板隔开即可，则共有种分法，即三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有个，故答案为：.考向七、数字问题33.从，，，，，中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（ ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为，和的最大值为，所以当从，，，，，中任取三个数相加时，则不同结果有种．故选：C.考向七、数字问题34.在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为()A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【解析】根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5、6、7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有种，故选：．6.3二项式定理考法一、二项式定理展开式35.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( )A．(2x+2)5 B．2x5C．(2x-1)5 D．32x5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作，故为的展开式，化简.故选D.考法一、二项式定理展开式36.化简：_________.【答案】【解析】则所以故答案为：.考法二、二项式指定项的系数与二项式系数37.二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：令可得，此时.考法二、二项式指定项的系数与二项式系数38.若的展开式中的系数为7，则实数=______.【答案】【解析】根据二项展开式的通项公式可得：，令，可得，，解得：，故答案为：考法三、多项式系数或二项式系数39.展开式中常数项为（ ）.A．11 B． C．8 D．【答案】B【解析】将看成一个整体，展开得到：的展开式为：取当时，系数为：当时，系数为：常数项为故答案选B考法三、多项式系数或二项式系数40.的展开式中常数项为()A． B． C． D．【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令;令;故所求常数项为，故选C.考法四、二项式定理的性质41.在的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（ ）A．960 B．1120 C．-560 D．-960【答案】B【解析】在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则=的二项展开式的通项公式为Tr+1=•28﹣r•（﹣1）r•x4﹣r，令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为•24•（﹣1）4=1120，故选B．考法四、二项式定理的性质42.已知展开式中各项系数的和为m，且，求展开式中二项式系数最大的项的系数.【答案】59136【解析】设，令，得，所以，则展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为.故所求的系数为59136.考法五、二项式系数或系数和43.在的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______.【答案】【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为，令可得所有项的系数之和为，故答案为：，考法五、二项式系数或系数和44.已知，则_____.【答案】【解析】对等式两边求导，得，令，则.考法六、二项式定理运用45.已知能够被15整除，则________.【答案】14【解析】由题可知，所以，而75能被15整除，要使能够被15整除，只需能被15整除即可，所以，解得：.故答案为：14.考法六、二项式定理运用46.的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】故选B易混易错练易错点1 混淆分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.有红、黄、蓝旗各3面,每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列表示不同的信号,顺序不同也表示不同的信号,共可以组成多少种不同的信号?【答案】39【解析】每次升1面旗可组成3种不同的信号;每次升2面旗可组成3×3=9种不同的信号;每次升3面旗可组成3×3×3=27种不同的信号.根据分类加法计数原理,共可组成3+9+27=39种不同的信号.易错点2 混淆排列问题与分步问题2.有4个不同的小球,4个不同的盒子,现在要把球全部放入盒子中.(1)共有多少种放法?(2)若每个盒子至少放一个小球,共有多少种不同的放法?(3)恰有一个盒子不放球,共有多少种放法?【答案】（1）256（2）24（3）144【解析】(1)易知每个球都有4种放法,由分步乘法计数原理知,共有4×4×4×4=256种不同的放法.(2)每个盒子至少放一个小球,即每个盒子中都放入一个小球,将4个盒子看作4个不同的位置,4个小球进行全排列,可得A44=24种不同的放法.(3)恰有一个空盒,说明恰有一个盒子中有2个小球,从4个小球中选2个作为一个元素,同另外2个小球在4个位置进行排列,故共有C42A43=144种不同的放法.易错警示 要“从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素”,在排列问题中元素不能重复选取,而在用分步乘法计数原理解决问题时,元素可以重复选取.易错点3 忽略特殊元素与特殊位置3.(2020广东汕头一中高二下月考,)有5名同学站成一排拍毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两名同学不能相邻,则不同的站法有( )A.8种 B.16种 C.32种 D.48种【答案】B【解析】 首先将甲排在中间,因为乙、丙两名同学不能相邻,所以两人必须站在甲的两侧,选出一人排在左侧,有C21A21种方法,另外一人排在右侧,有A21种方法,余下两人排在余下的两个空中,有A22种方法,所以不同的站法有C21A21A21A22=16种.故选B.易错点拨 对于有特殊元素和特殊位置的问题,应先考虑特殊元素排在特殊位置,再排其他元素和其他位置.本题易出现这样的错误解法:先排甲、乙、丙之外的两人,有A22种排法;再将乙、丙两人插入3个空中的2个,有A32种插法;最后甲站他们中间,有1种站法.所以不同的站法有A22A32=12种.这样求解是错误的.