初中数学浙教版七年级下册第五章 分式5.3 分式的乘除同步训练题

这是一份初中数学浙教版七年级下册第五章 分式5.3 分式的乘除同步训练题，共41页。试卷主要包含了掌握分式的乘法，掌握乘除法混合运算；等内容，欢迎下载使用。
1、掌握分式的乘法、除法、乘方运算；
2、掌握乘除法混合运算；
【知识点】
分式的乘除运算
（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．
（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
注意：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．
5.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
知识点01 分式乘法
【典型例题】
例1．（2023春·江苏·八年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）计算：_______．
例3．（2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1)； (2)；
【即学即练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）计算等于__．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：___________．
5．（2023·全国·九年级专题练习）计算
(1)；
(2)．
知识点02 分式除法
【典型例题】
例1．（2023春·浙江·七年级专题练习）化简：（ ）
A．1B．xC．D．
例2．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）计算的结果是______．
例3．（2023春·八年级课时练习）计算：．
【即学即练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·八年级课时练习）化简，正确结果是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）计算的结果是______．
4．（2022秋·八年级课时练习）化简的结果是________．
5．（2023春·八年级课时练习）化简：．
知识点03 分式乘方
【典型例题】
例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列计算中，错误的是( )
A．B．
C．D．
例2．（2023·全国·九年级专题练习）计算：______．
例3．（2023·全国·九年级专题练习）计算
【即学即练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列分式运算，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列各式中，计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022秋·八年级课时练习）计算：_____．
4．（湖南永州·八年级统考期中）计算的结果是________．
5．（2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
知识点04 分式的混合运算
【典型例题】
例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）的结果是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·全国·九年级专题练习）计算的结果是_________．
例3．（2021秋·八年级课时练习）计算
（1）； （2）．
【即学即练】
1．（2021秋·全国·八年级专题练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021秋·全国·八年级专题练习）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·九年级专题练习）化简： ________．
4．（2023春·八年级课时练习）（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
题组A 基础过关练
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算分式结果是（ ）
A．-1B．1C．D．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）已知，则M等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）计算_________．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：______．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）计算的结果是____________．
8．（2022秋·天津南开·八年级校考期末）计算：___________．
9．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
10．（2021秋·八年级课时练习）计算
（1）；
（2）．
题组B 能力提升练
1．（2023·山东滨州·统考一模）下列运算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）分式运算的结果是，则□处的运算符号是（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
3．（2022秋·山东潍坊·八年级校考期末）下列化简结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022秋·八年级课时练习）下列分式运算，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·广东河源·八年级校考期末）若 成立，则 的值为____．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算：=________；=________；＝_______．
7．（2022春·河南周口·八年级校考期中）化简的结果为______．
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为______（结果保留，球体积公式）．
9．（2022秋·山东威海·八年级校联考期中）计算题
(1)
(2)
10．（2023·全国·九年级专题练习）计算
(1)
(2)
题组C 培优拔尖练
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算 的结果是( )
A．B．C．D．
2．（2021·浙江杭州·一模）已知，是非零实数，设，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）的结果是（ ）
A．B．C．D．1
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）在等式中，M为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）已知，则________．
6．（2023·全国·九年级专题练习）计算•的结果是 _____．
7．（2023·全国·九年级专题练习）计算：___________．
8．（2020春·浙江杭州·七年级期末）设m，n是实数，定义关于@的一种运算如下：，则下列结论：
①若，，则；
②；
③不存在非零实数m，n，满足；
④若设，n是长方形的长和宽，若该长方形的周长固定，则当时，的值最大．
其中正确的是_____________．
9．（2022秋·重庆涪陵·八年级统考阶段练习）我们定义一种新运算：．若，求Ａ的表达式（用含x、y的式子表示）
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列材料：
关于x的方程，方程两边同时乘以得：，即，，．根据以上材料，解答下列问题：
已知，
(1)求的值；
(2)求 ，的值．
专题5.3 分式的乘除
1、掌握分式的乘法、除法、乘方运算；
2、掌握乘除法混合运算；
【知识点】
分式的乘除运算
（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．
（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
注意：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．
5.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
知识点01 分式乘法
【典型例题】
例1．（2023春·江苏·八年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式乘法运算法则计算即可获得答案．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
例2．（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）计算：_______．
【答案】
【分析】把分子分母分解因式，再约分即可得到答案．
【详解】解：

