考点01实数（精讲）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版

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实数在中考数学中较为简单，每年考查3题左右，分值为8~12分，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查。对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的运用、实数运算法则和顺序等。
【知识清单】
1：实数的分类（☆☆）
（1）正负数的概念：大于0的数叫做 正数 ，正数前面加上符号“-”的数叫 负数 ，负数前面的负号“-”不能省略。 0 既不是正数，也不是负数。正负数的意义：表示具有相反意义的量。
（2） 整数 和 分数 统称为有理数。无限不循环小数叫做 无理数 。有理数和无理数统称为 实数 。
（3）实数的分类：1）按 定义 分类；2）按 性质 分类。
2：实数的相关概念（☆☆☆）
（1）数轴：规定了 原点 、正方向 、单位长度 的直线叫做数轴。数轴上所有的点与全体实数 一一 对应。
（2）相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数。若a、b互为相反数，则 a+b=0 。
（3）绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的 距离 叫做a的绝对值，记为|a|。
（4）倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数。若a、b互为倒数，则 ab=1 。
（5）算术平方根：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的 算术平方根 。
记为，a叫做被开方数。
（6）平方根：若一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的 平方根 。
（7）立方根：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的 立方根 （或三次方根） 。
3：实数的大小比较（☆☆）
（1）数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
（2）作差比较法：若a，b是任意两个实数，则：①a-b>0 a>b ；②a-b=0 a=b ；③a-b<0 a（3）平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2 a>b ；②对任意负实数a，b，若a2>b2 a（4）倒数比较法：若>，ab>0，则 a（5）作商比较法：1）正实数a，b，>1 a>b ，<1 a>b ；2）负实数a，b，>1 ab 。
4：实数的运算（☆☆☆）
（1）乘方：n个相同的因数a相乘记作an，其中a为 底数 ，n为 指数 ，乘方的结果叫做 幂 .
（2）运算顺序：1）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。2）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律。
5：科学记数法（☆☆）
（1）科学记数法：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10 ，n为整数。
当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1。
（2）近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
（3）有效数字：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的 有效数字 。
注意：清单中的☆号表示该考点在各地中考的考查频率。
【易错点归纳】
1、带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数。（如：就是有理数）。
2、对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0。
3、含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取近似值。
4、用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。（如：4.0×104的有效数字是4，0）。
5、有时候题目会故意没有把去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把的算出（去根号），再求平方根。（如：的平方根是，而不是2）。
【核心考点】
核心考点1. 实数的分类与正负数
例1：（2023·江苏盐城·统考中考真题）下列数中，属于负数的是（ ）
A．2023B．C．D．0
【答案】B
【分析】根据小于0的数即为负数解答可得．
【详解】是负数，和是正数，0既不是正数也不是负数 故选：B．
【点睛】本题主要考查正数和负数，熟练掌握负数的概念是解题的关键．
变式1．（2023·湖北荆州·统考中考真题）在实数，，，中，无理数是（ ）
A．B．C．D．3.14
【答案】B
【分析】根据无理数的特征，即可解答．
【详解】解：在实数，，，中，无理数是，故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键．
变式2．（2023·江西·统考中考真题）下列各数中，正整数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据有理数的分类即可求解．
【详解】解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数，故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
例2：（2023·成都市·中考一模）何小虎是航天科技六院西安航天发动机有限公司的数控车工、高级技师，他的绝活是在非精密环境中实现产品精密加工．在长三乙火箭发动机喷注器架的生产中，需要加工几项基本尺寸为的深小轴（）范围内的尺寸均为合格品，则下列深小轴的尺寸中合格的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查正数和负数，结合已知条件求得合格品的范围是解题的关键．
根据正数和负数的实际意义求得合格品的范围，然后进行判断即可．
【详解】解：由题意可得合格品的范围是，
则A，B，D均不符合题意，故选：C．
变式1．（2023·浙江·中考二模）如图所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（ ）
A．223B．C．263D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．根据题干描述的算筹计数法计数即可．
【详解】根据算筹计数法，表示的数是：．故选：D．
变式2．（2023·湖南永州·统考中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A．运出30吨粮食B．亏损30吨粮食C．卖掉30吨粮食D．吃掉30吨粮食
【答案】A
【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食．故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
核心考点2. 实数的相关概念
例1：（2024·湖北·校考模拟预测）下列说法正确的个数是（ ）
①－2024的相反数是2024；②－2024的绝对值是2024；③的倒数是2024．
A．3B．2C．1D．0
【答案】A
【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义逐个判断即可．
【详解】①－2024的相反数是2024，故此说法正确；②－2024的绝对值是2024，故此说法正确；③的倒数是2024，故此说法正确；正确的个数共3个；故选：A．
