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考点03分式（精练）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版
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这是一份考点03分式（精练）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版，文件包含考点03分式精练原卷版docx、考点03分式精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
限时检测1：最新各地模拟试题（40分钟）
1.（2023·河北承德·联考模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若式子有意义，则x的取值范围是或
B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变
C．分式的值不可能等于0
D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个
【答案】A
【分析】直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案．
【详解】A. 若式子有意义，则x的取值范围是且，故原选项不正确，符合题意；
B. 分式中的x、y都扩大原来的2倍，，所以分式的值不变，故原选项正确，不符合题意；C. 分式，当且时，此分式的值不等于0，此时x无解，所以分式的值不可能等于0，故原选项正确，不符合题意；
D. 若表示一个整数，则整数x可取值是，共有4个，故原选项正确，不符合题意；故选：A
【点睛】此题主要考查了分式的性质、分式的值为0的条件、分式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
2．（2023·江苏·校考模拟预测）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断．
【详解】解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意；B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意；
分子是1，而1≠0，则≠0，故符合题意；D、当x=-1时，，故不合题意；故选C．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．（2023·河北沧州·模拟预测）若，则“（ ）”内应填（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：∵，∴“（ ）”内应填，故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解答本题的关键 熟练掌握分式的基本性质．
4．（2023·河北廊坊·校考三模）若分式，则（ ）
A． B． C． D．不存在，使得
【答案】D
【分析】根据题意可得，此方程组无解．
【详解】解：根据题意可得：，解得：，故无解，故选：D．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件为：分子为0，分母不为0，是解题的关键．
5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）小敏在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式*为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据“被除数除以除数等于商，则除数等于被除数除以商”即可求解．
【详解】根据题意可得，．
故选C．
【点睛】本题考查了分式的减法与除法混合运算，涉及通分、因式分解、合并同类项、约分等知识点，解题的关键是熟练正确运用分式的运算法则．
6．（2023·天津红桥·统考三模）计算的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】先通分，再计算分式减法，最后约分即可求解.
【详解】解：.故选：C.
【点睛】本题主要考查了异分母分式减法，通分和约分，理解相关知识是解答关键.
7．（2023·浙江·统考二模）下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：选项A，原式=，所以A选项错误；选项B，是最简分式，所以B选项正确；选项C，原式=，所以C选项错误；选项D，原式=，所以D选项错误．故选B．
考点：最简分式．
8．（2023·云南曲靖·统考一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案.
【详解】解：∵，，，，……∴第个代数式为：，
当是，第9个代数式为：，故选B
【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键.
9．（2023·河北沧州·统考二模）阅读图中给出的材料，比较与的大小（是正数）．下列判断正确的是（ ）
作差法：比较代数式，的大小，只要作出它们的差．
若，则；若，则；若，则．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分式的加减乘除法则计算，再根据，即可求解．
【详解】解：，
∵，，∴，∴，故选：C．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2023·河北石家庄·联考模拟预测）代数式的值为．则为整数值的个数有（ ）
A．0个B．7个C．8个D．无数个
【答案】B
【分析】先将分式进行化简，然后根据题意确定为整数的x的值，即可确定F的值的个数．
【详解】解：，
∵代数式的值为，且F为整数，∴为整数，且
∴的值为：，共7个，∴对应的F值有7个，故选：B．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值及分式有意义的条件是解题关键．
11．（2023·河北衡水·二模）已知，，，其中“”代表“＋、－、×、÷”中的一种运算符号，下列说法正确的是（ ）