．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的乘法运算，掌握“分式的乘法的运算法则”是解本题的关键．
例3．（2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先把分子分母分解因式，然后再约分后相乘即可；
（2）第一个分式的分母 ,然后再约分即可；
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握因式分解方法是解题的关键．
【即学即练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用分式的乘法运算法则计算即可得到结果．
【详解】原式．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质结合乘法公式化简即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，乘法公式，熟知分式的基本性质是解题的关键．
3．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）计算等于__．
【答案】
【分析】计算分式的乘法即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】题目主要考查分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：___________．
【答案】
【分析】直接约分化简即可．
【详解】．
故答案为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的乘法运算，两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并把分子、分母分解因式约分，把结果化成最简分式或整式．
5．（2023·全国·九年级专题练习）计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法并化简；
（2）先将分子与分母分解因式，再计算乘法并化简即可．
【详解】（1）原式=
=；
（2）原式=
=．
【点睛】此题考查了分式的计算，正确掌握分式的计算法则及运算顺序是解题的关键．
知识点02 分式除法
【典型例题】
例1．（2023春·浙江·七年级专题练习）化简：（ ）
A．1B．xC．D．
【答案】D
【分析】将分式的分母分解因式，除法化为乘法，再计算乘法化简即可．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法计算法则是解题的关键．
例2．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）计算的结果是______．
【答案】
【分析】利用分式的除法运算法则计算即可得到结果．
【详解】解:
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法运算法则是解本题的关键．
例3．（2023春·八年级课时练习）计算：．
【答案】
【分析】利用分式的除法运算法则计算即可得到结果．
【详解】解:
【点睛】此题考查了分式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【即学即练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分式的除法运算法则即可求解．
【详解】解：
，
故选：．
【点睛】本题主要考查分式的运算，掌握分式的除法运算法则是解题的关键．
2．（2022秋·八年级课时练习）化简，正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的除法进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝，
故选D．
【点睛】本题考查了分式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．
3．（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）计算的结果是______．
【答案】
【分析】先对各项进行因式分解，再将除法变为乘法，最后化简即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的除法运算，正确进行因式分解是解题的关键．
4．（2022秋·八年级课时练习）化简的结果是________．
【答案】a2 +a/
【分析】先把除法转化为乘法，再约分即可得到答案．
【详解】解：


故答案为：
【点睛】本题考查的是分式的除法运算，掌握“分式的除法运算的运算法则”是解本题的关键．
5．（2023春·八年级课时练习）化简：．
【答案】
【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，把分子分母因式分解后进行约分计算即可；
【详解】解：原式＝
【点睛】本题考查了分式的除法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
知识点03 分式乘方
【典型例题】
例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列计算中，错误的是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据分式的乘法法则计算，即可求解．
【详解】、，故本选项错误，符合题意；
B、，故本选项正确，不符合题意；
C、，故本选项正确，不符合题意；
D、，故本选项正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键．
例2．（2023·全国·九年级专题练习）计算：______．
【答案】
【分析】先乘方，将除法改写为乘法，再根据分式的乘除混合运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘除混合运算顺序和运算法则．
例3．（2023·全国·九年级专题练习）计算
【答案】
【分析】先算分式的乘方，再算乘法，约分化简即可.
【详解】解：原式=
=
【点睛】本题考查分式的乘方与乘法，分式的乘方计算法则是：分子分母分别乘方，乘法计算法则是：分子与分子相乘，分母与分母相乘，最后约分化简，掌握运算法则是关键.
【即学即练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列分式运算，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．
【详解】A．，故A正确；
B．，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的运算，在进行分式乘方运算时，先确定运算结果的符号，负数的偶数次方为正，而奇数次方为负，同时要注意运算顺序，先乘方，后乘除．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列各式中，计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用分式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（2022秋·八年级课时练习）计算：_____．
【答案】
【分析】先计算分式的乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，再约分即可得到答案.
【详解】解：

故答案为：
【点睛】本题考查的是分式的乘方运算，分式的除法运算，掌握分式的乘方与除法运算的运算法则是解本题的关键.
4．（湖南永州·八年级统考期中）计算的结果是________．
【答案】
【分析】先算分式的乘方，再算乘除法，进行约分，即可得到答案．
【详解】原式=
=
=．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查分式的乘方与乘除运算法则，掌握分式的约分，是解题的关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据分式的乘法进行计算即可求解；
（2）先将除法转化为乘法，根据分式的乘法运算进行计算即可求解；
（3）根据分式的乘方运算进行计算即可求解．
【详解】（1）；
（2）；
（3）
【点睛】本题考查了分式的乘除法以及分式的乘方运算，掌握其运算法则是解题的关键．
知识点04 分式的混合运算
【典型例题】
例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先把每一项因式分解，然后根据分式的混合运算法则求解即可．
【详解】
=
=
=
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是先对每一项因式分解，然后再根据分式的混合运算法则求解．
例2．（2023·全国·九年级专题练习）计算的结果是_________．
【答案】
例3．（2021秋·八年级课时练习）计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】先根据积的乘方运算法则去括号，再利用分式的乘除运算法则化简即可．
【详解】解：（1）原式＝；
（2）原式＝
＝．
【点睛】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【即学即练】
1．（2021秋·全国·八年级专题练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】原式==.