因为乙、丙还可以与甲相邻,分别站在甲的两侧.4.用0,1,2,3,4这五个数字可以组成没有重复数字的:(1)三位偶数有多少个?(2)能被3整除的三位数有多少个?(3)比210大的三位数有多少个?【答案】（1）30（2）20（3）32【解析】 (1)当个位是0时,有A42=12个;当个位是2时,有3×3=9个;当个位是4时,有3×3=9个.故共有12+9+9=30个没有重复数字的三位偶数.(2)没有重复数字的能被3整除的三位数的数字组成共有0,1,2;0,2,4;1,2,3;2,3,4四种情况,故共有C21×A22+C21×A22+A33+A33=20个.(3)当百位是2时,共有A21×A31+2=8个;当百位是3时,共有A42=12个;当百位是4时,共有A42=12个,故共有8+12+12=32个大于210的没有重复数字的三位数.易错警示 在与数字有关的排列问题中,易忽略“0”对特殊位置的要求,造成错解.易错点4 混淆排列与组合的概念导致计数错误5.从5本不同的科普书和4本不同的数学书中选出4本,送给4位同学,每人1本.(以下问题用数字作答)(1)如果科普书和数学书各选2本,共有多少种不同的送法?(2)如果科普书甲和数学书乙必须送出,共有多少种不同的送法?(3)如果选出的4本书中至少有3本科普书,共有多少种不同的送法?【答案】（1）1 440（2）504（3）1 080【解析】 (1)从5本科普书中选2本有C52种选法,从4本数学书中选2本有C42种选法,再把4本书给4位同学有A44种送法,所以科普书和数学书各选2本,共有C52C42A44=1 440种不同的送法. (2)因为科普书甲和数学书乙必须送出,所以再从其余7本书中选2本有C72种选法,再把4本书给4位同学有A44种送法,所以共有C72A44=504种不同的送法. (3)选出的4本书均为科普书有C54种选法,选出的4本书中有3本科普书有C53C41种选法,再把4本书给4位同学有A44种送法,所以至少有3本科普书的送法有(C54+C53C41)×A44=1 080种.误区警示 解决计数问题时,首先要分清楚是排列问题还是组合问题,即看取出的元素是“排成一列”还是“并成一组”,不能将二者混淆,若将排列问题误认为是组合问题,则会漏解,反之会重复计数.易错点5 混淆展开式中项的系数与二项式系数6.在3x-123xn(n∈N*)的展开式中.(1)若所有二项式系数之和为64,求展开式中二项式系数最大的项;(2)若前三项系数的绝对值成等差数列,求展开式中各项的系数和.【答案】（1）-52（2）1256【解析】 (1)由已知得Cn0+Cn1+…+Cnn=64,即2n=64,解得n=6,所以展开式中二项式系数最大的项是第四项,即C63(x13)6-3-12x-133=20×-18×x0=-52.(2)3x-123xn的展开式的通项为Tr+1=Cnr(3x)n-r-123xr=-12rCnrxn-2r3(r=0,1,…,n).由已知,Cn0,12Cn1,14Cn2成等差数列,∴2×12Cn1=1+14Cn2,∴n=8(n=1舍去),∴3x-123xn=3x-123x8,令x=1,得展开式中各项的系数和为1−128=1256.7.已知(1+mx)n(m∈R,n∈N*)的展开式的各二项式系数之和为32,且展开式中含x3项的系数为80.(1)求m,n的值;(2)求(1+mx)n(1-x)6的展开式中含x2项的系数.【答案】（1）m=2，n=5（2）-5【解析】(1)由题意知2n=32,则n=5,(1+mx)5的展开式的通项为Tr+1=C5rmrxr(r=0,1,…,5),由题意知,当r=3时,C53m3=80,所以m=2.(2)由(1)知,m=2,n=5,所以(1+mx)n(1-x)6=(1+2x)5(1-x)6,(1+2x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r2rxr(r=0,1,…,5),(1-x)6的展开式的通项为Tk+1=C6k(-1)kxk(k=0,1,…,6),①令r=0,k=2,此时含x2项的系数为C62×(-1)2=15;②令r=1,k=1,此时含x2项的系数为C51×21×C61×(-1)1=-60;③令r=2,k=0,此时含x2项的系数为C52×22=40.所以(1+2x)5(1-x)6的展开式中含x2项的系数为15+(-60)+40=-5.误区警示 (a+b)n的展开式中,第r+1项的二项式系数是Cnr(r=0,1,2,…,n),仅与n,r有关;而第r+1项的系数为该项字母前的数连同符号,不一定是二项式系数Cnr.注意二项式系数Cnr一定为正,而对应项的系数可能为负,解题时不要将两者混淆.思想方法练一、分类讨论思想在排列组合中的应用1.某中学话剧社的6个演员站成一排照相,高一、高二和高三年级均有2个演员,则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为( )A.48 B.144 C.288 D.576【答案】C 【解析】分两类进行讨论.第一类,高一年级同学相邻且高二年级同学不相邻,把高一年级两个同学“捆绑”看作一个元素,与高三年级两个同学进行排列,有A22A33种不同排法,把高二年级两个同学插入4个空位中的2个(插空法),有A42种不同方法,故第一类有A22A33A42=144种站法;第二类,高二年级同学相邻且高一年级同学不相邻,与第一类方法相同,也有144种站法.由分类加法计数原理知,共有144+144=288种站法,故选C.2.如图,用四种不同的颜色对图中5个区域涂色(四种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方法有 种.(用数字作答) 【答案】 96【解析】由题意知本题是一个分步计数问题.第一步,涂区域1,有4种方法;第二步,涂区域2,有3种方法;第三步,涂区域4,有2种方法(此时,前三步已经用去三种颜色);第四步,涂区域3,分两类:第一类,区域3与区域1同色,则区域5涂第四种颜色;第二类,区域3与区域1不同色,则区域3涂第四种颜色,此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色,有3种方法.所以不同的涂色方法有4×3×2×(1×1+1×3)=96种.3.设x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列,且满足|x1-1|+|x2-2|+|x3-3|+|x4-4|=6,求这样的排列的个数.【答案】9【解析】由题知,|x1-1|,|x2-2|,|x3-3|,|x4-4|这四个自然数的和为6,分情况讨论:①当四个自然数为1,1,1,3时, x1,x2,x3,x4 的值对应有2,3,4,1和4,1,2,3两种情况;②当四个自然数为1,1,2,2时, x1,x2,x3,x4 的值对应有2,4,1,3和3,1,4,2两种情况;③当四个自然数为1,2,3,0时, x1,x2,x3,x4 的值对应有2,4,3,1和4,1,3,2和3,2,4,1和4,2,1,3四种情况;④当四个自然数为0,0,3,3时, x1,x2,x3,x4 的值对应有4,2,3,1;⑤当四个自然数为0,2,2,2时,没有符合的.