浙东北联盟（ZDB）四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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命题学校：浙江工业大学附属德清高级中学 命题老师：洪裕祥 审卷老师：章幸伟
总分150分 考试时间120分钟
选择题部分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（ ）
A B. C. D.
2. 设l，m，n是不同的直线，m，n在平面内，则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知一个正方体外接球的体积为，则这个正方体的体积为（ ）
A 3B. C. D. 8
4. 已知，且，则向量在向量上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在正方体中，点E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（ ）
A. B. C. D.
6. 若两个非零向量与满足，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知某圆台的上、下底面半径分别为、，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和都是正三角形，，，且B，A，D三点共线，设点P是内的任意一点，则的最小值为（ ）
A. 5B. C. D.
二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，若有且仅有一个解，则的可能取值有（ ）
A. 0B. C. D.
11. 如图，正方体的棱长为2，是线段的中点，是线段的中点，是线段上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的最小值为B. 可能是直角
C. 三棱锥的体积为定值D. 的周长的最小值为
非选择题部分
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 水平放置的斜二测直观图为，已知，，则的面积为______.
13. 已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为______.
14. 已知向量，，满足，，，，则取值范围为______.
四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，，.
（1）求满足的实数x，y的值；
（2）若，求实数x的值.
16. 如图，在直三棱柱中，，、分别是BC、的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
17. 某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示：米，米，.
（1）求的值；
（2）若点分别为边上的点，且米，米，又点在以C为圆心，为半径的圆弧上（内部），准备将四边形区域种植郁金香.设，求四边形的面积关于的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件）
18. 如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.

（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若向量，求实数x，y的值；
（3）若向量与的夹角为，求的最小值.
19. 如图在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点E为AD中点，
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）点F为对角线AC上的点，且，垂足为G，求FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值.