A．若“”代表的是“＋”，则B．若“”代表的是“－”，则
C．若“”代表的是“×”，则D．若“”代表的是“÷”，则
【答案】A
【分析】当“”代表的是“＋”时，得出，计算的值的符号，即可得出M与N的大小关系，可判断A；当“”代表的是“－”，得出，与A同理，可判断B；当“”代表的是“×”和当“”代表的是“÷”时，由分式的基本性质即可判断C和D．
【详解】解：若“”代表的是“＋”，则，∴．
∵，∴，，∴，∴，故A正确，符合题意；
若“”代表的是“－”，则，∴．
∵，∴，，∴，∴，故B错误，不符合题意；
若“”代表的是“×”，则．∵，∴，故C错误，不符合题意；
若“”代表的是“÷”，则．∵，∴，故D错误，不符合题意．故选A．
【点睛】本题考查分式的基本性质和分式的混合运算．掌握分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变和分式的混合运算法则是解题关键．
12．（2023·福建厦门·九年级校考阶段练习）如果把分数的分子、分母分别加上正整数a、b，结果等于，那么的最小值是（ ）．
A．26B．28C．30D．32
【答案】B
【分析】根据题意，得，结合a、b为正整数，可知最小的a满足，最小的b满足．
【详解】解：根据题意，得，设，其中k为正整数．
两式相加，得．因为a、b为正整数，所以必为正整数．
所以，解得，，且k为正整数．
当时，，不合题意，舍去；
当时，；所以的最小值是28；故选：B．
【点睛】本题考查了函数的最值问题、分式的性质．本题利用分式的基本性质和两个分式相等的条件来解的，利用参数k求解是关键．注意并不满足题意，故的最小值不是6．
13．（2023·广东东莞·校考模拟预测）设n是大于1909的正整数，且是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n之和为( )
A．1959B．7954C．82D．3948
【答案】B
【分析】设，则，得到，再设是数的平方数，得到，再根据题意推出，据此求解即可．
【详解】解：设，则，
∴，再设是数的平方数，∴，∴，
∵是某个整数的平方数，，∴，
∴且a为正整数，∴，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
∴的值可以为、、、，
∴所有满足条件的n之和为，故选B．
【点睛】本题主要考查了完全平方数，分式的加减，正确理解题意是解题的关键．
14.（2023·河南信阳·校考三模）根据中国疾控中心“国家流感中心”发布的最新流感监测周报，2023年第8周，南、北方省份流感病毒检测阳性率继续上升，以甲流为主、亚型流感病毒共同流行．因此，生活中我们还是要做好防护、勤洗手，外出带好口罩．据了解，甲型流感病毒的直径大约是，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与绝对值大于1数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定解答．
【详解】解：．故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15．（2023·河南郑州·统考二模）请写出一个分式，并写出使其有意义的条件 ．
【答案】分式为，使其有意义的条件是（答案不唯一）
【分析】根据分式的定义和分式有意义的条件即可得．
【详解】解：写出的分式为，使其有意义的条件是，
故答案为：分式为，使其有意义的条件是（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式和分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键．
16．（2023·山东青岛·统考一模）临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为5000元，出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少 元．（用最简分式表示）
【答案】
【分析】原有的员工每人分担的车费-实际每人分担的车费，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：=故答案为：．
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确表示出平均每人分担的车费数是解题关键．
17．（2023·安徽芜湖·统考二模）化简：＝ ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式、平方差公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
【详解】解：原式，故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
18.（2023·渝中·重庆巴蜀中学九年级月考）若分式的值为正数，则x的取值范围为_____．
【答案】
【分析】先说明分母是非负数，再根据分式的值是正数列式进行计算即可得解．
【详解】∵∴∵分式的值为正数∴∴故答案为．
【点睛】此题考查了根据分式的值的求解，利用非负数的性质判断出分子大于0是解题的关键．
19．（2023·内蒙古·二模）分式的最简公分母是________， =__________
【答案】
【分析】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，的最简公分母为：
∴
故答案为：，
【点睛】本题考查了因式分解和公分母，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20．（2023·广东佛山·校考三模）（1）化简：
（2）是否存在整数x，使得（1）式中的结果也是整数？若有，请求出x的值，若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当x=-3时，使得（1）式中的结果也是整数；理由见解析；
【分析】（1）根据分式的运算法则，结合因式分解通分、约分；
（2）由（1）化简结果，代入整数验证即可；
【详解】解：（1）原式===；
（2）有，x=-3，由的值为整数，可得分母是1或-1且x符合取值范围，
当x=-3时，=1，∴当x=-3时，使得（1）式中的结果也是整数；
