苏科版八年级数学上册必考重难点突破【单元测试】第1章全等三角形(综合能力拔高卷)(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册必考重难点突破【单元测试】第1章全等三角形(综合能力拔高卷)(原卷版+解析)，共32页。

（综合能力拔高卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．能够完全重合的两个图形是全等图形B．形状相同的两个图形是全等图形
C．大小不同的两个图形不是全等图形D．形状、大小都相同的两个图形是全等图形
3．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC=EFB．∠BCA=∠FC．AB∥DED．AD=CF
4．如图，AD是的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且，连接BF，CE，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，△ABC中， AB =AC=24 cm， BC=16cm，AD= BD．如果点P在线段BC上以 2 cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上以v cm/s 的速度由C点向A点运动，那么当△BPD 与△CQP全等时，v =（ ）
A．3B．4C．2或 4D．2或3
7．如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为（ ）
A．1或3B．1或
C．1或或D．1或或5
二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）
9．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，，，则______．
10．如图，，，则______．
11．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P＋∠Q＝__________度．
12．如图，已知AB//DE，，请你添加一个条件________，使．
13．如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF的位置，则四边形DECF的周长为 _____cm．
14．如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t=__________ s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
15．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是 ___．
16．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过_____时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．
三、解答题（本大题共有10小题，共72分；第17-21每小题6分，第22-25每小题8分，第26小题10分）
17．如图，点A，O，B在同一直线上，且．证明：
(1)点C，O，D在同一直线上；
(2)．
18．如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．求证：
19．如图，在中，延长BC至D，，．
(1)过点C作直线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求的度数．
20．如图，有一座小山，现要在小山，的两端开一条隧道，施工队要知道，两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接．经测量，，的长度分别为，，，则，之间的距离．
21．已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．
(1)如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝ ；
(2)如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝ ；
(3)如图3，若∠DAB＝，试探究∠AFG与的数量关系，并给予证明．
22．如图，沿BC方向平移到的位置．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求平移的距离．
23．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题；
(1)【直接应用】若，，求xy的值；
(2)【类比应用】填空：①若，则______；
②若，则______；
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若，，求一块直角三角板的面积．
24．把的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等图形．
25．已知：等腰和等腰中，，，．
(1)如图1，延长交于点，若，则的度数为 ；
(2)如图2，连接、，延长交于点，若，点为中点，求证：；
(3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，则的面积为 ．
26．在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．
①请说明的理由；
②请说明的理由；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，、、具有怎样的等量关系?请写出等量关系，并予以证明．
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，、、具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【单元测试】第1章 全等三角形
（综合能力拔高卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据全等图形的概念“能够完全重合的两个图形叫做全等图形”可知，C中的两个图形是全等图形．
答案：C
易错：A
错因：只看到两个图形形状相同，图案相同，没注意大小不同．
【点睛】如果两个图形是全等图形，那么它们必然形状相同、大小相同，只是位置不同．
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．能够完全重合的两个图形是全等图形B．形状相同的两个图形是全等图形
C．大小不同的两个图形不是全等图形D．形状、大小都相同的两个图形是全等图形
【答案】B
【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形，判断即可．
【详解】解：A、能够完全重合的两个图形是全等形，正确，不合题意；
B、形状相同的两个图形是相似形，故此选项错误，符合题意；
C、大小不同的两个图形不是全等形，正确，不合题意；
D、形状、大小都相同的两个图形是全等形，正确，不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等图形的定义，正确利用全等图形的性质与定义分析是解题关键．
3．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC=EFB．∠BCA=∠FC．AB∥DED．AD=CF
【答案】D
【分析】根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜边这一条件，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