故选D.
【点睛】本题主要考查分式的乘除，解题的关键在于先去括号，要注意的是系数也要乘方，然后将除法变成乘法进行计算即可.
2．（2021秋·全国·八年级专题练习）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式乘除运算法则对原式变形后，约分即可得到结果．
【详解】解：
=
=.
故选：B.
【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）化简： ________．
【答案】
【分析】先算乘方，然后再算乘法.
【详解】解：原式，
故答案为.
【点睛】本题考查了分式的混合运算，注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.
4．（2023春·八年级课时练习）（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________．
【答案】
【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可；
（2）先算乘方，再算乘法即可；
（3）先算乘方，再算除法即可；
（4）先算乘方，再算乘除法即可；
（5）先算乘方，再算除法即可；
【详解】解：（1）
（2）；
（3）原式=；
（4）原式=；
（5）；
故答案为：，，，，
【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可．
（2）按照分式乘除运算法则进行计算即可．
（3）分式的分子分母分别平方即可．
（4）按照分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．
题组A 基础过关练
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算乘方，再计算乘法，即可求解．
【详解】解：
故选：D
【点睛】本题主要考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算分式结果是（ ）
A．-1B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的运算法则，熟知运算法则是解题的关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方，完全平方公式，分式的乘法运算，多项式除以单项式分别计算即可得出答案．
【详解】解：A. ，计算正确，故符合题意；
B. ，计算错误，故不符合题意；
C. ，计算错误，故不符合题意；
D. ，计算错误，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查幂的乘方，完全平方公式，分式的乘法运算，多项式除以单项式，正确计算是解题的关键．
4．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）已知，则M等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用分式的乘除法的法则进行运算即可．
【详解】解：，
M=
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）计算_________．
【答案】
【分析】根据分式的乘法法则计算，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题的关键．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：______．
【答案】5
【分析】根据负整数指数幂和正整数指数幂互为倒数和零指数幂的值为“1”，即可得出结果．
【详解】
故答案为:5．
【点睛】本题考查负整数指数幂和零指数幂的计算，熟练掌握其意义是解题的关键．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）计算的结果是____________．
【答案】
【分析】根据分式的乘法运算法则计算即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的乘法运算，掌握分式的乘法运算法则是解答本题的关键．
8．（2022秋·天津南开·八年级校考期末）计算：___________．
【答案】
【分析】根据分式的乘法法则求解即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘法法则．
9．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）分式的混合运算，先算乘方，然后算乘除；
（2）分式的加减乘除混合运算，先算乘除，然后算加减，有小括号，先算小括号里面的．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
10．（2021秋·八年级课时练习）计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据分式乘法法则，可得答案；
（2）根据分式的除法，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得答案；
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，根据法则计算是解题关键．
题组B 能力提升练
1．（2023·山东滨州·统考一模）下列运算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据同类项，乘方、完全平方公式，分式的乘除法，积的乘方逐一进行计算，即可得到答案．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意，选项错误；
B、，原计算正确，符合题意，选项正确；
C、，原计算错误，不符合题意，选项错误；
D、，原计算错误，不符合题意，选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查了合并同类项，乘方、完全平方公式，分式的乘除法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）分式运算的结果是，则□处的运算符号是（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
【答案】D
【分析】根据分式的乘除运算法则进行计算即可．
【详解】解：，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．
3．（2022秋·山东潍坊·八年级校考期末）下列化简结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质逐个进行判断．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的混合运算和分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．
4．（2022秋·八年级课时练习）下列分式运算，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的乘方，分式乘法分别进行判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项正确；
D. ，故该选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的乘方及分式的乘法，解题关键是掌握相关的运算法则．
5．（2022秋·广东河源·八年级校考期末）若 成立，则 的值为____．
【答案】，，
【分析】根据幂的运算分别讨论，即可求值．