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握相关运算法则是解题关键．
21．（2023·福建福州·统考模拟预测）下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题．
，其中的值从的整数解中选取．
第一步
第二步
第三步
第四步
问题：
(1)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是_________．
(2)以上化简步骤中，第三步用到的运算是___________．（填“整式乘法”或“因式分解”）
(3)请写出此题正确的解题过程，并从中，取一个合适的整数值求分式的值．
【答案】(1)一，分式的减法计算错误(2)因式分解(3)，时，原式
【分析】（1）根据分式的混合运算即可求解；（2）根据因式分解定义即可求解；
（3）根据分式的混合运算化简，分式有意义的条件求得的值，代入即可求解．
【详解】（1）解：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是分式的减法计算错误，
故答案为：一，分式的减法计算错误．
（2）解：以上化简步骤中，第三步用到的运算是因式分解，故答案为：因式分解．
（3）解：，
∵，为整数，且，∴，∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．
22．（2023·湖南湘潭市·中考模拟）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
【答案】2
【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：，
当时，原式
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
23．（2023·北京中考模拟）阅读下面的解题过程：
已知，求代数式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，∴．
这种解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知，求的值．
【答案】
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解后约分得到原式利用倒数法由已知条件得到然后把左边化为真分式后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：原式，
∵，∴，
∴原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
24．（2023·山西大同·统考三模）阅读与思考
下面是小宇同学课外阅读的一则数学材料，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：(1)分式是__________分式（填“真”或“假”）；将假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为__________．(2)请将化为一个整式与一个真分式的和的形式．
(3)若分式的值为整数，请根据（2）的结果直接写出符合条件的2个的值．
【答案】(1)真；(2)(3)或
【分析】（1）根据定义，例题，化为一个整式与一个真分式的和的形式；（2）根据方法一、化为一个整式与一个真分式的和的形式；（3）根据题意可得是整数，进而即可求解．
【详解】（1）解：根据定义，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，
∴是真分式， 故答案为：真；．
（2）解：∵
（3）解：由（2）可得
∵的值为整数，∴是整数，∴∴或．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
限时检测2：最新各地中考真题（40分钟）
1.（2023·浙江湖州·统考中考真题）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】A
【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．
【详解】解：依题意得：且，解得．故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
2.（2023·贵州·统考中考真题）化简结果正确的是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减运算法则，准确计算．
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．
【详解】解：．故选D．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则．
4．（2023年湖北省武汉市数学真题）已知，计算的值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把代入原式即可求出答案．
【详解】解：===，
∵，∴，∴原式==1，故选A.
【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
5．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果．
【详解】解：，
∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，∴原式=，故选：B．
【点睛】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
6．（2021·广西百色·统考中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15B．﹣3C．3D．15
【答案】A
【分析】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
【详解】解：
把代入上式中 原式 故选A.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.
