考点22图形的变换（平移、旋转、轴对称）（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版

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图形的变换以考查平面几何的三大变换的基本运用为主，年年都有考查，分值在10分左右。预计2024年各地中考还将继续考查这些知识点，考查形式主要有选填题、作图题、也可能综合题结合其他考点出现。在三种变换中，平移相对较为简单，多以选择题形式考察，偶尔也会考察作图题；对称和旋转则难度较大，通常作为选择、填空题的压轴题出现（考查最值问题居多），在解答题中，也会考查对称和旋转的作图，以及与特殊几何图形结合的综合压轴题，此时常需要结合几何图形或问题类型去分类讨论。
【知识清单】
1：图形的平移（☆）
1）平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做 平移 。平移不改变图形的形状和大小。
2）三大要素： （1）平移的起点，（2）平移的方向，（3）平移的距离。
3）性质： （1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；（3）平移前后的图形全等。
4）作图步骤：（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形。
2：图形的旋转（☆☆）
1）定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角。
2）三大要素：（1）旋转中心；（2）旋转方向；（3）旋转角度。
3）性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
4．作图步骤：（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形。
5）中心对称图形与中心对称
3：图形的轴对称（☆☆☆）
1）轴对称与轴对称图形
2）作轴对称图形的一般步骤：
（1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤：①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长；②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点。
（2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点）；②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点；③连.按原图对应连接各对称点。
3）折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
4：最短路径问题（☆☆☆）
与图形变换相关的最值问题有：将军饮马（遛马、造桥）（轴对称、平移）、费马点问题（旋转）、瓜豆原理（圆弧轨迹类）（旋转）等。
【易错点归纳】
1. 对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段。
2. 旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点。
3. 对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径。
【核心考点】
核心考点1. 图形的平移
◇典例1：（2023·湖南郴州·统考中考真题）下列图形中，能由图形通过平移得到的是（ ）

A． B． C． D．
变式1．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
变式2.（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（ ）

A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称
变式3．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
例2：（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ）

A．1B．2C．3D．4
变式1．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（ ）

A．3B．4C．5D．12
变式2．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ）

A．2B．C．3D．5
例3：（2023·河南信阳·九年级统考期中）在正方形网格中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为，，过点B作轴于点C．

(1)按照要求画出平面直角坐标系，线段，写出点C的坐标 ；(2)直接写出以A，B，C为顶点的三角形的面积 ；(3)若线段是由线段平移得到的，点A的对应点是C，画出线段，写出一种由线段得到线段的过程．
变式1. （2023·四川泸州·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将先向下平移4个单位，再向左平移6个单位得到．
(1)请在图中画出；写出三个顶点的坐标；(2)求的面积．
(3)若中有一点，请直接写出平移后的坐标
变式2．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系v中，点，，所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．

(1)点D的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________；(2)在图中画出，并连接，；(3)求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）
核心考点2. 图形的旋转
例4：（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）

A．B．C．D．
变式1．（2023·山东·统考中考真题）如图，点E是正方形内的一点，将绕点B按顺时针方向旋转得到．若，则 度．

变式2．（2023·上海·统考中考真题）如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则 ．

变式3．（2023·江西·统考中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．

例5：（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．

变式1．（2023·浙江金华·统考中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是 ．
变式2．（2023·海南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）

A．B．C．D．
例6：（2023·江苏泰州·统考中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）

A．B．C．D．
变式2．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．

例8：（2024·陕西西安·陕西师大附中校考二模）2023年10月8日晚，伴随圣火缓缓熄灭，杭州第19届亚运会圆满闭幕，亚运是体育盛会，也是文化旅游的盛会．下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·湖南永州·校考二模）2022年11月29日23时08分，由航天科技集团五院抓总研制的神舟十五号载人飞船，由长征二号F运载火箭稳稳托举，在酒泉卫星发射中心一飞冲天，将费俊龙、邓清明、张陆3名航天员送入太空，展现了中国航天科技的强大．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·天津河西·校考三模）（多选题）在以下四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
例8：（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3B．4C．7D．11
变式1．（2023·浙江杭州·二模）如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
变式2.（2023·山东济宁·校考一模）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，﹣）B．（4n﹣1，）C．（4n+1，﹣）D．（4n+1，）
例9：（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
(1)画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接；
(2)画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；(3)填空：的度数为_________．
变式1．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系的三个顶点都在格点上，A的坐标是，请回答下列问题：
(1)将向下平移六个单位长度，画出平移后的；(2)画出关于原点O对称的；
(3)判断与是否关于某点成中心对称；若是，请画出对称中心M，并写出点M的坐标．

变式2．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，已知A，B，C是平面直角坐标系上的三个点．
(1)请画出关于原点O对称的；(2)将向右平移8个单位得到，请画出；(3)与是否也关于某个点成中心对称？如果是，请写出它们对称中心的坐标，如果不是，请说明理由．

核心考点3. 图形的轴对称
例10：（2023·江苏·统考中考真题）剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
变式1．（2023·山西·统考中考真题）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023·广东潮州·统考三模）我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
例11：（2023·浙江温州·统考一模）某电梯中一面镜子正对楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层号和电梯运行方向．当电梯中镜子如图显示时，电梯所在楼层号为 ．
变式1．（2023上·山东德州·九年级统考期中）如图，桌球的桌面上有，两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则，，，，4个点中，可以反弹击中球的是 点．
变式2．（2023·福建三明·九年级统考期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是 .

例12：（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，是的直径，C，D是上的两个点，将沿弦折叠，圆弧恰好与弦，分别相切于点E，B．若，则弦的长是（ ）

A．B．C．D．
变式1．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，在等腰中，，，为边上一动点，将沿折叠得到，，连接．（1） ；（2） ．
变式2．（2023·浙江杭州·校联考二模）如图菱形的边长为4，，将菱形沿折叠，顶点C恰好落在边的中点G处，则 ．
例13：（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．(1)画出关于直线对称的；(2)直接写出______．四边形的面积为______．

变式1．（2023·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出关于直线l对称的（要求A与，B与，C与相对应）(2)在直线l上找一点P，使得的周长最小

变式2．（2023·山东枣庄·统考中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．

（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．

核心考点4. 最短路径问题
例14：（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）

A．B．3C．D．
变式1. （2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

变式2.（2023·江苏盐城·统考模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ．
例15：（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 ，最大值为 ．

变式1. （2023·黑龙江·统考中考真题）在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是 ．
例16：（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．

变式1．（2023·广东清远·统考三模）如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ．
变式2．（2023·山东淄博·统考中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．(1)操作判断：小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．
试判断：的形状为________．
(2)深入探究：小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，．
探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积．
探究二：连接，取的中点，连接，如图③．求线段长度的最大值和最小值．

例17：（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
变式1．（2023·广东深圳·二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______．
变式2．（2023.河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60°得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．
中心对称
中心对称图形
图形
定义
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称。
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
区别
中心对称是指两个图形的关系。
中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
联系
两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称。
轴对称
轴对称图形
图形

定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。
区别
（1）轴对称是指两个图形折叠重合。
（2）轴对称对称点在两个图形上。
（3）轴对称只有一条对称轴。
（1）轴对称图形是指本身折叠重合。
（2）轴对称图形对称点在一个图形上。
（3）轴对称图形至少有一条对称轴。
联系
（1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合。
（2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反之, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称。
性质
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
判定
（1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
（2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线。