人教A版数学高二选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 知识清单

这是一份人教A版数学高二选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 知识清单，共46页。

选择性必修三 第七章 随机变量及其分布知识点清单一、本章思维导图§7.1 条件概率与全概率公式1.条件概率：设,为两个随机事件，且 ，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率.2.乘法公式：对任意两个事件与，若，则.3.全概率公式：设 是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件,有.4.对全概率公式的理解某一事件A的发生可能有各种的原因，如果A是由原因Bi (i＝1,2，…，n) 所引起，则A发生的概率是P(ABi)＝P(Bi)P(A |Bi)，每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关．5.*贝叶斯公式：6.方法技巧 条件概率的求解策略1．定义法：计算利用求解； (2)直接法：利用求解。其中(2)常用于古典概型的概率计算问题.§7.2 离散型随机变量及其分布列随机变量：对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.随机变量常用大写英文字母表示，例.一般地，一个试验如果满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果; 这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验.2.随机变量与函数的关系:(1)相同点：样本点ω相当于函数定义中的自变量,而样本空间Ω相当于函数的定义域;(2)不相同点：样本空间Ω不一定是数集.3.连续性随机变量:连续型随机变量是指可以取某一区间的一切值的随机变量,又称作连续型随机变量.如：种子含水量的测量误差X；某品牌电视剧的使用寿命Y4.随机变量的分类①离散型随机变量:X的取值可一、一列出；②连续型随机变量:X可以取某个区间内的一切值5.古典概型:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等。6.概率分布列：（1）定义：设离散型随机变量可能取的不同值为，我们称取每一个值的概率：，为的概率分布列，简称分布列.常用表格表示：（2）性质：① ② 7.两点分布：若的分布列如表所示我们称服从两点分布或分布.§7.3 离散型随机变量的数字特征1.离散型随机变量的均值（1）定义：若离散型随机变量的分布列如表所示则称则称为离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.（2）性质：.2.离散型随机变量的方差（1）定义：若离散型随机变量的分布列为则称为离散型随机变量的方差，也记为，并称为随机变量的标准差.记为.它反映了离散型随机变量取值的离散程度.越小，取值越集中; 越大，取值越分散.性质：3.若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b,即随机变量X的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X)的同一线性函数.特别地:(1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身.(2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和.(3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.4.求离散型随机变量X的均值的步骤：(1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值；(2)求出X取每个值时的概率；(3)写出X的分布列(有时也可省略)；(4)利用定义公式EX=i=1nxipi求出均值5.离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：则称为随机变量X的方差，有时也记为Var(X).称σ(X)=DX为随机变量X的标准差。6.离散型随机变量ξ的期望与方差的性质 7.利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.2.在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.3.下结论.依据均值和方差做出结论.§7.4 二项分布与超几何分布1.伯努利试验在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：(1）同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同）(2) 各次试验的结果相互独立.2.二项分布我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验，重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作X~B(n,p). 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(00,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normal dis-tribution),记为X~N(u,σ2).特别地,当u=0, σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布. 若连续性随机变量的概率分布密度函数为，当 时，称随机变量服从标准正态分布.2.正态曲线的特点：曲线是单峰的，它关于直线 对称；曲线在处达到峰值；当无限增大时，曲线无限接近轴；当较小时，峰值高，正态曲线瘦高，表示随机变量的分布比较集中；当较大时，峰值低，正态曲线矮胖；表示随机变量的分布比较分散.曲线在x轴的上方，与x轴不相交.X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 .3.正态分布的期望、方差参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度。若，则.（1） 当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.4.4.正态分布的3σ原则若，由此看到一次试验中，的取值几乎总是落在区间内，在此区间外的概率大约只有0.0027，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 特别地，尽管正态变量的取值范围是(−∞,+∞),但在一次试验中,X的取值几乎总落在区间[−3σ,+3σ]内,而在此区间外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态分布(μ,σ2)的随机变量X只取[−3σ,+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.①P(μ－ σ ≤ X≤ μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ ≤ X≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ ≤ X≤μ＋3σ)≈0.997 3.5.服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)注意概率值的求解转化:①P(XD(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．考法三 均值方差做决策16.甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：乙公司送餐员送餐单数频数表：若将频率视为概率，回答下列两个问题：（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.【解析】（1）设乙公司送餐员送餐单数为，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；当时，，，故的所有可能取值为、、、、，故的分布列为：故.（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：，则甲公司送餐员日平均工资为元，因为乙公司送餐员日平均工资为元，，所以推荐小王去乙公司应聘.二项分布与超几何分布考法一、二项分布17.若随机变量，则（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因为，所以，所以.故选：D.考法一、二项分布18.已知随机变量，若使的值最大，则k等于（ ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】BC【解析】令，得，即当时，；当时，；当时，，所以和的值最大.