7. （2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【详解】解：∵，∴，即，∴，∴，故选：C．
【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
8．（2023·山东日照·统考中考真题）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】科学计数法的记数形式为：，其中，当数值绝对值大于1时，是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，是小数点向左移动的位数的相反数．
【详解】解：，故选A．
【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键．
9．（2023·四川广安·统考中考真题）函数中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】x≥-2且x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论．
【详解】解：由题意可得解得x≥-2且x≠1故答案为：x≥-2且x≠1．
【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键．
10．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．
【答案】
【分析】由第一次操作可得：，则，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，可得，解得，再代入化简即可．
【详解】解：由第一次操作可得：，∴，
设第二次操作时每位同学向后移动了x米，则，
∴，故答案为：
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键．
11．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．
【答案】
【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
【详解】=
故答案为
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
12．（2022·四川成都·统考中考真题）已知，则代数式的值为_________．
【答案】/3.5/3
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；
【详解】解：＝＝＝
＝＝．，移项得，
左边提取公因式得，两边同除以2得，
∴原式＝．故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
【答案】
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【详解】解：；；
；，，
当时，原式，故答案为：．
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
14．（2023年福建省中考真题数学试题）已知，且，则的值为 ．
【答案】1
【分析】根据可得，即，然后将整体代入计算即可．
【详解】解：∵∴，
∴，即．∴．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到是解答本题的关键．
15．（2023·湖南张家界·统考中考真题）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
【答案】，
【分析】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可．
【详解】解：原式，
∵，当时原式．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
16．（2023·吉林·统考中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
【答案】，，，过程见解析
【分析】先根据通分的步骤得到M，再对原式进行化简，最后代入计算即可．
【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，∴，∴，
原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．
17．（2023·广东广州·统考中考真题）已知，代数式：，，．
(1)因式分解A；(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】(1) (2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：①当选择A、B时：，；
②当选择A、C时：，；
③当选择B、C时：，．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法．
18．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)一(2)见解析
【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：故第一步错误．
故答案为：一．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．
19.（2023年江苏省盐城市中考数学真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知，，，试比较与的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较与的大小．
小华：∵， ∴．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：__________．（填“”“”或“”）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据作差法求的值即可得出答案；（2）根据作差法求的值即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，，；
（2）解：，．故答案为：．
【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．
20．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明．
(1)解：∵第一个式子，第二个式子，
第三个式子，……∴第（n+1）个式子；
(2)解：∵右边==左边，
∴．
【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律
“真分式”与“假分式”
我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如，…这样的分式是假分式；如，…这样的分式是真分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下：
．
将分式化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下：
方法1：．
方法2：由于分母为，可设（，为常数），
，
．
，解得．
．
这样，分式就被化成了一个整式与一个真分式的和的形式．
例 先化简，再求值：，其中．
解：原式
……
解：原式…………第一步
…………第二步
…………第三步
……
限时检测1：最新各地模拟试题（40分钟）
1.（2023·河北承德·联考模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若式子有意义，则x的取值范围是或
B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变
C．分式的值不可能等于0
D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个
【答案】A
【分析】直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案．
【详解】A. 若式子有意义，则x的取值范围是且，故原选项不正确，符合题意；
B. 分式中的x、y都扩大原来的2倍，，所以分式的值不变，故原选项正确，不符合题意；C. 分式，当且时，此分式的值不等于0，此时x无解，所以分式的值不可能等于0，故原选项正确，不符合题意；
D. 若表示一个整数，则整数x可取值是，共有4个，故原选项正确，不符合题意；故选：A
【点睛】此题主要考查了分式的性质、分式的值为0的条件、分式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
2．（2023·江苏·校考模拟预测）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断．
【详解】解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意；B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意；
分子是1，而1≠0，则≠0，故符合题意；D、当x=-1时，，故不合题意；故选C．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．（2023·河北沧州·模拟预测）若，则“（ ）”内应填（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：∵，∴“（ ）”内应填，故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解答本题的关键 熟练掌握分式的基本性质．
4．（2023·河北廊坊·校考三模）若分式，则（ ）
A． B． C． D．不存在，使得
【答案】D
【分析】根据题意可得，此方程组无解．
【详解】解：根据题意可得：，解得：，故无解，故选：D．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件为：分子为0，分母不为0，是解题的关键．
5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）小敏在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式*为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据“被除数除以除数等于商，则除数等于被除数除以商”即可求解．
【详解】根据题意可得，．
故选C．
【点睛】本题考查了分式的减法与除法混合运算，涉及通分、因式分解、合并同类项、约分等知识点，解题的关键是熟练正确运用分式的运算法则．
6．（2023·天津红桥·统考三模）计算的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】先通分，再计算分式减法，最后约分即可求解.
【详解】解：.故选：C.