【详解】解：∵，
∴当时，m为任意实数，则；
当时，m为偶数，则；
当m=0时，则；
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了幂的运算，解题的关键是掌握运算法则，特别注意零指数幂的运算．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算：=________；=________；＝_______．
【答案】
【分析】根据分式的性质约分，分式的除法进行计算即可求解．
【详解】解：；
；
；
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了分式的约分，分式的除法运算，掌握分式的性质以及运算法则是解题的关键．
7．（2022春·河南周口·八年级校考期中）化简的结果为______．
【答案】
【分析】根据分式的乘法法则可进行求解．
【详解】解：原式=；
故答案为．
【点睛】本题主要考查分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为______（结果保留，球体积公式）．
【答案】
【分析】由题意可知：小球的直径为2r，每个小球的体积为，计算小球的总数， 就可以算出小球的总体积，算出长方体纸盒的体积为；根据纸盒空间利用率为小球总体积与纸箱容积的比即可解答；
【详解】由题意可知：小球的直径为2r，每个小球的体积为：
沿长边摆放了个小球，沿宽摆放了 个小球；
所以小球的总数为：
所以小球的总体积为：
长方体纸盒的体积为：
所以纸盒空间 利用率为：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆，两圆相切的性质，如果两圆相切，那么连心线必经过切点，也考查了分式的运算．
9．（2022秋·山东威海·八年级校联考期中）计算题
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据积的乘方先展开，再根据整式的乘除法运算即可求解；
（2）先通分，去括号，再根据分式的性质，分式的乘除法
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查积的乘方，幂的运算，分式的性质，化简，掌握幂的运算法则，分式的性质是解题的关键．
10．（2023·全国·九年级专题练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把分子分母因式分解，再从左往右计算，即可求解；
（2）先把分子分母因式分解，再从左往右计算，即可求解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算 的结果是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分式的除法法则、积的乘方、幂的乘方及单项式乘单项式的运算法则计算可得．
【详解】
=，
=，
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式除法、幂的运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方、幂的乘方及单项式乘单项式的运算法则．
2．（2021·浙江杭州·一模）已知，是非零实数，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分数除法的运算法则解答，用k、n表示出m代入等式化简，即可得到关于k的等式．
【详解】解：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解答本题的关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）的结果是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）在等式中，M为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将等式左边的分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式，利用等式的性质即可求解．
【详解】，
即，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质，分式的乘除，解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解，然后约去公因式，分式的约分是分式运算的基础．
5．（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）已知，则________．
【答案】7
【分析】根据完全平方公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
6．（2023·全国·九年级专题练习）计算•的结果是 _____．
【答案】
【分析】先将原式进行因式分解，再进行分式的乘法运算，化简求值就可．
【详解】解：原式＝
＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的乘法运算，解题的关键是熟练运用分式的乘法运算，本题属于基础题型．
7．（2023·全国·九年级专题练习）计算：___________．
【答案】
【分析】先将分子和分母分解因式，再计算乘法，并将结果化为最简分式．
【详解】．
【点睛】此题考查分式的乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母．
8．（2020春·浙江杭州·七年级期末）设m，n是实数，定义关于@的一种运算如下：，则下列结论：
①若，，则；
②；
③不存在非零实数m，n，满足；
④若设，n是长方形的长和宽，若该长方形的周长固定，则当时，的值最大．
其中正确的是_____________．
【答案】②③④
【分析】根据所给新定义，可得，再分别判断．
【详解】解：∵，
①，
∴==8，
∴mn=2，
∴，故错误；
②=，
，
∴，故正确；
③，
∴，
∴，
当m-2n=0，n=0，
∴m=0，
∴不存在非零实数m，n，满足，故正确；
④∵m@n=（m+n）2-（m-n）2=4mn，
（m-n）2≥0，则m2-2mn+n2≥0，即m2+n2≥2mn，
∴m2+n2+2mn≥4mn，
∴4mn的最大值是m2+n2+2mn，此时m2+n2+2mn=4mn，
解得m=n，
∴m@n最大时，m=n，故正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查因式分解的应用、整式的混合运算，分式的乘除，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
9．（2022秋·重庆涪陵·八年级统考阶段练习）我们定义一种新运算：．若，求Ａ的表达式（用含x、y的式子表示）
【答案】．
【分析】根据，则把转为，即可求解．
【详解】解：，
又，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是正确掌握分式混合运算的法则．
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列材料：
关于x的方程，方程两边同时乘以得：，即，，．根据以上材料，解答下列问题：
已知，
(1)求的值；
(2)求 ，的值．
【答案】(1)4；
(2)，．
【分析】（1）方程两边同时除以x，移项后即可求得的值；
（2）对两边平方即可求出的值，然后再平方即可求出的值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了分式的运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．