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浙教版七年级下册第一章 平行线1.1平行线当堂达标检测题
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这是一份浙教版七年级下册第一章 平行线1.1平行线当堂达标检测题，共32页。
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2023春·八年级单元测试）下列平移作图错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是( )
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线，于点C，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿方向平移得到，如果，，则图中阴影部分面积为（ ）
A．24B．25C．26D．27
5．（2023春·七年级单元测试）如图，点，为定点，直线，是直线上一动点．对于下列各值：①的度数；②线段的长；③的面积；④的周长；其中不会随点的移动而变化的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．①②
6．（2023春·七年级单元测试）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图所示，一只电子猫从点出发，沿北偏东方向走了到达点，再从点向南偏西方向走了到达点，那么的度数为( )．
A．B．C．D．
8．（2022春·山东淄博·七年级统考期中）如图，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
9．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，，．则与之间满足的数量关系是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022春·广东广州·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是___________．
12．（2022秋·安徽阜阳·七年级统考期末）如图 ，设， 截线与 、分别相交于、两 点 ， 请你从中选出两个你认为相等的角________．
13．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，D为中延长线上一点，，若，，则_____．
14．（2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯 __米．
15．（2021春·北京朝阳·七年级北京市陈经纶中学校考阶段练习）如图，已知AMBN，，点是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，交射线于点，．当点运动到使时，的度数为__．
16．（2023春·七年级单元测试）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点，连接．
（1）阴影部分的周长为______；
（2）若三角形的面积比三角形的面积大，则的值为______．
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．（2022秋·山西运城·八年级运城力行中学校考期末）如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点A，G，D，H，且，．求证：．
18．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，若，请说出和之间的数量关系，并说明理由．
解：∠A+∠D=180°．
理由如下：
∵ （ ）
∴（ ）
∵（ ）
∴（ ）
∴（ ）
19．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，于点O，，，求证：．
证明：∵（已知），
∴（___________）
又∵（已知），
∴___________（___________），
∴（___________），
∴（___________），
又∵（平角的定义）
∴（___________）°，
又∵（已知），
∴（___________），
∴．（___________）
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，于点，点在上，且，点在直线上，交直线于点．
(1)当点在线段的延长线上时，判断与的大小关系，并说明理由．
(2)当点在射线上，且时，请直接写出的度数．
21．（2022秋·江苏·七年级期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点A、B、C、M、P、N都在格点上．
(1)过点A画直线的垂线，垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H．
①请在网格中画出垂线、；
②线段与的大小关系是： ．
(2)将向上平移1个单位，再沿直线翻折，得到，
①请在网格中画出；
②与的大小关系是： ．
22．（2022秋·全国·八年级专题练习）问题情境：如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为___________度；（直接写出答案）
(2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请写出与、之间的数量关系，并说明理由．
23．（2022春·山东东营·六年级校考期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整）
理由：∵（已知），
∴（① ），
∵，（已知），
∴（② ），
∴，即：，
∴（③ ）
(2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°．
(3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由．
24．（2022春·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）
第1章 平行线 章末重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2023春·八年级单元测试）下列平移作图错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平移变换的性质即可一一判定．
【详解】解：A、B、D符合平移变换，C是轴对称变换．
故选：C．
【点睛】本题考查了平移变换的识别，熟练掌握和运用平移变换的识别方法是解决本题的关键．
2．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质定理结合图形即求解．
【详解】解：∵两直线平行，同位角相等，
∴，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵两直线平行，同旁内角互补，
∴，
∴选项C不符合题意；
∵，不能判断
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线，于点C，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据垂线的性质可得，进而得出与互余，再根据平行线的性质可得答案．
【详解】解：于点C，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
4．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿方向平移得到，如果，，则图中阴影部分面积为（ ）
A．24B．25C．26D．27
【答案】C
【分析】先根据平移的性质得到，然后由等式的基本性质可得，进而可得，最后根据梯形的面积公式求得即可得解．
【详解】解：∵将沿方向平移得到，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平移的性质、梯形的面积公式以及线段的和差，能够将阴影部分的面积转化为梯形的面积是解决问题的关键．