【点睛】本题考查相反数、绝对值、倒数的含义，只有符号相反的两个数叫做互为相反数，数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，分子分母互换位置相乘等于1的两个数互为倒数，熟知定义是解题的关键．
变式1.（2023·海南·统考中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）

A．1B．0C．D．
【答案】A
【分析】根据数轴可知点A表示的数是，再根据相反数的定义，即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是，的相反数是，故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
变式2．（2023·山东·统考中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（ ）
A．9的平方根B．9的算术平方根C．9的立方根D．5的算术平方根
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵面积等于边长的平方，∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根．故选B．
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
变式3．（2023年江苏中考一模）的平方根是 ．
【答案】±2
【详解】解：∵∴的平方根是±2．故答案为±2．
例4：（2023·陕西西安·校考模拟预测）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则可化简为 ．

【答案】/
【分析】根据数轴上的点的位置，确定式子的符号，再进行绝对值的化简即可．
【详解】解：从图中可以看出，，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查化简绝对值，整式的加减运算．解题关键是根据数轴上的点的位置，确定式子的符号．
变式1．（2023·山东青岛·校考一模）设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ．
【答案】，0
【分析】此题要分类讨论a，b，c与0的关系，然后根据绝对值的性质进行求解；
【详解】解：∵a，b，c为有理数，
①若，∴；
②若a，b，c中有两个负数，则，∴，
③若a，b，c中有一个负数，则，∴，
④若a，b，c中有三个负数，则，∴，故答案为：，0．
【点睛】此题主要考查绝对值的性质，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值，还考查了分类讨论的思想，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
变式2．（2023·河北沧州·统考模拟预测）若三条边长为，，化简： ．
【答案】
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到，，再根据绝对值性质化简即可求解．
【详解】解：根据三角形的三边关系得：，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的化简和三角形三条边的关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，是解答本题的关键．
例5：（2022·贵州黔东南·中考真题）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．
【答案】B
【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解．
【详解】解：如图，由可得：点、、分别表示数、2、，．
的几何意义是线段与的长度之和，
当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，．
取得最小值时，的取值范围是；故选B．
【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解．
变式1．（2023·江苏·九年级校考期中）点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为，利用数轴上两点间距离，可以得到的最大值是______．
【答案】4
【分析】分、、三种情况进行讨论求解，分别确定最大值即可得出结论．
【详解】解：根据题意，表示x到-1和3的距离之差，又-1和3的距离为，则
当时，；
当时，，则，此时无最大值；
当时，，
综上，的最大值为4，故答案为：4．
【点睛】本题考查数轴和绝对值的意义，理解题意，利用分类讨论思想求解是解答的关键．
变式2．（2023秋·广东梅州·九年级期中）已知 是正实数，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案.
【详解】解：
当时，有最小值.
故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思.
核心考点3. 实数的大小 比较
例6．（2023·浙江衢州·统考中考真题）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答．
【详解】解：，则信号最强的是，故选：A．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关键．
变式1．（2023·江苏·统考中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义，逐项求出相反数，进行比较即可．
【详解】解：A. 的相反数是，则，故该选项符合题意；
B. 的相反数是，则，故该选项不符合题意；
C. 的相反数是，则，故该选项不符合题意；
B. 的相反数是，则，故该选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，比较有理数的大小，解题的关键是先求出相反数，再进行比较．
变式2．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）下列四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质分别计算比较即可．
【详解】解：，绝对值最大的数是．故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，绝对值表示在数轴上代表一个数的点到原点的距离．
变式3．（2021·四川资阳市·中考真题）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据无理数的估算进行大小比较．
【详解】解：∵，又∵，∴故选：C．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根，求一个数的立方根及无理数的估算，理解相关概念是解题关键．
例7：（2023·江苏徐州·统考中考真题）的值介于（ ）
A．25与30之间B．30与35之间C．35与40之间D．40与45之间
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案．
【详解】解∶∵．∴即，
∴的值介于40与45之间．故选D．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解题关键．
变式1．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，数轴上，，，，五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数的点应在（ ）

A．线段上B．线段上C．线段上D．线段上
【答案】C
【分析】根据判断即可．
【详解】，，
由于数轴上，，，，五个点分别表示数1，2，3，4，5，的点应在线段上，故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算的方法是解题的关键．