故这样的排列共有2+2+4+1=9个.二、整体思想在排列组合中的应用4.6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有( )A.24种 B.36种 C.48种 D.60种【答案】A 【解析】甲、乙两本书必须摆放在两端,有A22种排法;丙、丁两本书必须相邻,将其视为整体与另外两本书全排列,有A22A33种排法,由分步乘法计数原理可得,不同的摆放方法有A22A22A33=24种.5.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人坐下,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是( )A.234 B.346 C.350 D.363【答案】B【解析】易知一共可坐的位子有20个,2个人坐的方法数为A202,还需排除两人左右相邻的情况.把可坐的20个座位排成连续一行,将其中两个相邻座位看成一个整体,则相邻的坐法有A191A22,还应再加上2A22,所以不同坐法的种数为A202-A191A22+2A22=346.故选B.6.某款APP软件设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块.某人在学习过程中,“阅读文章”不放首位,四个答题模块中有且仅有三个答题模块相邻的学习方法有( )A.60种 B.192种 C.240种 D.432种【答案】C 【解析】先排“阅读文章”和“视听学习”两个学习模块,分“阅读文章”模块在前与在后两种情况,再在四个答题模块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题模块插空,由于“阅读文章”不放首位,因此不同的方法数为A43C21A22+A43A32=240.7.某电视台连续播放7个不同的广告,其中4个不同的商业广告和3个不同的公益广告,要求所有的公益广告必须连续播放,则不同的播放方式的种数为 . 【答案】720【解析】第一步,将所有的公益广告“捆绑”在一起当成一个元素和其他4个不同的商业广告进行排列,不同的安排方式有A55=120种,第二步,对3个不同的公益广告进行排列,不同的安排方式有A33=6种,故不同的播放方式有A55A33=120×6=720种.三、函数与方程思想在排列组合、二项式定理中的应用8.某学习小组有男、女生共8人,现从男生中选2人,女生中选1人分别去做3种不同的工作,共有90种不同的选法,则男、女生人数分别为( )A.2,6 B.3,5 C.5,3 D.6,2【答案】B【解析】设男生人数为n,则女生人数为8-n,其中(1
选择性必修三 第六章 计数原理知识点清单一、本章思维导图§6.1 分类加法与分步乘法计数原理1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法.利用分类加法计数原理解题的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎么才算是完成这件事.(2)完成这件事的n类办法,无论用哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要用到其他的方法.(3)确立恰当的分类标准,准确地对“完成这件事的办法”进行分类,要求每一种方法必属于某一类办法,不同类办法的任意两种方法不同,也就是分类必须既不重复也不遗漏.从集合的角度看,若完成一件事分A,B两类办法,则A∩B=⌀,A∪B=I(I表示全集).2.分步乘法计数原理：完成一件事有两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法.利用分步乘法计数原理解题的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事需要几步.(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,无论缺少哪一步,这件事都不可能完成.(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐一去做,才能完成这件事,各步之间既不能重复也不能遗漏.(4)对于同一个题目,标准不同,分步也不同.分步的基本要求:一是完成一件事,必须且只需连续做完几步,既不漏步也不重步;二是不同步骤的方法不能互相替代.利用分类加法计数原理解题的一般思路(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类;(2)计数:求出每一类中的方法数;(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.两个原理的联系与区别1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.2.区别§6.2 排列与组合1.排列定义：从个不同的元素中任取个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列.全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列.2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.排列应注意的问题(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”.(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.3.排列数：从个不同的元素中任取个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记作.4.排列数公式：（1）；（2），规定.；5.组合定义：从个不同的元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个组合.6.组合数：从个不同的元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作.7.组合数公式：（1）或或；（2），规定；（3）.8.排列与组合的区别与联系(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.§6.3 二项式定理1.二项式定理（1）二项式定理：.右边的多项式叫做的二项展开式.（2）二项展开式的通项：第项：.（3）二项式系数：2.二项式系数的性质：（1）若令,则有：，若令，则有.奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和.即.