5．（2023春·七年级单元测试）如图，点，为定点，直线，是直线上一动点．对于下列各值：①的度数；②线段的长；③的面积；④的周长；其中不会随点的移动而变化的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．①②
【答案】C
【分析】根据运动得出的大小不断发生变化；求出长为定值；由于P到的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出不断发生变化．
【详解】解：当P点移动时，发生变化，
∴①错误；
∵A、B为定点，
∴长为定值，
∴②正确；
∵点A，B为定点，直线，
∴P到的距离为定值，故的面积不变，
∴③正确；
当P点移动时，的长发生变化，
∴的周长发生变化，
∴④错误；
综上，正确的有②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的运用，熟记定理是解题的关键．
6．（2023春·七年级单元测试）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；逐项判断即可．
【详解】解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故A选项不符合题意．
B、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故B选项不符合题意．
C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故C选项不符合题意．
D、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能得出，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
7．（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图所示，一只电子猫从点出发，沿北偏东方向走了到达点，再从点向南偏西方向走了到达点，那么的度数为( )．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，判断出，再根据，求出．
【详解】解：如图：，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了方向角、平行线的性质、角的加减等知识点，熟悉方向角的定义及角的加减是解答本题的关键．
8．（2022春·山东淄博·七年级统考期中）如图，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形外角定理可得，再根据三角形内角和求解即可；
【详解】如图：
∵，
∴，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟悉两直线平行，同位角相等．
9．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，，．则与之间满足的数量关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作NE∥AB，MF∥AB，根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，建立与 的等式即可得到答案．
【详解】如下图所示，作NE∥AB,MF∥AB,
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MF∥EN
得，，,;
∴,
∵，，
∴，
∴，
∴,
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补．
10．（2022春·广东广州·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】C
【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】解：①过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是___________．
【答案】或
【分析】设一个角度数为x，则另一个角度数为，根据等量关系，列出方程，即可求解．
【详解】∵两个角的两边分别平行，
∴两个角相等或互补，
设一个角度数为x，则另一个角度数为，
由题意得：或，解得：或．
∴或
答：这两个角的度数分别是：或．
故答案是：或．
【点睛】本题主要考查一元一次方程和角的运算综合，根据“两个角的两边分别平行”得：两个角相等或互补，是解题的关键．
12．（2022秋·安徽阜阳·七年级统考期末）如图 ，设， 截线与 、分别相交于、两 点 ， 请你从中选出两个你认为相等的角________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据平行线的性质，对顶角相等即可求解．
【详解】解：如图中，
∴，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，掌握平行线的性质是解题的关键．
13．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，D为中延长线上一点，，若，，则_____．
【答案】72
【分析】由，，求出，，，由得，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行线性质，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
14．（2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯 __米．
【答案】8
【分析】根据平移的性质，即可求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长．
【详解】解：由平移的性质可知，
所需要的地毯的长度为，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
15．（2021春·北京朝阳·七年级北京市陈经纶中学校考阶段练习）如图，已知AMBN，，点是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，交射线于点，．当点运动到使时，的度数为__．
【答案】30°
【详解】根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到的度数，再根据和平行线的性质，即可得到的度数．
【分析】解：，，
，
，
，分别平分和，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（2023春·七年级单元测试）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点，连接．
（1）阴影部分的周长为______；
（2）若三角形的面积比三角形的面积大，则的值为______．
【答案】 ####
【分析】（1）由平移的性质可得出，．再根据，即可求出阴影部分的周长；
（2）过A点作于，利用等面积法计算出，由，，即可得出，再根据，即可列出关于a的等式，解出a即可．
【详解】（1）∵三角形沿方向平移得到三角形，
，．
，
阴影部分的周长为，
故答案为：；
（2）过A点作于，如图，
∵∠BAC=90°
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵三角形的面积比三角形的面积大，即，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的面积，三角形的面积．掌握平移的性质是解决（1）的关键，正确作出辅助线是解决（2）的关键．
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．（2022秋·山西运城·八年级运城力行中学校考期末）如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点A，G，D，H，且，．求证：．
【答案】见解析．
【分析】本题根据平行线判定及性质，先证明，再结合，得到,即可解决．
【详解】解：（已知）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
又（已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