4．如图，AD是的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且，连接BF，CE，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】根据三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得．
【详解】解：是的中线，
，
和面积相等，故①正确；
为的中线，
，和不一定相等，故②错误；
在和中，
，
，故③正确；
，
，故④正确；
条件不足以证明CE=AE
故⑤不一定正确，
综上所述，正确的结论为：①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
5．如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析题目信息，要得到与另外三张不同的卡片，即依据全等图形的概念及旋转变换进行判断．
【详解】解：可知将选项A中的图形顺时针旋转180°，即可与选项B中的图形重合，
将选项B中的图形顺时针旋转90°，即可得到选项D中的图形，
故A、B、D中的三个图形全等，
分析C中图片人物，结合四个图片可以看出C选项中图形与其他三个不同．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形全等及变换，常见的图形变换包括平移、旋转、对称等几种情况，掌握图形全等的概念是解本题的关键．
6．如图，△ABC中， AB =AC=24 cm， BC=16cm，AD= BD．如果点P在线段BC上以 2 cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上以v cm/s 的速度由C点向A点运动，那么当△BPD 与△CQP全等时，v =（ ）
A．3B．4C．2或 4D．2或3
【答案】D
【分析】分两种情况讨论：
①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=12cm，BP=CP=BC=×16=8cm，根据速度、路程、时间的关系即可求得；
②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12cm，BP=CQ，得出，解出即可．
【详解】解：∵△ABC中，AB=AC=24cm，AD=BD，
∴BD=12cm，∠B=∠C，
情况一：
若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=12cm，BP=CP=BC=×16=8cm，
∵点P的运动速度为2cm/s，
∴点P的运动时间为：8÷2=4（s），
∴v=CQ÷4= 12÷4=3cm/s；
情况二：
②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12厘米，BP=CQ，
得出，
解得：解出即可．
因此v的值为：2或3，
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质．分类讨论是解题的关键．
7．如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD=∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D=∠A=30°，根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD=∠BCD=∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D=∠A=30°，
∵∠CGF=∠D+∠BCD，
∴∠BCD=∠CGF-∠D=58°，
∴∠BCA=116°，
∴∠B=180°-30°-116°=34°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E=∠B=34°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
8．如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为（ ）
A．1或3B．1或
C．1或或D．1或或5
【答案】C
【分析】分三种情况讨论，①当点P在AC上，点Q在CE上时，②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，由全等三角形的判定和性质可求解．
【详解】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5−2t＝6−3t，
∴t＝1，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5−2t＝3t−6，
∴t＝，
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t−5＝18−3t，
∴t＝
综上所述：t的值为1或或或
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）
9．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，，，则______．
【答案】7
【分析】根据全等三角形的性质可得，根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：7
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．
10．如图，，，则______．
【答案】
【分析】由全等三角形的对应角相等和三角形外角定理求解．
【详解】解：如图，≌，，
．
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
11．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P＋∠Q＝__________度．
【答案】45
【分析】如图，直接利用网格得出对应角，进而得出答案．
【详解】
如图，易知，∴，
∵BQ是正方形的对角线，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形，正确借助网格分析是解题关键．
12．如图，已知AB//DE，，请你添加一个条件________，使．
【答案】或或
【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴当添加时，根据可判断；
当添加时，根据可判断；
当添加时，根据可判断．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法（一般三角形全等的判定有：、、、共四种；直角三角形全等的判定有：、、、、共五种）是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
13．如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF的位置，则四边形DECF的周长为 _____cm．
【答案】17
【分析】首先连接EF，由平移的性质可知，AF＝DE．EF＝AD，AF∥DE，EF∥AD，DF∥BC，再根据平行线的性质，得出∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，然后利用ASA，证明△CEF≌△DFE，再利用全等三角形的性质，得出DE＝CF，进而得出AF＝CF＝DE＝3cm，再根据中点的性质，得出EC＝EB＝DF＝5.5cm，然后即可求出四边形DECF的周长．