【点睛】本题主要考查了异分母分式减法，通分和约分，理解相关知识是解答关键.
7．（2023·浙江·统考二模）下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：选项A，原式=，所以A选项错误；选项B，是最简分式，所以B选项正确；选项C，原式=，所以C选项错误；选项D，原式=，所以D选项错误．故选B．
考点：最简分式．
8．（2023·云南曲靖·统考一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案.
【详解】解：∵，，，，……∴第个代数式为：，
当是，第9个代数式为：，故选B
【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键.
9．（2023·河北沧州·统考二模）阅读图中给出的材料，比较与的大小（是正数）．下列判断正确的是（ ）
作差法：比较代数式，的大小，只要作出它们的差．
若，则；若，则；若，则．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分式的加减乘除法则计算，再根据，即可求解．
【详解】解：，
∵，，∴，∴，故选：C．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2023·河北石家庄·联考模拟预测）代数式的值为．则为整数值的个数有（ ）
A．0个B．7个C．8个D．无数个
【答案】B
【分析】先将分式进行化简，然后根据题意确定为整数的x的值，即可确定F的值的个数．
【详解】解：，
∵代数式的值为，且F为整数，∴为整数，且
∴的值为：，共7个，∴对应的F值有7个，故选：B．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值及分式有意义的条件是解题关键．
11．（2023·河北衡水·二模）已知，，，其中“”代表“＋、－、×、÷”中的一种运算符号，下列说法正确的是（ ）
A．若“”代表的是“＋”，则B．若“”代表的是“－”，则
C．若“”代表的是“×”，则D．若“”代表的是“÷”，则
【答案】A
【分析】当“”代表的是“＋”时，得出，计算的值的符号，即可得出M与N的大小关系，可判断A；当“”代表的是“－”，得出，与A同理，可判断B；当“”代表的是“×”和当“”代表的是“÷”时，由分式的基本性质即可判断C和D．
【详解】解：若“”代表的是“＋”，则，∴．
∵，∴，，∴，∴，故A正确，符合题意；
若“”代表的是“－”，则，∴．
∵，∴，，∴，∴，故B错误，不符合题意；
若“”代表的是“×”，则．∵，∴，故C错误，不符合题意；
若“”代表的是“÷”，则．∵，∴，故D错误，不符合题意．故选A．
【点睛】本题考查分式的基本性质和分式的混合运算．掌握分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变和分式的混合运算法则是解题关键．
12．（2023·福建厦门·九年级校考阶段练习）如果把分数的分子、分母分别加上正整数a、b，结果等于，那么的最小值是（ ）．
A．26B．28C．30D．32
【答案】B
【分析】根据题意，得，结合a、b为正整数，可知最小的a满足，最小的b满足．
【详解】解：根据题意，得，设，其中k为正整数．
两式相加，得．因为a、b为正整数，所以必为正整数．
所以，解得，，且k为正整数．
当时，，不合题意，舍去；
当时，；所以的最小值是28；故选：B．
【点睛】本题考查了函数的最值问题、分式的性质．本题利用分式的基本性质和两个分式相等的条件来解的，利用参数k求解是关键．注意并不满足题意，故的最小值不是6．
13．（2023·广东东莞·校考模拟预测）设n是大于1909的正整数，且是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n之和为( )
A．1959B．7954C．82D．3948
【答案】B
【分析】设，则，得到，再设是数的平方数，得到，再根据题意推出，据此求解即可．
【详解】解：设，则，
∴，再设是数的平方数，∴，∴，
∵是某个整数的平方数，，∴，
∴且a为正整数，∴，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
∴的值可以为、、、，
∴所有满足条件的n之和为，故选B．
【点睛】本题主要考查了完全平方数，分式的加减，正确理解题意是解题的关键．
14.（2023·河南信阳·校考三模）根据中国疾控中心“国家流感中心”发布的最新流感监测周报，2023年第8周，南、北方省份流感病毒检测阳性率继续上升，以甲流为主、亚型流感病毒共同流行．因此，生活中我们还是要做好防护、勤洗手，外出带好口罩．据了解，甲型流感病毒的直径大约是，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与绝对值大于1数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定解答．
【详解】解：．故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15．（2023·河南郑州·统考二模）请写出一个分式，并写出使其有意义的条件 ．
【答案】分式为，使其有意义的条件是（答案不唯一）
【分析】根据分式的定义和分式有意义的条件即可得．
【详解】解：写出的分式为，使其有意义的条件是，
故答案为：分式为，使其有意义的条件是（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式和分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键．
16．（2023·山东青岛·统考一模）临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为5000元，出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少 元．（用最简分式表示）
【答案】
【分析】原有的员工每人分担的车费-实际每人分担的车费，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：=故答案为：．
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确表示出平均每人分担的车费数是解题关键．
17．（2023·安徽芜湖·统考二模）化简：＝ ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式、平方差公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
