考点08一次不等式（组）（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版

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一次不等式（组）主要考查依据题意列不等式并解决问题、不等式（组）的解法，体现了不等式的工具性，年年考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右。预计2024年各地中考还将继续考查这些知识点，重要题型有解不等式（组）、不等式含参（难度相对大点）、不等式相关的应用题以及不等式的性质，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【知识清单】
1：不等式及不等式的基本性质（☆☆）
1）不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2）不等式的基本性质
3）不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解。
2：一元一次不等式（☆☆）
1）一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次，这样的不等式叫一元一次不等式。
2）解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）。
3：一元一次不等式组（☆☆☆）
1）一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。
2）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
3）一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解。
4）几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
4：不等式（组）的实际应用（☆☆☆）
列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案。
注意：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等。列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接。
【易错点归纳】
1. 不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母。
2. 运用不等式的性质进行不等式变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数,不等号要改变方向。
3. 一元一次不等式满足的条件：
①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1。
4. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
【核心考点】
核心考点1. 不等式及不等式的基本性质
例1：（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（ ）
A．R至少B．R至多C．R至少D．R至多
变式1．（2023·广东深圳·统考二模）农户利用“立体大棚种植技术”把毛豆和芹菜进行混种．已知毛豆齐苗后棚温在最适宜，播种芹菜的最适宜温度是．农户在毛豆齐苗后在同一大棚播种了芹菜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（ ）
A．B．C．D．以上
例2：（2023·四川德阳·统考中考真题）如果，那么下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023年北京市中考数学真题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·河北秦皇岛·统考二模）在复习不等式的性质时，张老师给出以下两个说法：
①不等式一定不成立，因为不等式两边同时除以，会出现的错误结论；
②如果，那么一定会得到；
下列判断正确的是 （ ）
A．①√，②×B．①×，②×C．①√，②√D．①×，②√
例3：（2023·浙江绍兴市·统考模拟预测）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A．B．C．D．与a、b大小无关
变式1．（2023·浙江舟山·统考三模）观察：，，，．
(1)猜想：当时，______，______，______（“>”“＝”“<”填空）
(2)探究：当时，与（其中n为正整数）的大小关系，并说明理由．
例4：（2022·广西桂林·中考真题）把不等式x﹣1＜2的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（2023·重庆一模）不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式2. （2023·广西·统考模拟预测）如图，在数轴上表示x的取值范围是________．

核心考点2.一元一次不等式
例5：（2023·浙江·九年级专题练习）下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式1．（2022·黑龙江·九年级期中）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为________．
变式2．（2022·山西忻州·九年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解
例6：（2023·绵阳市·统考模拟预测）解不等式．
变式1．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）解不等式： ．
变式2．（2023·四川眉山·一模）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是__ ．
核心考点3.一元一次不等式组
例7：（2023年广东广州中考数学真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B． C． D．
变式1．（2023年四川省德阳市中考数学真题）不等式组，的解集是（ ）
A．B．C．D．无解
变式2．（2023·四川成都·统考中考真题）（1）计算：．
（2）解不等式组：
变式3．（2023·四川乐山·统考模拟预测）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以原不等式组解集为______．
例8：（2023年四川省宜宾中考数学真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ．
变式1．（2023年湖北省鄂州市中考数学真题）已知不等式组的解集是，则（ ）
A．0B．C．1D．2023
变式2．（2023年四川省眉山市中考数学真题）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023年四川省遂宁市中考数学真题）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例9：（2023·九龙县九年级期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式2x+y>8，则m的值是_____．
变式1．（2023·浙江杭州市·九年级模拟）已知方程组的解为正数，求a的取值范围是_______．
变式2．（2023·浙江金华市·九年级期中）若不等式组有解，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·安岳县九年级期中）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3B．a≥3C．a＞3D．a≤3
例10：（2023·辽宁九年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”
有①或②
解不等式组①得x＞3，解不等式组②得x＜﹣3
故原不等式的解集为：x＞3或x＜﹣3
问题：求不等式的解集．
变式1．（2023·宁夏·石嘴山九年级阶段练习）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
变式2．（2023·四川九年级期末）先阅读理解下列例题：
例题：解一元二次不等式
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ②
解不等式组①得；解不等式组②得
∴一元二次不等式的解集是或
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
核心考点4. 不等式（组）的实际应用
例11：（2023·北京石景山·七年级期末）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是_____；使代数式的值小于20的最大整数x是__________．
变式1．（2023·湖北黄陂·九年级期末）如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则该程序需要运行________次才停止；若该程序只运行了次就停止了，则的取值范围是________．
例12：（2023·射阳县九年级期中）有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为_____．
变式1.（2022·宁波市鄞州区九年级期中）一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对了_______道题．
变式2．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在九年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？(2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？
例13：（2023·山东济宁市·九年级期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超过18分钟的时间内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑( )
A．3分钟B．4分钟C．4.5分钟D．5分钟
变式1．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2023·浙江绍兴市·九年级模拟）某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电结，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公可，同时可获得政府补贴0.52元/度．（1）求这个月晴天的天数；（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
例14：（2023·四川达州·统考中考真题）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；(2)某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
变式1．（2021·四川攀枝花·统考中考真题）某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式2．（2023·四川广安·统考中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元．(1)种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费
理论依据
式子表示
性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
若，则
性质2
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
若，，则或
性质3
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
若，，则或
不等式组
（其中）
数轴表示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解
大大、小小取不了