变式2．（2023·湖北武汉·统考中考真题）写出一个小于4的正无理数是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据无理数估算的方法求解即可．
【详解】解：∵，∴．故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．
核心考点4. 实数的运算
例8：（2023·湖南湘西·统考中考真题）计算：．
【答案】1
【分析】先计算零次幂，特殊角的正弦值，负指数幂，求解绝对值，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础也是重要知识点，必须熟练掌握，同时考查了特殊角的三角函数值，零次幂的含义，熟练掌握零次幂，特殊角的正弦值以及负指数幂的运算法则是解题的关键．
变式1．（2023·山东·统考中考真题）计算： ．
【答案】1
【分析】根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再进行加减计算即可．
【详解】解： 故答案为：1．
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键．
变式2．（2023·北京·统考中考真题）计算：．
【答案】
【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键．
例9：（2022·山东烟台·中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．
【答案】（5-3+2）×6（答案不唯一）
【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：（5-3+2）×6＝24，故答案为：（5-3+2）×6（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键．
变式1．（2023·浙江·一模）十字路口红绿灯时长设置是根据路口的实际车流状况来分配的，据统计，某十字路口每天的车流量中，东西走向直行与左转车辆分别约占总流量，南北走向直行与左转车辆分别约占总流量．因右转车辆不受红绿灯限制，所以在设置红绿灯时，按东西走向直行、左转，南北走向直行、左转的次序依次亮起绿灯作为一个周期时间（当某方向绿灯亮起时，其他3个方向全为红灯），若一个周期时间为2分钟，则应设置南北走向直行绿灯时长较为合理的是（ ）
A．12秒B．16秒C．18秒D．24秒
【答案】B
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是重新计算比例，而非直接用．先重新计算南北走向直行流量占比，再用120乘以占比可得一个周期时间为2分钟南北走向直行绿灯时长．
【详解】解：右转车辆不受红绿灯限制，
南北走向直行占题四种走向流量的比例为：，
一个周期时间为2分钟，设置南北走向直行绿灯时长为，故选：B．
例10：（2023年山东省菏泽市中考数学真题）的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形．
【详解】解∵
又∵ ∴，∴解得 ，
∴，且，∴为等腰直角三角形，故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．
变式1.（2023·湖北荆州·统考中考真题）若，则 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解．
【详解】解：∵，∴，解得：，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键．
例11：（2023年湖南省娄底市中考数学真题）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（，n、m为正整数）；例如：，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
A选项，，B选项，，
C选项，，D选项，，故选C．
【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值．正确理解新定义是解题的关键．
变式1．（2023·山东枣庄·统考一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（ ）
A．B．2C．1D．4
【答案】A
【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，∴
∴．故选：A．
【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键．
变式2．（2023·福建·中考模拟）一般地，如果，则称为的四次方根，一个正数的四次方根有两个．它们互为相反数，记为，若，则_____．
【答案】
【分析】利用题中四次方根的定义求解．
【解析】∵，∴，∴.故答案为.
【点睛】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
核心考点5.科学记数法与近似数
例12：（2023·广东深圳·校考模拟预测）2023年1月，国家电影局统计数据显示截至1月31日18：00，今年中国电影总票房已超100亿元人民币，创历年来1月票房最高纪录，将“100亿”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将100亿改写成，再用科学记数法表示即可解答．
【详解】解：100亿 故选C
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
变式1．（2023·海南·统考中考真题）共享开放机遇，共创美好生活．2023年4月10日至15日，第三届中国品博览会在海南省海口市举行，以“打造全球消费精品展示交易平台”为目标，进场观众超32万人次，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
变式2．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数．
【详解】解：2270000用科学记数法表示为 ，故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
例13：（2023·山东潍坊·统考一模）下列关于近似数的说法中正确的是（ ）
A．近似数精确到百位B．近似数万精确到百分位
C．近似数精确到千位D．近似数精确到千分位
【答案】C
【分析】根据近似数与有效数字的定义对每一项分别进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A．近似数精确到个位，此选项不合题意；
B．近似数万精确到百位，此选项不合题意；
C．近似数精确到千位，此选项符合题意；
D．近似数精确到万分位，此选项不合题意．故选：C．
【点睛】此题考查了近似数与有效数字，掌握近似数与有效数字的意义是正确判定的关键．
变式1．（2023·湖南长沙·统考二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？（ ）
A．万位B．十万位C．百万位D．亿位
【答案】B
【分析】根据近似数的精确度求解即可．
【详解】解：数据亿精确到的位数是十万位．故选：B．
【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
变式2．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）截止6月10日，上海世博会累计入园人数已达万．将万人用科学记数法（四舍五入保存3个有效数字）表示约为（ ）
A．人B．人C．人D．人
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．由于万有8位，所以可以确定．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
【详解】解：万人人，故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字确实定方法，用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无