故选：BC.考点二、超几何分布19.现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．（1）求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；（2）若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；（3）若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．【答案】（1）a＝0.0250，4人；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250.其中为一级运动员的概率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25，∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人．（2）由已知可得X的可能取值分别为0，1，2，3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， ∴X的分布列为 （3）由已知得Y～B， ∴E(Y)＝np＝3×＝，∴含有一级运动员人数Y的期望为.考点二、超几何分布20.某校五四青年艺术节选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手4名，其中男生2名;高二年级参赛选手4名，其中男生3名.从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率;（Ⅱ）设X为选出的4人中男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，数学期望【解析】（Ⅰ）由已知有，所以事件A发生的概率为.（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，所以随机变量X的分布列为所以随机变量X的数学期望.考点三、二项分布与超几何分布综合运用21.2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）；（2）选择第二种方案更合算.【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为；（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.，，，.故的分布列为，所以（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以（元）.因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.考点三、二项分布与超几何分布综合运用22.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大．【解析】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：，∴，，，∴X的分布列为：∴． ，∴，，，，∴Y的分布列为：∴． （2），，∵，∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．正态分布考点一、正态分布的特征23.某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩占近似服从正态分布，且．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（ ）A．100 B．125 C．150 D．175【答案】D【解析】由题意，成绩近似服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，又由，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为人，故选：D.考点一、正态分布的特征24.已知随机变量ξ服从正态分布，则（ ）A．0.26 B．0.24 C．0.48 D．0.52【答案】B【解析】因为随机变量服从正态分布，且，则，即正态分布曲线的对称轴为，正态分布的密度曲线的示意图如下，所以，并且，则.故选：B.考点二、正态分布的实际应用25.2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量.（1）求的概率；（2）求的数学期望；（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？附：若随机变量，则，，，.【答案】（1）；（2）；（3）这种监控生产过程的方法合理.【解析】（1）抽取口罩中过滤率在内的概率，所以，所以，故（2）由题意可知，所以.（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于的概率，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于的概率，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理.考点二、正态分布的实际应用26.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表：根据以往经验，两个养猪场内猪的体重均近似服从正态分布．由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为．（1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售--头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元记为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，求随机变量的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值．（参考数据：若，则）【答案】（1）幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头；（2）135450元.【解析】（1）设各阶段猪的数量分别为，∵猪的体重近似服从正态分布，，（头）； （头）； ，（头）∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头． （2）随机变量的所有可能取值为900，300，．， 的分布列为（元）， 由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元，则总利润的期望为（元）．考点三、正态分布与其他知识的综合运用27.某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在内)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数).（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数服从正态分布，其中，为（1）中求得的平均数标准差的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数的人数(结果四舍五入保留整数).（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.附：若随机变量服从正态分布，则，，.【答案】（1）；（2）；（3）分布列答案见解析，数学期望：.【解析】（1）依题意得 .（2）因为，所以，所以走路步数的总人数为.（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1.由题意知X的可能取值为0，100，200，300，400.；；；；.所以X的分布列为.考点三、正态分布与其他知识的综合运用28.国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区．（1）估计该市类社区这一天垃圾量的平均值；（2）若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为50个样本社区的平均值（精确到0.1吨），估计该市类社区中“超标”社区的个数；（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为，求的分布列和数学期望．附：若服从正态分布，则；；．【答案】（1）22.76吨；（2）51个；（3）分布列见解析，.【解析】（1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则.估计该市类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨.（2）据题意，，，即，则.