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考点21与圆有关的计算（精练）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版
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A．10B．12C．15D．20
2．（2023·山东淄博·统考一模）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏·统考三模）如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（ ）
A．3B．C．D．4
4．（2023·天津和平·统考一模）如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为的小正六边形的中心重合，且与边，相交于点，．图中阴影部分的面积记为，三条线段，，的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，和的值分别是( )
A．，B．，C．，D．和的值不能确定
5．（2023·福建泉州·校考模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为( )
A．B．C．D．
6．（2023·四川成都·模拟预测）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·辽宁盘锦·统考二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（ ）
A．R=2B．R=4C．R=2D．R=6
8．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，在正六边形中，点，分别在对角线和上，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则的边长为 ．
10．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，等边三角形内接于，半径，则图中阴影部分的面积是 ，（结果保留）
11．（2023·陕西渭南·统考一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，设的半径为2，则的值为 ．（结果保留和根号）
12．（2023·山东济南·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为的锐角顶点在圆心上，这个角绕点任意转动，在转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为，求 ．
13．（2023·河南周口·校考模拟预测）如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，已知线段经过的中点，若，则阴影部分的周长为 ．
14．（2023·陕西咸阳·校考三模）德国著名数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．下面是高斯正十七边形作法的一部分：“如图，已知是的直径，分别以，为圆心、长为半径作弧，两弧交于点，两点…”．若的长为，则图中的长为 ．（结果保留）
15．（2023·广东肇庆·统考二模）如图，在半径为2的中，沿弦折叠，恰好经过圆心O，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ．
16．（2024·山东泰安·一模）如图，把长为，宽为的矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ．
17．（2023·湖南湘西·校考二模）在数学实践活动中，某同学用一张如图①所示的矩形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形围成一个圆锥模型（如图②所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为2，则此圆锥的母线长为 ．
18．（2023·广西钦州·校考模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为2的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则图中阴影部分面积为 ．
19．（2023·浙江温州·校考三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶点，正八边形顶点与圆心O共线，正二十四边形顶点，与正八边形顶点，共线，则的值为 ；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点，，…，逆时针同速旋转．圆心O绕旋转后的对应点为，以此类推，当落在上时，若米，则的值为 米．
20．（2023·山东青岛·统考一模）【问题提出】
正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径和中心角有什么关系？
【问题探究】
如图①，是等边三角形，半径，是中心角，是内任意一点，到各边距离、、分别为，设的边长是，面积为．过点作．
∴，，，
∴，①
∵又可以表示②
联立①②得
∴
∴
【问题解决】如图②，五边形是正五边形，半径，是中心角，是五边形内任意一点，到五边形各边距分别为、、、、，参照（1）的分析过程，探究的值与正五边形的半径及中心角的关系．
【性质应用】（1）正六边形（半径是）内任意一点到各边距离之和_______．
（2）如图③，正边形（半径是）内任意一点到各边距离之和______．
限时检测2：最新各地中考真题（50分钟）
1．（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023年内蒙古通辽市中考数学真题）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．20
5.（2023年福建省中考真题数学试题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A．B．C．3D．
6.（2023年湖北省十堰市中考数学真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5B．C．D．
7．（2023年山西省中考数学真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．
A．B．C．D．
8．（2022·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4，B．3，πC．2，D．3，2π
9．（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．
11．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）．
12．（2023年湖南省常德市中考数学真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ．（结果保留一位小数）
13．（2023年江苏省扬州市中考数学真题）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
14．（2023年甘肃省武威市中考数学真题）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 米．（结果保留）
15．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．
16．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
17．（2023年江苏省淮安市中考数学真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．
18．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
19．（2022·四川成都·中考真题）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．
20．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
求的度数．(2)是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值
A．10B．12C．15D．20
2．（2023·山东淄博·统考一模）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏·统考三模）如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（ ）
A．3B．C．D．4
4．（2023·天津和平·统考一模）如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为的小正六边形的中心重合，且与边，相交于点，．图中阴影部分的面积记为，三条线段，，的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，和的值分别是( )
A．，B．，C．，D．和的值不能确定
5．（2023·福建泉州·校考模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为( )
A．B．C．D．
6．（2023·四川成都·模拟预测）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·辽宁盘锦·统考二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（ ）
A．R=2B．R=4C．R=2D．R=6
8．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，在正六边形中，点，分别在对角线和上，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则的边长为 ．
10．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，等边三角形内接于，半径，则图中阴影部分的面积是 ，（结果保留）
11．（2023·陕西渭南·统考一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，设的半径为2，则的值为 ．（结果保留和根号）
12．（2023·山东济南·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为的锐角顶点在圆心上，这个角绕点任意转动，在转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为，求 ．
13．（2023·河南周口·校考模拟预测）如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，已知线段经过的中点，若，则阴影部分的周长为 ．
14．（2023·陕西咸阳·校考三模）德国著名数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．下面是高斯正十七边形作法的一部分：“如图，已知是的直径，分别以，为圆心、长为半径作弧，两弧交于点，两点…”．若的长为，则图中的长为 ．（结果保留）
15．（2023·广东肇庆·统考二模）如图，在半径为2的中，沿弦折叠，恰好经过圆心O，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ．
16．（2024·山东泰安·一模）如图，把长为，宽为的矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ．
17．（2023·湖南湘西·校考二模）在数学实践活动中，某同学用一张如图①所示的矩形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形围成一个圆锥模型（如图②所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为2，则此圆锥的母线长为 ．
18．（2023·广西钦州·校考模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为2的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则图中阴影部分面积为 ．
19．（2023·浙江温州·校考三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶点，正八边形顶点与圆心O共线，正二十四边形顶点，与正八边形顶点，共线，则的值为 ；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点，，…，逆时针同速旋转．圆心O绕旋转后的对应点为，以此类推，当落在上时，若米，则的值为 米．
20．（2023·山东青岛·统考一模）【问题提出】
正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径和中心角有什么关系？
【问题探究】
如图①，是等边三角形，半径，是中心角，是内任意一点，到各边距离、、分别为，设的边长是，面积为．过点作．
∴，，，
∴，①
∵又可以表示②
联立①②得
∴
∴
【问题解决】如图②，五边形是正五边形，半径，是中心角，是五边形内任意一点，到五边形各边距分别为、、、、，参照（1）的分析过程，探究的值与正五边形的半径及中心角的关系．
【性质应用】（1）正六边形（半径是）内任意一点到各边距离之和_______．
（2）如图③，正边形（半径是）内任意一点到各边距离之和______．
限时检测2：最新各地中考真题（50分钟）
1．（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023年内蒙古通辽市中考数学真题）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．20
5.（2023年福建省中考真题数学试题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A．B．C．3D．
6.（2023年湖北省十堰市中考数学真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5B．C．D．
7．（2023年山西省中考数学真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．
A．B．C．D．
8．（2022·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4，B．3，πC．2，D．3，2π
9．（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．
11．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）．
12．（2023年湖南省常德市中考数学真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ．（结果保留一位小数）
13．（2023年江苏省扬州市中考数学真题）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
14．（2023年甘肃省武威市中考数学真题）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 米．（结果保留）
15．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．
16．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
17．（2023年江苏省淮安市中考数学真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．
18．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
19．（2022·四川成都·中考真题）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．
20．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
求的度数．(2)是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值
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