【点睛】此题考查平行线性质及判定定理，通过角之间得相等关系，灵活运用判定和性质是解决问题得关键．
18．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，若，请说出和之间的数量关系，并说明理由．
解：∠A+∠D=180°．
理由如下：
∵ （ ）
∴（ ）
∵（ ）
∴（ ）
∴（ ）
【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；已知；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换
【分析】根据平行线的性质得到，，由此即可推出．
【详解】解：，理由如下：
∵ (已知 )，
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∴（等量代换）
故答案为：已知；；两直线平行，同位角相等；已知；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
19．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，于点O，，，求证：．
证明：∵（已知），
∴（___________）
又∵（已知），
∴___________（___________），
∴（___________），
∴（___________），
又∵（平角的定义）
∴（___________）°，
又∵（已知），
∴（___________），
∴．（___________）
【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；等式的性质；内错角相等，两直线平行
【分析】根据垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定填空即可．
【详解】证明：∵（已知）
∴（垂直的定义）
又∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∴（等量代换）
又∵（平角的定义）
∴（90）°
又∵（已知）
∴（等式的性质）
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；等式的性质；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，于点，点在上，且，点在直线上，交直线于点．
(1)当点在线段的延长线上时，判断与的大小关系，并说明理由．
(2)当点在射线上，且时，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，得，推出；根据，得，推出，等量代换，即可；
（2）分类讨论点在线段上和点在射线上，根据平行线的性质，邻补角互补，即可求出的角度．
【详解】（1）解：
理由如下：
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴．
（2）当点在线段上，如图
由（1）得，，
∴，
∴
∵
∴
∴；
当点在射线上，如图
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴或．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，分类讨论的位置．
21．（2022秋·江苏·七年级期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点A、B、C、M、P、N都在格点上．
(1)过点A画直线的垂线，垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H．
①请在网格中画出垂线、；
②线段与的大小关系是： ．
(2)将向上平移1个单位，再沿直线翻折，得到，
①请在网格中画出；
②与的大小关系是： ．
22．（2022秋·全国·八年级专题练习）问题情境：如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为___________度；（直接写出答案）
(2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请写出与、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)110
(2)，见解析
(3)，见解析
【分析】（1）根据平行线的性质，同旁内角互补，进行计算即可；
（2）过点作，利用平行线的判定和性质即可得解；
（3）根据分别在的延长线上和在的延长线上分类讨论，利用平行线的判定和性质进行求解即可．
【详解】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
（2）解：，
理由：如图2，过作交于，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：如图所示，当在延长线上时，
过点作交于，则，
∴，，
∴；
如图所示，当在延长线上时，
过点作交于，则，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查利用平行线的判定和性质证明角之间的关系．熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．平行线中遇到拐点问题，通常过拐点作平行线进行解题．
23．（2022春·山东东营·六年级校考期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整）
理由：∵（已知），
∴（① ），
∵，（已知），
∴（② ），
∴，即：，
∴（③ ）
(2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°．
(3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由．
【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；
(2)96，90
(3)当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由见解析
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等得，根据角之间的关系等量代换得，即可得，根据内错角相等两直线平行即可得；
（2）由题意得，，，即可得，根据得，可得，即可得，根据三角形内角和定理即可得；
（3）由（1）得，，，根据，得，即可得，等量代换得即，根据三角形内角和定理即可得．
（1）
证明：∵（已知），
∴（①两直线平行，内错角相等 ），
∵，（已知），
∴（②等量代换 ），
∴，即：，
∴（③内错角相等，两直线平行 ）
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；
（2）
解：由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：96，90．
（3）
当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由如下：
解：由（1）得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握平行线的判定与性质．
24．（2022春·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)；
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；
（2）过C作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；
（3）①过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质导角即可．
【详解】（1）解：，
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；
（2）解：过C作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①过E作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②过E作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线的传递性以及角平分线的概念，作出辅助线构造平行线导角是解决本题的关键．
