考点13二次函数的应用（精练）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版

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1．（2023·广东深圳·校考模拟预测）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．有下列结论：
①；②池底所在抛物线的解析式为；③池塘最深处到水面的距离为；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（2023·山西大同·校联考模拟预测）生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强；在最适温度时，酶的活性最强；超过一定温度范围，酶的活性又随温度的开高逐渐减弱，甚至会失去活性现已知某种酶的活性值（单位：）与温度（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性值为 ．

3．（2023·广东深圳·校考模拟预测）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．

下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．
在d和h这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数；
(2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：①求该函数的解析式：②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米?（，精确到0.1米）

4．（2023·山东临沂·统考一模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为、高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）。(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围

5．（2023·浙江温州·校联考三模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设置“绿波带”？
素材1：某市为新路段设置“绿波带”，车辆驶入绿波带后，若以一定速度行驶，到达下个路口时会遇到绿灯，可节约能源．如图，，两路口停车线之间距离为米，两个交通信号灯的绿灯持续时间均为秒，处绿灯亮起秒后处绿灯第一次亮起．

素材2：第1辆车的车头与停车线平齐，后面相邻两车的车头相距米，绿灯亮起时第一辆车立即启动，后面每一辆车在前一辆车启动秒后再启动．车辆启动后，先加速，到一定速度后匀速行驶．在加速阶段，汽车的速度与时间的关系如下表所示，行驶路程与速度、时间的关系满足．
素材3：路口车流量显示：绿灯持续时间应少于秒（为整数），每一次绿灯一个车道内能通过的等候车辆数为辆（车头超过停车线即为通过），且每辆车加速通过路口．
任务1：用含的代数式表示，并求关于的函数表达式：
任务2：求第辆车从启动到车头到达停车线的时间以及绿灯持续时间的值．
任务3：路口绿灯亮起后，第一辆车的匀速车速处于什么范围时，可在路口绿灯第一次亮起期间通过停车线？
6．（2023·河南周口·校联考三模）放风筝是人们喜爱的户外运动，我国很多城市有风筝节．潍坊风筝节上放飞中国空间站并实现神舟号与空间站的对接让渺渺震撼不已，并打算仿制一个水母风筝．如图所示，水母的头部是一个近似的抛物线，渺渺以白纸的左下角为原点 建立了一个直角坐标系并在其中绘制了连续的几个水母头部．若最左侧的抛物线可以用表示．抛物线上、两点到纸的最底端距离均为，到纸的左侧的距离分别为．
(1)求第一个抛物线的函数关系式并求出图案最高点到纸的最底端距离；
(2)如果这张纸长为，渺渺最多可以连续绘制几个水母头部的图案?

7．（2023·安徽·统考模拟预测）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：）满足二次函数．测得部分数据如下表：
(1)求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(2)有一辆该型号汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请问司机是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由；(3)制造车间生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在 范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围．
8．（2023·河南洛阳·校联考一模）如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段是竖直高度为6米的平台，滑道分为两部分，其中段是双曲线，段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，B点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点D距的水平距离为8米，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，距直线的水平距离为x．
(1)请求出滑道段y与x之间的函数关系式；(2)当滑行者滑到C点时，距地面的距离为1米，求滑行者此时距滑道起点A的水平距离；(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于，，求长度的取值范围．

9．（2023·安徽滁州·校考二模）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点做水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小刘从点正上方点滑出，滑出后沿一段抛物线 运动．
(1)小山坡最高处的高度是 米；(2)小刘在某次训练中，滑到离处的水平距离为6米时，达到滑行的最大高度米（相对于水平线），在这次训练中，当小刘滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？(3)小刘若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．
10．（2023·江苏泰州·校考二模）如图，已知抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，且．(1)求抛物线的函数表达式：(2)如图，点是抛物线顶点，点是在第二象限抛物线上的一点，分别连接、、，若，求的值；(3)如图，若的角平分线交轴于点，过点的直线分别交射线、于点、（不与点A重合），则的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．

11．（2023·福建宁德·统考一模）如图1，抛物线与直线（是常数）交于A，B两点（点A在点B的左边），且是直角三角形．(1)求的值；(2)如图2，将抛物线向下平移，得到抛物线，若抛物线与直线交于C，D两点（点C在点D的左边），与x轴正半轴交于点E．求证：是直角三角形；(3)如图3，若抛物线（）与直线交于M，N两点（点M在点N的左边），点K在抛物线上，当是直角三角形时，直接写出点K的坐标．（用含，的代数式表示）

12．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当点D在直线上方时，作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标；(3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标．

13．（2023·广东茂名·统考二模）如图，在直角坐标系中有一直角三角形，为坐标原点，，，将此三角形绕原点逆时针旋转，得到，抛物线经过点、、．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接，交于，直接写出当与相似时，点P的坐标．
14．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知抛物线与轴交于、两点点在左侧．
(1)，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限；
(2)在（1）的条件下，若，求证：一定与定直线平行；
(3)若，、、都在抛物线上，且四边形为平行四边形，求证：必过一定点．

限时检测2：最新各地中考真题（50分钟）
1．（2023年江苏省南通市中考数学真题）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）

A．54B．52C．50D．48
2．（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．

3．（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 时，羊圈的面积最大．

4．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．

5．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为 米．

6．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．

(1)从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；(2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
7．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．

(1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．①当时，求出此时龙舟划行的总路程，
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．
8．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．(1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
(2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．

9．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．(1)求，的值；(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
10．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．

11．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标．(3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．
12．（2023年山东省济南市中考数学真题）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．
(1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标；(2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；(3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围．

13．（2023年四川省内江市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
14．（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．

d/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
h/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.60
0.88
（秒）
0
1
2
3
4
…
（米/秒）
0
3
6
9
12
…
刹车时车速（）
0
5
10
15
20
25
刹车距离（m）
0
6.5
17
31.5
50
72.5