【详解】解：原式，故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
18.（2023·渝中·重庆巴蜀中学九年级月考）若分式的值为正数，则x的取值范围为_____．
【答案】
【分析】先说明分母是非负数，再根据分式的值是正数列式进行计算即可得解．
【详解】∵∴∵分式的值为正数∴∴故答案为．
【点睛】此题考查了根据分式的值的求解，利用非负数的性质判断出分子大于0是解题的关键．
19．（2023·内蒙古·二模）分式的最简公分母是________， =__________
【答案】
【分析】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，的最简公分母为：
∴
故答案为：，
【点睛】本题考查了因式分解和公分母，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20．（2023·广东佛山·校考三模）（1）化简：
（2）是否存在整数x，使得（1）式中的结果也是整数？若有，请求出x的值，若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当x=-3时，使得（1）式中的结果也是整数；理由见解析；
【分析】（1）根据分式的运算法则，结合因式分解通分、约分；
（2）由（1）化简结果，代入整数验证即可；
【详解】解：（1）原式===；
（2）有，x=-3，由的值为整数，可得分母是1或-1且x符合取值范围，
当x=-3时，=1，∴当x=-3时，使得（1）式中的结果也是整数；
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握相关运算法则是解题关键．
21．（2023·福建福州·统考模拟预测）下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题．
，其中的值从的整数解中选取．
第一步
第二步
第三步
第四步
问题：
(1)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是_________．
(2)以上化简步骤中，第三步用到的运算是___________．（填“整式乘法”或“因式分解”）
(3)请写出此题正确的解题过程，并从中，取一个合适的整数值求分式的值．
【答案】(1)一，分式的减法计算错误(2)因式分解(3)，时，原式
【分析】（1）根据分式的混合运算即可求解；（2）根据因式分解定义即可求解；
（3）根据分式的混合运算化简，分式有意义的条件求得的值，代入即可求解．
【详解】（1）解：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是分式的减法计算错误，
故答案为：一，分式的减法计算错误．
（2）解：以上化简步骤中，第三步用到的运算是因式分解，故答案为：因式分解．
（3）解：，
∵，为整数，且，∴，∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．
22．（2023·湖南湘潭市·中考模拟）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
【答案】2
【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：，
当时，原式
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
23．（2023·北京中考模拟）阅读下面的解题过程：
已知，求代数式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，∴．
这种解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知，求的值．
【答案】
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解后约分得到原式利用倒数法由已知条件得到然后把左边化为真分式后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：原式，
∵，∴，
∴原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
24．（2023·山西大同·统考三模）阅读与思考
下面是小宇同学课外阅读的一则数学材料，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：(1)分式是__________分式（填“真”或“假”）；将假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为__________．(2)请将化为一个整式与一个真分式的和的形式．
(3)若分式的值为整数，请根据（2）的结果直接写出符合条件的2个的值．
【答案】(1)真；(2)(3)或
【分析】（1）根据定义，例题，化为一个整式与一个真分式的和的形式；（2）根据方法一、化为一个整式与一个真分式的和的形式；（3）根据题意可得是整数，进而即可求解．
【详解】（1）解：根据定义，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，
∴是真分式， 故答案为：真；．
（2）解：∵
（3）解：由（2）可得
∵的值为整数，∴是整数，∴∴或．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
限时检测2：最新各地中考真题（40分钟）
1.（2023·浙江湖州·统考中考真题）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】A
【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．
【详解】解：依题意得：且，解得．故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
2.（2023·贵州·统考中考真题）化简结果正确的是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减运算法则，准确计算．
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．
【详解】解：．故选D．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则．
4．（2023年湖北省武汉市数学真题）已知，计算的值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把代入原式即可求出答案．
【详解】解：===，
∵，∴，∴原式==1，故选A.
