河南省信阳高级中学北湖校区2023-2024学年高一下学期7月月考数学试卷

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这是一份河南省信阳高级中学北湖校区2023-2024学年高一下学期7月月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，（为虚数单位），则复数的共轭复数为（）
A．B．C．D．
2．设，，，，且，，则（）
A．B．0C．3D．
3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量（）
A．B．C．D．
4．从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（）
A．“至少有1件正品”与“都是次品”
B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”
C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品”
D．“都是正品”与“都是次品”
5．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（）
A．B．C．8D．10
6．给出下列命题：
①经过点的直线都可以用方程表示；
②若直线的方向向量，平面的法向量，则；
③直线必过定点；
④如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么，一定共线．其中真命题的个数是（）
A．3B．2C．1D．0
7．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（）
A．B．
C．D．
8．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题中，正确的有（）
A．若，，则
B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C．已知空间三点，，，点到直线的距离为
D．是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则与平面所成角为
10．已知复数，，则下列说法中正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若且，则，为实数
11．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）
A．
B．在4000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人
C．估计短视频观众的平均年龄为32岁
D．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁
12．如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点．则下列说法正确的是（）
A．存在点，使得平面
B．周长的最小值为
C．三棱锥的外接球的体积为
D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为
三、填空题
13．直线与直线之间的距离为________．
14．已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________．
15．在正三棱锥中，是的中心，，则________．
16．已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为________．
四、解答题
17．已知复数，为虚数单位．
（1）求；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
18．已知直线．
（1）若直线不经过第三象限，求的取值范围；
（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程．
19．为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点．
（1）证明：；
（2）当为线段的中点时，求点到面的距离．
21．已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若，求周长取值范围．
22．如图1，在平行四边形中，，，将沿折起，使点到达点位置，且，连接得如图2的三棱锥．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
信阳高中北湖校区2026届高一年级7月月考数学试题参考答案
1-4．ADAD 5-8．DBCD 9．BCD 10．AB 11．CD 12．ACD
13． 14． 15． 16．
17．（1）（2）
【详解】（1）因为（3分）
所以（4分）
所以（5分）
（2）复数的共轭复数（6分）
复数是关于的方程的一个根，所以也是方程的一个根，（7分）
所以由韦达定理可得，（9分）
解得（12分）（10分）
18．（1）；（2）最小值为4，直线的方程为．
【详解】（1）直线可化为，（1分）
要使直线不经过第三象限，则，解得，（4分）
∴的取值范围为．（5分）
（2）由题意可得，中，取，得，（7分）
取，得，（8分）
，（10分）
当且仅当时，即时，取“=”，（11分）
此时的最小值为4，直线的方程为．（12分）
19．（1），；（2）．
【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，，，（1分）
则，，，（2分）
因为各家庭回答是否正确互不影响
即，
，（4分）
所以，．（5分）
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和．（6分）
（2）有0个家庭回答正确的概率
，（8分）
有1个家庭回答正确的概率
，（10分）
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率
．（12分）
20．【详解】（1）∵平面，平面，
∴，（1分）
又，，平面，
∴平面，（2分）
又平面，∴，（3分）
中，，，为的中点，∴，（4分）
∵，平面，∴平面，（5分）
∵平面，∴．（6分）
（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，（8分）
设为平面的法向量，
则，令，则，，故，（10分）
则点与平面的距离
（12分）
21．（1）（2）
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得（1分）
且（2分）
所以，且（3分）
则，（4分）
所以（5分）
（2）由正弦定理得，（6分）
则（7分）
，（9分）
又是锐角三角形，则，，（10分）
可得，（11分）
又周长为，且
故周长的取值范围为．（12分）
22．【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则，
因为，则，，
由余弦定理可得
，（1分）
所以，，则，同理可证，
翻折后，则有，，
因为，，平面，
所以，平面，
因为平面，则，
因为，平面，所以，平面，
所以平面平面．（4分）
（2）因为平面，，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，（5分）
则，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，
所以，，（7分）
平面的一个法向量为，，，
则，令，可得，（9分）
则，（10分）
整理可得或（舍），（11分）
因此，线段上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，且（12分）