【详解】解：连接EF．
由平移的性质可知，AF＝DE．EF＝AD，AF∥DE，EF∥AD，DF∥BC，
∴∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，
在△CEF和△DFE中，
，
∴△CEF≌△DFE（ASA），
∴DE＝CF，
∴AF＝CF＝DE＝3cm
∵E是BC的中点，
∴EC＝EB＝DF＝5.5cm，
∴四边形DECF的周长＝2（3+5.5）＝17cm．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的性质、平移的性质，解本题的关键在熟练掌握平移的性质．平移的性质：对应点的连线平行且相等；对应线段平行且相等．
14．如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t=__________ s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
【答案】1或或12
【分析】由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE=CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在AC上，D在AC上时，或当E到达A，D在BC上时，分别讨论．
【详解】解：当E在BC上，D在AC上，即0＜t≤时，
CE=（8-3t）cm，CD=（6-t）cm，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
∴CD=CE，
∴8-3t=6-t，
∴t=1s，
当E在AC上，D在AC上，即＜t＜时，
CE=（3t-8）cm，CD=（6-t）cm，
∴3t-8=6-t，
∴t=s，
当E到达A，D在BC上，即≤t≤14时，
CE=6cm，CD=（t-6）cm，
∴6=t-6，
∴t=12s，
故答案为：1或或12．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类，分别表示出每种情况下CD和CE的长．
15．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是 ___．
【答案】96°##96度
【分析】根据题意由翻折的性质和全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行分析解答．
【详解】解：设∠C′=α，∠B′=β，
∵将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，
∴△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=42°，
∴∠C′DB=∠BAC′+AC′D=42°+α，∠CEB′=42°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，
∴∠ABC=∠C′DB=42°+α，∠ACB=∠CEB′=42°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即126°+α+β=180°．
则α+β=54°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC=42°+α+β=42°+54°=96°．
故答案为：96°．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是利用“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理．
16．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过_____时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．
【答案】0，3，9，12
【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．
【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6米，
∴BE＝6米，
∴AE＝12﹣6＝6米，
∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6米，
∴BE＝6米，
∴AE＝12+6＝18米，
∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
∵AB＝12米，
∴BE＝12米，
∴AE＝12+12＝24米，
∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），
故答案为：0，3，9，12．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在找到所有符合题意的情况．
三、解答题（本大题共有10小题，共72分；第17-21每小题6分，第22-25每小题8分，第26小题10分）
17．如图，点A，O，B在同一直线上，且．证明：
(1)点C，O，D在同一直线上；
(2)．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）由全等三角形的性质可知∠AOC＝∠BOD，由题意可知∠AOD+∠DOB＝180°，故此可求得∠AOD+∠AOC＝180°，从而可证明点C，O，D在同一直线上；
（2）由全等三角形的性质可知∠A＝∠B，由平行线的判定定理可证明AC∥BD．
【详解】(1)证明：∵≌，
∴．
∵点，，在同一直线上，
∵∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD+∠AOC＝180°，，
∴点，，在同一直线上；
(2)证明：∵≌，
∴∠A＝∠B，
∴
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的判定，掌握全等三角形的性质、平行线的判定定理是解题的关键．
18．如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．求证：
【答案】证明见解析
【分析】根据≌，可得∠BAC=∠DAE，即可求证．
【详解】证明：∵≌，
∴∠BAC=∠DAE，
∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
19．如图，在中，延长BC至D，，．
(1)过点C作直线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)45°
【分析】（1）作∠DCE=∠B，则CEAB，直线CE就是所要求的作的直线；
（2）根据平行线的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，作∠DCE=∠B，则CEAB，直线CE就是所要求的作的直线；
（2）∵CEAB，∠B=45°，
∴=∠B=45°．
【点睛】本题（1）考查了作一个角已知角，是基本作图，需熟练掌握，（2）考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．
20．如图，有一座小山，现要在小山，的两端开一条隧道，施工队要知道，两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接．经测量，，的长度分别为，，，则，之间的距离．
【答案】800m
【分析】利用“SAS”证明△ABC≌△EDC，然后根据全等三角形的性质得AB=DE=800m．
【详解】解：在△ABC和△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB=DE，