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2023春·八年级单元测试）下列平移作图错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是( )
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线，于点C，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿方向平移得到，如果，，则图中阴影部分面积为（ ）
A．24B．25C．26D．27
5．（2023春·七年级单元测试）如图，点，为定点，直线，是直线上一动点．对于下列各值：①的度数；②线段的长；③的面积；④的周长；其中不会随点的移动而变化的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．①②
6．（2023春·七年级单元测试）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图所示，一只电子猫从点出发，沿北偏东方向走了到达点，再从点向南偏西方向走了到达点，那么的度数为( )．
A．B．C．D．
8．（2022春·山东淄博·七年级统考期中）如图，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
9．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，，．则与之间满足的数量关系是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022春·广东广州·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是___________．
12．（2022秋·安徽阜阳·七年级统考期末）如图 ，设， 截线与 、分别相交于、两 点 ， 请你从中选出两个你认为相等的角________．
13．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，D为中延长线上一点，，若，，则_____．
14．（2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯 __米．
15．（2021春·北京朝阳·七年级北京市陈经纶中学校考阶段练习）如图，已知AMBN，，点是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，交射线于点，．当点运动到使时，的度数为__．
16．（2023春·七年级单元测试）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点，连接．
（1）阴影部分的周长为______；
（2）若三角形的面积比三角形的面积大，则的值为______．
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．（2022秋·山西运城·八年级运城力行中学校考期末）如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点A，G，D，H，且，．求证：．
18．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，若，请说出和之间的数量关系，并说明理由．
解：∠A+∠D=180°．
理由如下：
∵ （ ）
∴（ ）
∵（ ）
∴（ ）
∴（ ）
19．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，于点O，，，求证：．
证明：∵（已知），
∴（___________）
又∵（已知），
∴___________（___________），
∴（___________），
∴（___________），
又∵（平角的定义）
∴（___________）°，
又∵（已知），
∴（___________），
∴．（___________）
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，于点，点在上，且，点在直线上，交直线于点．
(1)当点在线段的延长线上时，判断与的大小关系，并说明理由．
(2)当点在射线上，且时，请直接写出的度数．
21．（2022秋·江苏·七年级期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点A、B、C、M、P、N都在格点上．
(1)过点A画直线的垂线，垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H．
①请在网格中画出垂线、；
②线段与的大小关系是： ．
(2)将向上平移1个单位，再沿直线翻折，得到，
①请在网格中画出；
②与的大小关系是： ．
22．（2022秋·全国·八年级专题练习）问题情境：如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为___________度；（直接写出答案）
(2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请写出与、之间的数量关系，并说明理由．
23．（2022春·山东东营·六年级校考期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整）
理由：∵（已知），
∴（① ），
∵，（已知），
∴（② ），
∴，即：，
∴（③ ）
(2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°．
(3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由．
24．（2022春·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）
第1章 平行线 章末重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2023春·八年级单元测试）下列平移作图错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平移变换的性质即可一一判定．
【详解】解：A、B、D符合平移变换，C是轴对称变换．
故选：C．
【点睛】本题考查了平移变换的识别，熟练掌握和运用平移变换的识别方法是解决本题的关键．
2．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质定理结合图形即求解．
【详解】解：∵两直线平行，同位角相等，
∴，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵两直线平行，同旁内角互补，
∴，
∴选项C不符合题意；
∵，不能判断
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线，于点C，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据垂线的性质可得，进而得出与互余，再根据平行线的性质可得答案．
【详解】解：于点C，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
4．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿方向平移得到，如果，，则图中阴影部分面积为（ ）
A．24B．25C．26D．27
【答案】C
【分析】先根据平移的性质得到，然后由等式的基本性质可得，进而可得，最后根据梯形的面积公式求得即可得解．
【详解】解：∵将沿方向平移得到，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平移的性质、梯形的面积公式以及线段的和差，能够将阴影部分的面积转化为梯形的面积是解决问题的关键．
5．（2023春·七年级单元测试）如图，点，为定点，直线，是直线上一动点．对于下列各值：①的度数；②线段的长；③的面积；④的周长；其中不会随点的移动而变化的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．①②