（2）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（3）增减性与最大值：当时，二项式系数的值逐渐增大，当时,的值逐渐减小；当为偶数时，中间的一项取得最大值；当为奇数时，中间的两项和相等，且同时取最大值.3.二项式定理形式上的特点(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.(2)二项式系数都是Cnk(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n.(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次. 分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复二、计数原理：分类加法计数原理与分步乘法考点一、分类加法计数原理1.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）A．5种 B．4种 C．9种 D．45种【答案】C【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择，故选：C.考点一、分类加法计数原理2.将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）A．16种 B．12种 C．9种 D．6种【答案】B【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；^当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；因此，不同的放球方法有12种，故选B.考点二、分步乘法计数原理3.某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演，原节目单上有10个节目已经排好顺序，又有3个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有（ ）种A．165 B．286 C．990 D．1716【答案】D【解析】第一步：10个节目空出11个位置，加入1个新来的节目，所以加入一个新节目有11种方法，第二步：从排好的11个节目空出的12个位置中，加入第2个新节目，有12种方法，第三步：从排好的12个节目空出的13个位置中，加入第3个新节目，有13种方法，所以由分步乘法计数原理得，加入3个新节目后的节目单的排法有（种）.故选：D考点二、分步乘法计数原理4.从集合中任取两个互不相等的数a，b组成复数，其中虚数有（ ）A．10个 B．12个 C．16个 D．20个【答案】C【解析】∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4}中选一个有4种，a从剩余的4个选一个有4种，∴根据分步计数原理知虚数有4×4＝16（个）．故选：C．考点三、两个计数原理综合运用5.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年级，有_______种不同的选法．【答案】【解析】选2个班参加社会实践，这2个班不同年级，2个班为高一和高二各一个班有，2个班为高二和高三各一个班有，2个班为高三和高一各一个班有，所以不同的选法共有.故答案为：.6.某学校需要把包含甲，乙，丙在内的6名教育专家安排到高一，高二，高三三个年级去听课，每个年级安排2名专家，已知甲必须安排到高一年级，乙和丙不能安排到同一年级，则安排方案的种数有（ ）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种【答案】B【解析】根据题意，分2种情况讨论：①甲和乙丙中1人在高一，此时高一的安排方法有种，高二的选法有种，则此时有种安排分法，②甲和其他三人中的1人在高一，则乙丙三人分别在高二、高三，有2种情况，将其他三人全排列，安排到三个年级，有种安排方法，则此时有种安排方法；故有种安排方法；安排方案的种数有12+24=36故选：B．6.2.1排列及排列数考点一、排列的概念7.下列问题是排列问题的是( )A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？【答案】B【解析】排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选B.考点一、排列的概念8.下列问题是排列问题的是( )A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？【答案】 B【解析】 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺序无关．故选B.考点二、排列数9.对于满足的正整数n，（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为，选取个数为，.故选：C．考点二、排列数10.若，则（ ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】,化解得解得：m=（舍）或m=5故选：A考点三、排队问题11.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600；（6）3720.【解析】（1）从7人中选5人排列，共有（种．（2）分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，按照分步乘法计数原理计算可得一共有（种.（3）捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，有种，再与3名男生进行全排列有种，共有（种．（4）插空法，先排女生，再在空位中插入男生，故有（种．（5）先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有(种).（6）7名学生全排列，有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有(种).考点三、排队问题12.参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（ ）A．360 B．720 C．2160 D．4320【答案】B【解析】分两步完成：第一步：从6人中选3人排前排：种不同排法；第二步：剩下的3人排后排：种不同排法，再按照分步乘法计数原理：种不同排法，故选：B.考点四、数字问题13.现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？