∵DE=800m，
∴AB=800m．
即A，B之间的距离为800m．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
21．已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．
(1)如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝ ；
(2)如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝ ；
(3)如图3，若∠DAB＝，试探究∠AFG与的数量关系，并给予证明．
【答案】(1)60°
(2)45°
(3)（180°﹣），证明见解析
【分析】（1）连接AG．易证△ADC≌△ABE，可得DC＝BE，∠ADC＝∠ABE，AD＝AB，根据G、F分别是DC与BE的中点，可得DG＝BF，即可证明△ADG≌△ABF，可得AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，即可求得∠DAB＝∠GAF，即可解题．
（2）根据（1）中结论即可求得∠AFG的值，即可解题；
（3）根据（1）中结论即可求得∠AFG的值，即可解题．
【详解】（1）连接AG．
∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE．
在△ADC和△ABE中，，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC＝BE，∠ADC＝∠ABE．
∵G、F分别是DC与BE的中点，
∴DGDC，BFBE，
∴DG＝BF．
在△ADG和△ABF中，
，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，
∴∠AGF＝∠AFG，∠DAG﹣∠BAG＝∠BAF﹣∠BAG，
∴∠DAB＝∠GAF．
∵∠DAB＝60°，
∴∠GAF＝60°．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF＝180°，
∴∠AFG＝60°；
故答案为 60°，
（2）连接AG，如图2，
∵∠DAB＝90°，∠DAB＝∠GAF，（已证）
∴∠GAF＝90°，
∵AG＝AF，
∴∠AFG×（180°﹣90°）＝45°；
故答案为 45°，
（3）连接AG，如图3，
∵∠DAB＝α，∠DAB＝∠GAF，（已证）
∴∠GAF＝α，
∵AG＝AF，
∴∠AFG（180°﹣α）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADC≌△ABE和△ADG≌△ABF是解题的关键．
22．如图，沿BC方向平移到的位置．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求平移的距离．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据平移的性质，得到，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）由平移的性质即可求解．
【详解】(1)解：由平移可知，
∴，
∴．
(2)由平移可知，
∴，
∴，
∴，
∴平移的距离BE为3．
【点睛】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
23．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题；
(1)【直接应用】若，，求xy的值；
(2)【类比应用】填空：①若，则______；
②若，则______；
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若，，求一块直角三角板的面积．
【答案】(1)7
(2)①7；②
(3)30
【分析】（1）把，代入 从而可得答案；
（2）①由完全平方公式的变形可得，再代入求值即可；②利用完全平方公式变形可得，再求值即可；
（3）先证明 三点共线， 可得 结合已知条件可得 再利用 ，求解2ab，从而可得答案．
【详解】(1)解： ，，而

解得：
(2)① ，



② ，

(3)三点共线，且
三点共线，


，，





【点睛】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键．
24．把的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等图形．
【答案】见解析
【分析】利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．
【详解】解：三种不同的分法：
【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题．
25．已知：等腰和等腰中，，，．
(1)如图1，延长交于点，若，则的度数为 ；
(2)如图2，连接、，延长交于点，若，点为中点，求证：；
(3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，则的面积为 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)16
【分析】（1）根据等角的余角相等解答；
（2）延长至点，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，再证明，得出，证明结论；
（3）延长至，使，连接、、，设交于点，证明，得到，，再证明，得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】(1)解：，
，即，
，
，
故答案为：；
(2)证明：如图2，延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
(3)解：如图3，延长至，使，连接、、，设交于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
，，
在与中，
，
，
，，
点是的中点，
，
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，
故答案为：16．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．
①请说明的理由；
②请说明的理由；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，、、具有怎样的等量关系?请写出等量关系，并予以证明．
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，、、具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．
【答案】(1)①理由见解析；②理由见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题“一线三垂直”模型即可证明全等，根据全等三角形的性质即可分别在三个图形中证明之间的关系．
【详解】(1)解：①∵于D，于E，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
在和中
，
∴，
②∵，
∴，，
∵，
∴，
(2)结论：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
(3)结论：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质，灵活运用“一线三垂直”模型是解题的关键．