【答案】C
【分析】根据运动得出的大小不断发生变化；求出长为定值；由于P到的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出不断发生变化．
【详解】解：当P点移动时，发生变化，
∴①错误；
∵A、B为定点，
∴长为定值，
∴②正确；
∵点A，B为定点，直线，
∴P到的距离为定值，故的面积不变，
∴③正确；
当P点移动时，的长发生变化，
∴的周长发生变化，
∴④错误；
综上，正确的有②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的运用，熟记定理是解题的关键．
6．（2023春·七年级单元测试）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；逐项判断即可．
【详解】解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故A选项不符合题意．
B、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故B选项不符合题意．
C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故C选项不符合题意．
D、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能得出，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
7．（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图所示，一只电子猫从点出发，沿北偏东方向走了到达点，再从点向南偏西方向走了到达点，那么的度数为( )．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，判断出，再根据，求出．
【详解】解：如图：，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了方向角、平行线的性质、角的加减等知识点，熟悉方向角的定义及角的加减是解答本题的关键．
8．（2022春·山东淄博·七年级统考期中）如图，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形外角定理可得，再根据三角形内角和求解即可；
【详解】如图：
∵，
∴，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟悉两直线平行，同位角相等．
9．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，，．则与之间满足的数量关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作NE∥AB，MF∥AB，根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，建立与 的等式即可得到答案．
【详解】如下图所示，作NE∥AB,MF∥AB,
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MF∥EN
得，，,;
∴,
∵，，
∴，
∴，
∴,
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补．
10．（2022春·广东广州·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】C
【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】解：①过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是___________．
【答案】或
【分析】设一个角度数为x，则另一个角度数为，根据等量关系，列出方程，即可求解．
【详解】∵两个角的两边分别平行，
∴两个角相等或互补，
设一个角度数为x，则另一个角度数为，
由题意得：或，解得：或．
∴或
答：这两个角的度数分别是：或．
故答案是：或．
【点睛】本题主要考查一元一次方程和角的运算综合，根据“两个角的两边分别平行”得：两个角相等或互补，是解题的关键．
12．（2022秋·安徽阜阳·七年级统考期末）如图 ，设， 截线与 、分别相交于、两 点 ， 请你从中选出两个你认为相等的角________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据平行线的性质，对顶角相等即可求解．
【详解】解：如图中，
∴，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，掌握平行线的性质是解题的关键．
13．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，D为中延长线上一点，，若，，则_____．
【答案】72
【分析】由，，求出，，，由得，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行线性质，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
14．（2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯 __米．
【答案】8
【分析】根据平移的性质，即可求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长．
【详解】解：由平移的性质可知，
所需要的地毯的长度为，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
15．（2021春·北京朝阳·七年级北京市陈经纶中学校考阶段练习）如图，已知AMBN，，点是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，交射线于点，．当点运动到使时，的度数为__．
【答案】30°
【详解】根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到的度数，再根据和平行线的性质，即可得到的度数．
【分析】解：，，
，
，
，分别平分和，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（2023春·七年级单元测试）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点，连接．
（1）阴影部分的周长为______；
（2）若三角形的面积比三角形的面积大，则的值为______．
【答案】 ####
【分析】（1）由平移的性质可得出，．再根据，即可求出阴影部分的周长；
（2）过A点作于，利用等面积法计算出，由，，即可得出，再根据，即可列出关于a的等式，解出a即可．
【详解】（1）∵三角形沿方向平移得到三角形，
，．
，
阴影部分的周长为，
故答案为：；
（2）过A点作于，如图，
∵∠BAC=90°
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵三角形的面积比三角形的面积大，即，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的面积，三角形的面积．掌握平移的性质是解决（1）的关键，正确作出辅助线是解决（2）的关键．
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．（2022秋·山西运城·八年级运城力行中学校考期末）如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点A，G，D，H，且，．求证：．
【答案】见解析．
【分析】本题根据平行线判定及性质，先证明，再结合，得到,即可解决．
【详解】解：（已知）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
又（已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
【点睛】此题考查平行线性质及判定定理，通过角之间得相等关系，灵活运用判定和性质是解决问题得关键．
18．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，若，请说出和之间的数量关系，并说明理由．