【答案】（1）648；（2）156；（3）2296；【解析】（1）由题意，无重复的三位数共有个；（2）当百位为1时，共有个数；当百位为2时，共有个数；当百位为3时，共有个数，所以315是第个数；（3）无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，当个位上为0时，共有个数；当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有个数，所以无重复的四位偶数共有个数；考点四、数字问题14.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A．144个 B．120个 C．96个 D．72个【答案】B【解析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选B6.2.2组合及组合数考法一、组合的概念15.给出下列问题：①有10个车站，共需要准备多少种车票？②有10个车站，共有多少中不同的票价？③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？以上问题中，属于组合问题的是_________(填写问题序号).【答案】②④【解析】①有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；②有10个车站，共有多少中不同的票价？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；以上问题中，属于排列问题的是②④.考法一、组合的概念16.下列问题属于排列问题的是（ ）①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数A．①④ B．①② C．④ D．①③④【答案】A【解析】排列的概念：从个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列，由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序，由此可判断出：①④是排列问题，故选：A考法二、组合数17.若，则n等于（ ）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】根据题意，变形可得，；由组合性质可得，，即，则可得到.故选：B.考法二、组合数18.设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（ ）．A．11 B．10 C．9 D．8【答案】D【解析】设，则，又，，，由得：，，，，，的值为.故选：.考法三、组合应用19.男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．【答案】（1）120（2）246（3）196（4）191【解析】(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有Ceq \o\al(3,6)种选法；第二步，选2名女运动员，有Ceq \o\al(2,4)种选法．由分步计数原理可得，共有Ceq \o\al(3,6)·Ceq \o\al(2,4)＝120(种)选法．(2)方法一 “至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类计数原理可得总选法共有Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(4,6)＋Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(3,6)＋Ceq \o\al(3,4)Ceq \o\al(2,6)＋Ceq \o\al(4,4)Ceq \o\al(1,6)＝246(种)．方法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．从10人中任选5人有Ceq \o\al(5,10)种选法，其中全是男运动员的选法有Ceq \o\al(5,6)种．所以“至少有1名女运动员”的选法有Ceq \o\al(5,10)－Ceq \o\al(5,6)＝246(种)．(3)方法一 (直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为Ceq \o\al(4,8)；“只有女队长”的选法种数为Ceq \o\al(4,8)；“男、女队长都入选”的选法种数为Ceq \o\al(3,8)，所以共有2Ceq \o\al(4,8)＋Ceq \o\al(3,8)＝196(种)选法．方法二 (间接法)从10人中任选5人有Ceq \o\al(5,10)种选法，其中不选队长的方法有Ceq \o\al(5,8)种．所以“至少有1名队长”的选法有Ceq \o\al(5,10)－Ceq \o\al(5,8)＝196(种)．(4)当有女队长时，其他人任意选，共有Ceq \o\al(4,9)种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有Ceq \o\al(4,8)种选法，其中不含女运动员的选法有Ceq \o\al(4,5)种，所以不选女队长时的选法共有(Ceq \o\al(4,8)－Ceq \o\al(4,5))种．所以既要有队长又要有女运动员的选法共有Ceq \o\al(4,9)＋Ceq \o\al(4,8)－Ceq \o\al(4,5)＝191(种)．考法三、组合应用20.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．【答案】（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，所以甲、乙两组的比例是，又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．6.2.3排列组合的综合运用考法一、全排列21.2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（ ）A．64种 B．48种 C．24种 D．12种【答案】C【解析】4个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有种方法．故选：C．考法一、全排列22.3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（ ）A．3种 B．6种 C．12种 D．5种【答案】B【解析】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，全排列：.故选：B考法二、相邻问题23.某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（ ）A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【解析】先安排甲､乙相邻，有种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为.