安徽省六安第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末数学试卷（Word版附解析）

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满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 若复数为纯虚数，则复数共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
3. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A. ，，B. ，，
C ，，D. ，，
4. 某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同.甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则平均数（ ）
A. 1B. C. 2D.
6. 已知，则到直线的距离为（ ）
A. B. C. 1D.
7. 是从点P出发三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
8. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》（以下简称《宣言》）.承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如图所示．经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的2.5倍，则预计该地区（ ）
A. 2030年煤的消费量相对2020年减少了
B. 2030年石油的消费量相对2020年不变
C. 2030年天然气的消费量是2020年的5倍
D. 2030年水、核、风能的消费量是2020年的7.5倍
10. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A. 某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B. 三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C. 设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是
D. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
11. 如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 不存点P，使平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为
D. 若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________.
13. 在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为______．
14. 半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，称这样的半正多面体为二十四等边体．现有一个体积为的二十四等边体，其外接球体积为，则_________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对的边分别是，满足.
（1）求角；
（2）若，边上的中线，求的周长.
16. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为BC的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面AEF夹角的余弦值．
17. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流.
（1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图②所示.
（i）估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；
（ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.
18. 小明同学与甲、乙二位同学进行一场乒乓球比赛，每局两人比赛，没有平局，一局决出胜负.已知每局比赛小明胜甲的概率为，小明胜乙的概率为，甲胜乙的概率为，比赛胜负间互不影响.规定先由其中2人进行第一局比赛，后每局胜者再与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为这次比赛的获胜者，比赛结束.因为小明是三人中水平最弱的，所以让小明决定第一局的两个比赛者（小明可以选定自己比赛，也可以选定甲､乙比赛）.
（1）若小明选定第一局由甲、乙比赛，求“只进行三局，小明就成为获胜者”的概率；
（2）请帮助小明进行第一局的决策，使得小明最终成为获胜者的概率最大，说明理由.
19. 如图，四面体中，．

（1）求证：平面平面；
（2）若，
①若直线与平面所成角为30°，求的值；
②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．