数学8.2 一元线性回归模型及其应用精品课堂检测

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【夯实基础】
题型1求经验回归方程
1.已知变量x和变量y的一组随机观测数据．如果关于的经验回归方程是，那么当时，残差等于（ ）
A．B．0C．10D．110
2.两个相关变量满足如下关系：
根据表格已得经验回归方程为，表中有一数据模糊不清，推算该数据是（ ）
A．37B．38.5C．39D．40.5
3.试验测得四组成对数据的值分别为，由此可得关于x的经验回归方程为，根据经验回归方程预测，当时，（ ）
A．8.4B．8.6C．8.7D．9
4.根据一组样本数据，，…，，求得经验回归方程为，且.现发现这组样本数据中有两个样本点（1.2，2.2）和（4.8，7.8）误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，则（ ）
A．变量x与y具有正相关关系
B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的经验回归方程为
C．去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快
D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点（2，3.75）的残差为0.05
5.已知某产品的单价以及销量情况统计如下表所示，由表中数据求得经验回归方程，则下列说法正确的是（ ）
A．销量的平均数为80件
B．根据经验回归方程可以测得，单价每上升1元，销量就减少4件
C．
D．根据经验回归方程可以预测，单价为10元时，销量为66件
题型2 线性回归分析
1.下列说法错误的是
A．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强
B．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在问归分析中，为0.98的模型比为0.80的模型拟合的效果好
2.下列命题中，假命题的是（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70％分位数是7.5
B．若回归方程，则变量与正相关
C．线性回归分析中相关指数刻画回归的效果，若值越大，则模型的拟合效果越好
D．若数据，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为4
3.设两个相关变量和分别满足，，，2，…，6，若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（ ）
A．32B．63C．64D．128
4.已知与之间的线性回归方程为，其样本点的中心为，样本数据中的输出取值依次为，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
5.下表为某班5位同学身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）的数据：
若两个量之间的回归直线方程为，则m的值为（ ）
A．B．140C．144.7D．
题型3非线性回归
1.已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数的图象附近，设，将其变换后得到线性方程，则（ ）
A．B．C．D．
2.用指数模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝㏑y，变换后得到线性回归直线方程，则常数的值为（ ）
A．B．C．0.3D．4
3.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ）
A．B．C．D．
4.某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表：
若依据表中数据画出散点图，则样本点都在曲线附近波动.但由于某种原因表中一个值被污损，将方程作为回归方程，则根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为（ ）
A．B．1.69C．1.96D．4.32
5.下列选项中关于以下4幅散点图的说法正确的有（ ）
A．图①中的和相关程度很强B．图②中的和成正相关关系
C．图③中的和成负相关关系D．图④中的和成非线性相关关系
题型4 求回归直线方程
1.为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
但是统计员不小心丢失了一个数据(用代替，在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
2.某农场给某种农作物的施肥量x(单位：吨)与其产量y(单位：吨)的统计数据如表：
由于表中的数据，得到回归直线方程为，当施肥量时，该农作物的预报产量是( )
A．72.0B．67.7C．65.5D．63.6
3.下列是与之间的一组数据：则关于的线性回归方程对应的直线必过点( )
A．B．C．D．
4.某产品的零售价（元）与每天的销售量（个）统计如下表：
据上表可得回归直线方程为，则（ ）
A．75.8B．76.4C．77D．75.2
5.某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下表：
已知关于的线性回归方程为，则当广告支出费用为万元时，残差为（ ）万元
A．B．C．D．
【能力提升】
单选题
1.某商铺统计了今年5个月的用电量y(单位：10kw/h)与月份x的对应数据，列表如下：
根据表中数据求出关于的线性回归方程为，则上表中的值为（ ）
A．50B．54C．56.5D．64
2.在利用最小二乘法求回归方程时，用到了下面表中的组数据，则表格中的值为（ ）
A．B．C．D．
3.调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（ ）
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
4.根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程＝7.19x＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是（ ）
A．身高一定为145.83 cmB．身高大于145.83 cm
C．身高小于145.83 cmD．身高在145.83 cm左右
5.下列四个图中，两个变量x，y具有线性相关关系的是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．②④
6.有以下四个命题，其中正确的是
A．由独立性检验可知，有的把握认为物理成绩与数学成绩有关，若某人数学成绩优秀，则他有的可能物理成绩优秀
B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
C．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位
D．线性回归方程对应的直线至少经过样本数据点中的一个点
7.已知一组数据确定的回归直线方程为且，通过残差分析，发现两个数据，误差较大，去除这两个数据后，重新求得回归直线的斜率为，则当时，（ ）
A．6B．7C．8D．13
8.对某高三学生在连续九次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下散点图.下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（ ）
①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步升高；
②该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分；
③该同学的数学成绩与考试次数可用直线拟合．
A．0个B．1个C．2个D．3个
多选题
9.给出以下四个说法，正确的有（ ）
A．如果由一组样本数据得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点中的一个
B．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
C．在回归分析中，用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
D．设两个变量之间的线性相关系数为，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上
10.下列说法中正确的是（ ）
A．用最小二乘法得到的经验回归直线必过样本点的中心
B．回归分析中，越大，残差的平方和越小，模型拟合效果越好
C．若样本点都在直线上，则样本相关系数
D．若一个袋内装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中任取3个球，记为取出的3个球中白球的个数，则
11.下列结论正确的是（ ）
A．若变量y关于变量x的回归直线方程为，且，，则
B．若随机变量的方差，则
C．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则B组数据比A组数据的相关性较强
D．残差平方和越小，模型的拟合效果越好
12.已知关于变量x，y的4组数据如表所示：
根据表中数据计算得到x，y之间的线性回归方程为，x，y之间的相关系数为r（参考公式：），则（ ）
A．B．变量x，y正相关C．D．
填空题
13.新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分，从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．由下表可知其线性回归方程为，
则表中a的值为 ．
14.某产品的年广告费用与年销售额的统计数据如下表
经测算，年广告费用与年销售额满足线性回归方程，则的值为 ．
15.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归方程为＝0.85x－0.25.由以上信息，得到下表中c的值为 .