故选：C24.在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（ ）A．8种 B．12种 C．20种 D．24种【答案】C【解析】当甲排在第一位时，共有种发言顺序，当甲排在第二位时，共有种发言顺序，所以一共有种不同的发言顺序.故选：C.考法三、不相邻问题25.省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方式.A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为.故选：B.考法三、不相邻问题26.若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（ ）A．12种 B．14种 C．5种 D．4种【答案】A【解析】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有种排法；第二步，从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有种排法.故答案选A考法四、分组分配27.疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ）A．60种 B．90种 C．150种 D．240种【答案】C【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有;分为1，1，3时安排有所以一共有故选：C考法四、分组分配28.特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ）A．24 B．14 C．12 D．8【答案】C【解析】先把4名数学教师平分为2组，有种方法，再把2名体育教师分别放入这两组，有种方法，最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有种方法.故选：C.考向五、几何问题29.以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个A．70 B．64 C．60 D．58【答案】D【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有个.故选：D.考向五、几何问题30.以长方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A．1480 B．1468 C．1516 D．1492【答案】B【解析】因为平行六面体的8个顶点任意三个均不共线，故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有个三角形，从中任选两个，共有种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面，从8个顶点中4点共面共有12种情况，每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.考向六、方程不等式问题31.方程的正整数解的个数__________.【答案】【解析】问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内．共有种．故答案为：考向六、方程不等式问题32.三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有_____.【答案】【解析】由,则设，则且，则三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数等价于,的解的个数,等价于将16个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法，又将16个相同的小球分成3组，每组至少1个的不同分法，只需在16个球之间的15个空中选2个空用隔板隔开即可，则共有种分法，即三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有个，故答案为：.考向七、数字问题33.从，，，，，中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（ ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为，和的最大值为，所以当从，，，，，中任取三个数相加时，则不同结果有种．故选：C.考向七、数字问题34.在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为()A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【解析】根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5、6、7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有种，故选：．6.3二项式定理考法一、二项式定理展开式35.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( )A．(2x+2)5 B．2x5C．(2x-1)5 D．32x5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作，故为的展开式，化简.故选D.考法一、二项式定理展开式36.化简：_________.【答案】【解析】则所以故答案为：.考法二、二项式指定项的系数与二项式系数37.二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：令可得，此时.考法二、二项式指定项的系数与二项式系数38.若的展开式中的系数为7，则实数=______.【答案】【解析】根据二项展开式的通项公式可得：，令，可得，，解得：，故答案为：考法三、多项式系数或二项式系数39.展开式中常数项为（ ）.A．11 B． C．8 D．【答案】B【解析】将看成一个整体，展开得到：的展开式为：取当时，系数为：当时，系数为：常数项为故答案选B考法三、多项式系数或二项式系数40.的展开式中常数项为()A． B． C． D．【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令;令;故所求常数项为，故选C.考法四、二项式定理的性质41.在的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（ ）A．960 B．1120 C．-560 D．