因为，估计该市类社区中“超标”社区约51个. （3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在内的“超标”社区也有4个，则的可能取值为1，2，3，4.，，，.则的分布列为：所以.易混易错练易错点1　不能正确列出随机变量的可能取值致误甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分),若每个抢答题都有队伍抢答,X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的可能取值是　　　　　　. 1.答案　-1,0,1,2,3解析　X=-1表示:甲队抢到1题且答错,乙队抢到两题均答错.X=0表示:甲队没有抢到题,乙队抢到3题且至少答错其中的2题;甲队抢到2题且答对1题答错1题,乙队抢到1题且答错.X=1表示:甲队抢到1题且答对,乙队抢到2题且至少答错其中的1题;甲队抢到3题且答对其中的2题,乙队没有抢到题.X=2表示:甲队抢到2题均答对.X=3表示:甲队抢到3题均答对.2.在学校组织的足球比赛中,某班要与其他4个班级各赛一场,在这四场比赛的任意一场中,此班级胜、负、平的概率都相等.已知这四场比赛结束后,该班胜场多于负场.(1)求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数;(2)若胜场次数为X,求X的分布列.2.解析　(1)若胜一场,则其余为平,共有C41=4种情况;若胜两场,则其余两场为一负一平或两平,共有C42C21+C42=18种情况;若胜三场,则其余一场为负或平,共有C43×2=8种情况;若胜四场,则只有1种情况.综上,共有4+18+8+1=31种情况.(2)X的可能取值为1,2,3,4,P(X=1)=431,P(X=2)=1831,P(X=3)=831,P(X=4)=131,所以X的分布列为易错点2　对条件概率问题理解不清,不能正确应用公式致误3.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子,在已知两次的点数均为偶数的条件下,两次的点数之和不大于8的概率为(　　)A.13 B.49 C.59 D.233.D　记事件A为“两次的点数均为偶数”,B为“两次的点数之和不大于8”,则n(A)=3×3=9,n(AB)=6,所以P(B|A)=n(AB)n(A)=69=23.故选D.4.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,比赛为三局两胜制,甲在每局比赛中获胜的概率均为34,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为　　(　　)A.13 B.25 C.23 D.454.A　记事件A:甲获得冠军,事件B:比赛进行了三局,事件AB:甲获得冠军,且比赛进行了三局,即第三局甲胜,前二局甲胜了一局,则P(AB)=C21×34×14×34=932,对于事件A,甲获得冠军包含两种情况:前两局甲胜和事件AB,∴P(A)=342+932=2732,∴P(B|A)=P(AB)P(A)=9322732=13,故选A.易错点3　不能正确区分超几何分布和二项分布5.每年的12月4日为我国的“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480、360、360.为检查该学校组织学生学习的效果,现采用分层随机抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求:每名被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行回答,所抽取的4个问题全部答对的学生将给予表彰.(1)求各个年级应选取的学生人数;(2)若从被选取的10名学生中任选3名学生,求这3名学生分别来自三个年级的概率;(3)若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题,记X表示该名学生答对问题的道数,求随机变量X的分布列及数学期望.5.解析　(1)由题意,知高一、高二、高三年级的人数之比为4∶3∶3,由于采用分层随机抽样的方法从中选取10名学生,因此,高一年级应选取4名学生,高二年级应选取3名学生,高三年级应选取3名学生.(2)由(1)知,被选取的10名学生中,高一、高二、高三年级分别有4名、3名、3名学生,所以从这10名学生中任选3名,这3名学生分别来自三个年级的概率为C41C31C31C103=310.(3)由题意知,随机变量X的可能取值为1,2,3,4,且X服从超几何分布,P(X=k)=C7kC34−kC104(k=1,2,3,4).所以随机变量X的分布列为所以E(X)=1×130+2×310+3×12+4×16=145.易错点4　对正态曲线的性质理解不准确致错6.已知随机变量X服从正态分布N(3,4),则E(2X+1)与D(2X+1)的值分别为(　　)A.13,4 B.13,8 C.7,8 D.7,166.D　由已知得E(X)=3,D(X)=4,故E(2X+1)=2E(X)+1=7,D(2X+1)=4D(X)=16.7.某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩X近似服从正态分布N(84,σ2),且P(780;当x∈13,1时,g'(x)<0,所以函数g(x)在0,13上单调递增,在13,1上单调递减,所以g(x)≤g13=90+180×13×1−132=3503,即E(X)≤3503,所以此方案的最高费用为1+600×3503×10-4=8(万元).综上可知,以此方案实施不会超过预算.二、分类讨论思想在离散型随机变量中的应用3.某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间相互独立,且都是整分钟数,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:用频率估计概率,且从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)用X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.3.解析　设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列为(1)记“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”为事件A,则事件A对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)·P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22.(2)X的可能取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01.所以X的分布列为所以E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.三、数形结合思想在正态分布中的应用4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)A.906 B.340 C.2 718 D.3 4134.B　由题意知阴影部分的面积S=P(0≤x≤2)=12[P(-6≤x≤2)-P(-4≤x≤0)]≈12(0.954 5-0.682 7)=0.135 9,则在正方形中随机投掷一点,该点落在阴影部分的概率P=0.135 94,∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.135 94=339.75≈340.故选B.5.某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布,其密度曲线如图所示,则成绩X位于区间[52,68]的人数大约是(　　)(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)A.997 B.954 C.683 D.3415.C　由题图知X~N(60,82),所以P(μ-σ≤X≤μ+σ)=P(52≤X≤68)≈0.682 7,所以成绩X位于区间[52,68]的人数大约为1 000×0.682 7=682.7≈683.故选C.X－1012P0.2ab0.3X01234P0.10.20.40.2aX01PabX－101Paξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3送餐单数3839404142天数101510105送餐单数3839404142天数51010205228234240247254X0123PXPX123PY0123P阶段幼年期成长期成年期体重900300X0100200300400P0.00040.03520.77840.1760.01垃圾量频数569128641234X1234P4311831831131X1234P1303101216办理业务所需的时间(分钟)12345频率0.10.40.30.10.1Y12345P0.10.40.30.10.1X012P0.50.490.01