解：∠A+∠D=180°．
理由如下：
∵ （ ）
∴（ ）
∵（ ）
∴（ ）
∴（ ）
【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；已知；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换
【分析】根据平行线的性质得到，，由此即可推出．
【详解】解：，理由如下：
∵ (已知 )，
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∴（等量代换）
故答案为：已知；；两直线平行，同位角相等；已知；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
19．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，于点O，，，求证：．
证明：∵（已知），
∴（___________）
又∵（已知），
∴___________（___________），
∴（___________），
∴（___________），
又∵（平角的定义）
∴（___________）°，
又∵（已知），
∴（___________），
∴．（___________）
【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；等式的性质；内错角相等，两直线平行
【分析】根据垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定填空即可．
【详解】证明：∵（已知）
∴（垂直的定义）
又∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∴（等量代换）
又∵（平角的定义）
∴（90）°
又∵（已知）
∴（等式的性质）
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；等式的性质；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，于点，点在上，且，点在直线上，交直线于点．
(1)当点在线段的延长线上时，判断与的大小关系，并说明理由．
(2)当点在射线上，且时，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，得，推出；根据，得，推出，等量代换，即可；
（2）分类讨论点在线段上和点在射线上，根据平行线的性质，邻补角互补，即可求出的角度．
【详解】（1）解：
理由如下：
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴．
（2）当点在线段上，如图
由（1）得，，
∴，
∴
∵
∴
∴；
当点在射线上，如图
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴或．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，分类讨论的位置．
21．（2022秋·江苏·七年级期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点A、B、C、M、P、N都在格点上．
(1)过点A画直线的垂线，垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H．
①请在网格中画出垂线、；
②线段与的大小关系是： ．
(2)将向上平移1个单位，再沿直线翻折，得到，
①请在网格中画出；
②与的大小关系是： ．
22．（2022秋·全国·八年级专题练习）问题情境：如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为___________度；（直接写出答案）
(2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请写出与、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)110
(2)，见解析
(3)，见解析
【分析】（1）根据平行线的性质，同旁内角互补，进行计算即可；
（2）过点作，利用平行线的判定和性质即可得解；
（3）根据分别在的延长线上和在的延长线上分类讨论，利用平行线的判定和性质进行求解即可．
【详解】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
（2）解：，
理由：如图2，过作交于，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：如图所示，当在延长线上时，
过点作交于，则，
∴，，
∴；
如图所示，当在延长线上时，
过点作交于，则，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查利用平行线的判定和性质证明角之间的关系．熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．平行线中遇到拐点问题，通常过拐点作平行线进行解题．
23．（2022春·山东东营·六年级校考期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整）
理由：∵（已知），
∴（① ），
∵，（已知），
∴（② ），
∴，即：，
∴（③ ）
(2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°．
(3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由．
【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；
(2)96，90
(3)当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由见解析
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等得，根据角之间的关系等量代换得，即可得，根据内错角相等两直线平行即可得；
（2）由题意得，，，即可得，根据得，可得，即可得，根据三角形内角和定理即可得；
（3）由（1）得，，，根据，得，即可得，等量代换得即，根据三角形内角和定理即可得．
（1）
证明：∵（已知），
∴（①两直线平行，内错角相等 ），
∵，（已知），
∴（②等量代换 ），
∴，即：，
∴（③内错角相等，两直线平行 ）
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；
（2）
解：由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：96，90．
（3）
当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由如下：
解：由（1）得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握平行线的判定与性质．
24．（2022春·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)；
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；
（2）过C作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；
（3）①过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质导角即可．
【详解】（1）解：，
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；
（2）解：过C作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①过E作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②过E作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线的传递性以及角平分线的概念，作出辅助线构造平行线导角是解决本题的关键．
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