-960【答案】B【解析】在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则=的二项展开式的通项公式为Tr+1=•28﹣r•（﹣1）r•x4﹣r，令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为•24•（﹣1）4=1120，故选B．考法四、二项式定理的性质42.已知展开式中各项系数的和为m，且，求展开式中二项式系数最大的项的系数.【答案】59136【解析】设，令，得，所以，则展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为.故所求的系数为59136.考法五、二项式系数或系数和43.在的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______.【答案】【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为，令可得所有项的系数之和为，故答案为：，考法五、二项式系数或系数和44.已知，则_____.【答案】【解析】对等式两边求导，得，令，则.考法六、二项式定理运用45.已知能够被15整除，则________.【答案】14【解析】由题可知，所以，而75能被15整除，要使能够被15整除，只需能被15整除即可，所以，解得：.故答案为：14.考法六、二项式定理运用46.的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】故选B易混易错练易错点1 混淆分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.有红、黄、蓝旗各3面,每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列表示不同的信号,顺序不同也表示不同的信号,共可以组成多少种不同的信号?【答案】39【解析】每次升1面旗可组成3种不同的信号;每次升2面旗可组成3×3=9种不同的信号;每次升3面旗可组成3×3×3=27种不同的信号.根据分类加法计数原理,共可组成3+9+27=39种不同的信号.易错点2 混淆排列问题与分步问题2.有4个不同的小球,4个不同的盒子,现在要把球全部放入盒子中.(1)共有多少种放法?(2)若每个盒子至少放一个小球,共有多少种不同的放法?(3)恰有一个盒子不放球,共有多少种放法?【答案】（1）256（2）24（3）144【解析】(1)易知每个球都有4种放法,由分步乘法计数原理知,共有4×4×4×4=256种不同的放法.(2)每个盒子至少放一个小球,即每个盒子中都放入一个小球,将4个盒子看作4个不同的位置,4个小球进行全排列,可得A44=24种不同的放法.(3)恰有一个空盒,说明恰有一个盒子中有2个小球,从4个小球中选2个作为一个元素,同另外2个小球在4个位置进行排列,故共有C42A43=144种不同的放法.易错警示 要“从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素”,在排列问题中元素不能重复选取,而在用分步乘法计数原理解决问题时,元素可以重复选取.易错点3 忽略特殊元素与特殊位置3.(2020广东汕头一中高二下月考,)有5名同学站成一排拍毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两名同学不能相邻,则不同的站法有( )A.8种 B.16种 C.32种 D.48种【答案】B【解析】 首先将甲排在中间,因为乙、丙两名同学不能相邻,所以两人必须站在甲的两侧,选出一人排在左侧,有C21A21种方法,另外一人排在右侧,有A21种方法,余下两人排在余下的两个空中,有A22种方法,所以不同的站法有C21A21A21A22=16种.故选B.易错点拨 对于有特殊元素和特殊位置的问题,应先考虑特殊元素排在特殊位置,再排其他元素和其他位置.本题易出现这样的错误解法:先排甲、乙、丙之外的两人,有A22种排法;再将乙、丙两人插入3个空中的2个,有A32种插法;最后甲站他们中间,有1种站法.所以不同的站法有A22A32=12种.这样求解是错误的.因为乙、丙还可以与甲相邻,分别站在甲的两侧.4.用0,1,2,3,4这五个数字可以组成没有重复数字的:(1)三位偶数有多少个?(2)能被3整除的三位数有多少个?(3)比210大的三位数有多少个?【答案】（1）30（2）20（3）32【解析】 (1)当个位是0时,有A42=12个;当个位是2时,有3×3=9个;当个位是4时,有3×3=9个.故共有12+9+9=30个没有重复数字的三位偶数.(2)没有重复数字的能被3整除的三位数的数字组成共有0,1,2;0,2,4;1,2,3;2,3,4四种情况,故共有C21×A22+C21×A22+A33+A33=20个.(3)当百位是2时,共有A21×A31+2=8个;当百位是3时,共有A42=12个;当百位是4时,共有A42=12个,故共有8+12+12=32个大于210的没有重复数字的三位数.易错警示 在与数字有关的排列问题中,易忽略“0”对特殊位置的要求,造成错解.易错点4 混淆排列与组合的概念导致计数错误5.从5本不同的科普书和4本不同的数学书中选出4本,送给4位同学,每人1本.(以下问题用数字作答)(1)如果科普书和数学书各选2本,共有多少种不同的送法?(2)如果科普书甲和数学书乙必须送出,共有多少种不同的送法?(3)如果选出的4本书中至少有3本科普书,共有多少种不同的送法?【答案】（1）1 440（2）504（3）1 080【解析】 (1)从5本科普书中选2本有C52种选法,从4本数学书中选2本有C42种选法,再把4本书给4位同学有A44种送法,所以科普书和数学书各选2本,共有C52C42A44=1 440种不同的送法. (2)因为科普书甲和数学书乙必须送出,所以再从其余7本书中选2本有C72种选法,再把4本书给4位同学有A44种送法,所以共有C72A44=504种不同的送法. (3)选出的4本书均为科普书有C54种选法,选出的4本书中有3本科普书有C53C41种选法,再把4本书给4位同学有A44种送法,所以至少有3本科普书的送法有(C54+C53C41)×A44=1 080种.误区警示 解决计数问题时,首先要分清楚是排列问题还是组合问题,即看取出的元素是“排成一列”还是“并成一组”,不能将二者混淆,若将排列问题误认为是组合问题,则会漏解,反之会重复计数.易错点5 混淆展开式中项的系数与二项式系数6.在3x-123xn(n∈N*)的展开式中.(1)若所有二项式系数之和为64,求展开式中二项式系数最大的项;(2)若前三项系数的绝对值成等差数列,求展开式中各项的系数和.【答案】（1）-52（2）1256【解析】 (1)由已知得Cn0+Cn1+…+Cnn=64,即2n=64,解得n=6,所以展开式中二项式系数最大的项是第四项,即C63(x13)6-3-12x-133=20×-18×x0=-52.(2)3x-123xn的展开式的通项为Tr+1=Cnr(3x)n-r-123xr=-12rCnrxn-2r3(r=0,1,…,n).