【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
5．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果．
【详解】解：，
∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，∴原式=，故选：B．
【点睛】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
6．（2021·广西百色·统考中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15B．﹣3C．3D．15
【答案】A
【分析】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
【详解】解：
把代入上式中 原式 故选A.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.
7. （2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【详解】解：∵，∴，即，∴，∴，故选：C．
【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
8．（2023·山东日照·统考中考真题）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】科学计数法的记数形式为：，其中，当数值绝对值大于1时，是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，是小数点向左移动的位数的相反数．
【详解】解：，故选A．
【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键．
9．（2023·四川广安·统考中考真题）函数中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】x≥-2且x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论．
【详解】解：由题意可得解得x≥-2且x≠1故答案为：x≥-2且x≠1．
【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键．
10．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．
【答案】
【分析】由第一次操作可得：，则，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，可得，解得，再代入化简即可．
【详解】解：由第一次操作可得：，∴，
设第二次操作时每位同学向后移动了x米，则，
∴，故答案为：
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键．
11．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．
【答案】
【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
【详解】=
故答案为
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
12．（2022·四川成都·统考中考真题）已知，则代数式的值为_________．
【答案】/3.5/3
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；
【详解】解：＝＝＝
＝＝．，移项得，
左边提取公因式得，两边同除以2得，
∴原式＝．故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
【答案】
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【详解】解：；；
；，，
当时，原式，故答案为：．
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
14．（2023年福建省中考真题数学试题）已知，且，则的值为 ．
【答案】1
【分析】根据可得，即，然后将整体代入计算即可．
【详解】解：∵∴，
∴，即．∴．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到是解答本题的关键．
15．（2023·湖南张家界·统考中考真题）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
【答案】，
【分析】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可．
【详解】解：原式，
∵，当时原式．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
16．（2023·吉林·统考中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
【答案】，，，过程见解析
【分析】先根据通分的步骤得到M，再对原式进行化简，最后代入计算即可．
【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，∴，∴，
原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．
17．（2023·广东广州·统考中考真题）已知，代数式：，，．
(1)因式分解A；(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】(1) (2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：①当选择A、B时：，；
②当选择A、C时：，；
③当选择B、C时：，．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法．
18．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)一(2)见解析
【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：故第一步错误．
故答案为：一．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．
19.（2023年江苏省盐城市中考数学真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知，，，试比较与的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较与的大小．
小华：∵， ∴．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：__________．（填“”“”或“”）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据作差法求的值即可得出答案；（2）根据作差法求的值即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，，；
（2）解：，．故答案为：．
【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．
20．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明．
(1)解：∵第一个式子，第二个式子，
第三个式子，……∴第（n+1）个式子；
(2)解：∵右边==左边，
∴．
【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律
“真分式”与“假分式”
我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如，…这样的分式是假分式；如，…这样的分式是真分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下：
．
将分式化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下：
方法1：．
方法2：由于分母为，可设（，为常数），
，
．
，解得．
．
这样，分式就被化成了一个整式与一个真分式的和的形式．
例 先化简，再求值：，其中．
解：原式
……
解：原式…………第一步
…………第二步
…………第三步
……
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