16.对两个变量x，y进行回归分析．
①残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；
②相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量的线性相关性越强；
③在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量平均增加个单位；
④某人研究儿子身高与父亲身高的关系，得到经验回归方程，当时，，即：如果一个父亲的身高为，则儿子的升高一定为．
则以上结论中正确的序号为 ．
解答题
17.某公司近5年产品研发年投资额（单位：百万元）与年销售量（单位：千件）的数据统计表如下：
(1)根据上表数据画出年投资额与年销售量的散点图；
(2)该公司计划用非线性经验回归方程作为年销售量关于年投资额的回归分析模型，并对年销售量取对数，得到如下数据表：
请根据表格数据、参考数据和公式，求出该非线性经验回归方程．
参考数据与公式：；对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
18.学习了《高中数学必修》的内容后，高二年级某学生认为：考试成绩与考试次数存在相关关系.于是他收集了自己进入高二以后的前5次考试成绩，列表如下：
经过进一步研究，他发现：考试成绩与考试的次数具有线性相关关系.
(1)求关于的线性回归方程；
(2)判断变量与之间是正相关还是负相关（只写出结论即可）；
(3)按计划，高二年级两学期共有次考试，请你预测该同学高二最后一次考试的成绩（四舍五入，结果保留整数）.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
19.某车间为了规定工时定额，需要确定加共某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下：
(1)求出y关于x的线性回归方程；
(2)试预测加工10个零件需要多少时间？
参考公式：
20.珠海市某学校的研究性学习小组，对昼夜温差(最高温度与最低温度的差)大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行了研究,该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1),以及浸泡的颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2)
已知绿豆种子出芽数(颗) 和温差具有线性相关关系.
(1)求绿豆种子出芽数 (颗)关于温差的回归方程;
(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为,估计4月7日浸泡的颗绿豆种子一天内的出芽数.
附：，.
21.某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据，且与线性相关．
根据表中提供的数据得到线性回归方程中的b=6.5．
(1)求的值．
(2)预测销售额为115万元时，大约需要多少万元的广告费？
22.有5名学生的数学和化学成绩如表所示：
(1)如果Y与x具有线性相关关系，求经验回归方程；
(2)如果某学生数学成绩为79分，请预测他的化学成绩．（结果取整数）
2
3
4
5
6
25
●
50
56
64
单价（元）
4
5
6
7
8
9
销是（件）
90
84
83
80
75
68
身高x
169
172
166
177
161
体重y
75
80
70
85
65
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
0.04
1
4.84
10.24
1.1
2.1
2.3
3.3
4.2
收入(万元)
12
支出(万元)
施肥量x(吨)
2
3
4
5
产量y(吨)
26
39
49
54
0
1
2
3
1
3
5
7
6
7
8
9
40
31
24
21
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
x
2
4
5
6
8
y
30
40
57
a
69
x
6
8
10
12
y
a
10
6
4
月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y
0.5
a
1
1.2
1.5
年广告费用（万元）
4
2
3
5
年销售额（万元）
49
39
54
天数t(天)
3
4
5
6
7
繁殖个数y(千个)
2.5
3
4
4.5
c
年投资额
1
2
3
4
5
年销售量
0.5
1
1.5
3
5.5
年销售量
0.5
1
1.5
3
5.5
0
0.4
1.1
1.7
第次考试
考试成绩
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
A
B
C
D
E
数学成绩（x）
87
76
73
66
63
化学成绩（Y）
78
66
71
64
61