由已知,Cn0,12Cn1,14Cn2成等差数列,∴2×12Cn1=1+14Cn2,∴n=8(n=1舍去),∴3x-123xn=3x-123x8,令x=1,得展开式中各项的系数和为1−128=1256.7.已知(1+mx)n(m∈R,n∈N*)的展开式的各二项式系数之和为32,且展开式中含x3项的系数为80.(1)求m,n的值;(2)求(1+mx)n(1-x)6的展开式中含x2项的系数.【答案】（1）m=2，n=5（2）-5【解析】(1)由题意知2n=32,则n=5,(1+mx)5的展开式的通项为Tr+1=C5rmrxr(r=0,1,…,5),由题意知,当r=3时,C53m3=80,所以m=2.(2)由(1)知,m=2,n=5,所以(1+mx)n(1-x)6=(1+2x)5(1-x)6,(1+2x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r2rxr(r=0,1,…,5),(1-x)6的展开式的通项为Tk+1=C6k(-1)kxk(k=0,1,…,6),①令r=0,k=2,此时含x2项的系数为C62×(-1)2=15;②令r=1,k=1,此时含x2项的系数为C51×21×C61×(-1)1=-60;③令r=2,k=0,此时含x2项的系数为C52×22=40.所以(1+2x)5(1-x)6的展开式中含x2项的系数为15+(-60)+40=-5.误区警示 (a+b)n的展开式中,第r+1项的二项式系数是Cnr(r=0,1,2,…,n),仅与n,r有关;而第r+1项的系数为该项字母前的数连同符号,不一定是二项式系数Cnr.注意二项式系数Cnr一定为正,而对应项的系数可能为负,解题时不要将两者混淆.思想方法练一、分类讨论思想在排列组合中的应用1.某中学话剧社的6个演员站成一排照相,高一、高二和高三年级均有2个演员,则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为( )A.48 B.144 C.288 D.576【答案】C 【解析】分两类进行讨论.第一类,高一年级同学相邻且高二年级同学不相邻,把高一年级两个同学“捆绑”看作一个元素,与高三年级两个同学进行排列,有A22A33种不同排法,把高二年级两个同学插入4个空位中的2个(插空法),有A42种不同方法,故第一类有A22A33A42=144种站法;第二类,高二年级同学相邻且高一年级同学不相邻,与第一类方法相同,也有144种站法.由分类加法计数原理知,共有144+144=288种站法,故选C.2.如图,用四种不同的颜色对图中5个区域涂色(四种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方法有 种.(用数字作答) 【答案】 96【解析】由题意知本题是一个分步计数问题.第一步,涂区域1,有4种方法;第二步,涂区域2,有3种方法;第三步,涂区域4,有2种方法(此时,前三步已经用去三种颜色);第四步,涂区域3,分两类:第一类,区域3与区域1同色,则区域5涂第四种颜色;第二类,区域3与区域1不同色,则区域3涂第四种颜色,此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色,有3种方法.所以不同的涂色方法有4×3×2×(1×1+1×3)=96种.3.设x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列,且满足|x1-1|+|x2-2|+|x3-3|+|x4-4|=6,求这样的排列的个数.【答案】9【解析】由题知,|x1-1|,|x2-2|,|x3-3|,|x4-4|这四个自然数的和为6,分情况讨论:①当四个自然数为1,1,1,3时, x1,x2,x3,x4 的值对应有2,3,4,1和4,1,2,3两种情况;②当四个自然数为1,1,2,2时, x1,x2,x3,x4 的值对应有2,4,1,3和3,1,4,2两种情况;③当四个自然数为1,2,3,0时, x1,x2,x3,x4 的值对应有2,4,3,1和4,1,3,2和3,2,4,1和4,2,1,3四种情况;④当四个自然数为0,0,3,3时, x1,x2,x3,x4 的值对应有4,2,3,1;⑤当四个自然数为0,2,2,2时,没有符合的.故这样的排列共有2+2+4+1=9个.二、整体思想在排列组合中的应用4.6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有( )A.24种 B.36种 C.48种 D.60种【答案】A 【解析】甲、乙两本书必须摆放在两端,有A22种排法;丙、丁两本书必须相邻,将其视为整体与另外两本书全排列,有A22A33种排法,由分步乘法计数原理可得,不同的摆放方法有A22A22A33=24种.5.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人坐下,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是( )A.234 B.346 C.350 D.363【答案】B【解析】易知一共可坐的位子有20个,2个人坐的方法数为A202,还需排除两人左右相邻的情况.把可坐的20个座位排成连续一行,将其中两个相邻座位看成一个整体,则相邻的坐法有A191A22,还应再加上2A22,所以不同坐法的种数为A202-A191A22+2A22=346.故选B.6.某款APP软件设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块.某人在学习过程中,“阅读文章”不放首位,四个答题模块中有且仅有三个答题模块相邻的学习方法有( )A.60种 B.192种 C.240种 D.432种【答案】C 【解析】先排“阅读文章”和“视听学习”两个学习模块,分“阅读文章”模块在前与在后两种情况,再在四个答题模块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题模块插空,由于“阅读文章”不放首位,因此不同的方法数为A43C21A22+A43A32=240.7.某电视台连续播放7个不同的广告,其中4个不同的商业广告和3个不同的公益广告,要求所有的公益广告必须连续播放,则不同的播放方式的种数为 . 【答案】720【解析】第一步,将所有的公益广告“捆绑”在一起当成一个元素和其他4个不同的商业广告进行排列,不同的安排方式有A55=120种,第二步,对3个不同的公益广告进行排列,不同的安排方式有A33=6种,故不同的播放方式有A55A33=120×6=720种.三、函数与方程思想在排列组合、二项式定理中的应用8.某学习小组有男、女生共8人,现从男生中选2人,女生中选1人分别去做3种不同的工作,共有90种不同的选法,则男、女生人数分别为( )A.2,6 B.3,5 C.5,3 D.6,2【答案】B【解析】设男生人数为n,则女生人数为8-n,其中(1
相关资料
更多
