2023-2024学年天津市和平区耀华中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市和平区耀华中学高二（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合A={1,2,3}，B={(x,y)|x+y−4>0，x，y∈A}，则集合B的真子集个数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
2.若“∃x∈[12,2]，使得2x2−λx+1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为( )
A. (−∞,2 2]B. [2 2,3]C. [−2 2,3]D. λ=3
3.函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=ln|x|x2+1 B. f(x)=ex−e−xx2
C. f(x)=x2−1x D. f(x)=ln|x|x
4.设a=(34)0.5,b=(43)0.5,c=lg34(lg34)，则( )
A. c5.某公司生产的某型号无人机近5年的年销售量数据统计如表所示．
根据表中的数据，用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为y=6.5x+t，则预测2024年该型号无人机的年销售量为( )
A. 40万件B. 41.5万件C. 46万件D. 48万件
6.在(1−x)5+(1−x)6+(1−x)7+(1−x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )
A. 74B. 121C. −74D. −121
7.“厉行节约，反对浪费”蔚然成风，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
则下面的正确结论是( )
参考公式数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
A. 在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
8.若ex≥k+x在R上恒成立，则实数k的取值范围为( )
A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. (−∞,−1]D. [−1,+∞)
9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1，函数y=f(x+1)−1为奇函数，则函数f(x)的零点个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
10.设x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=2 3,则1x+1y的最大值为( )
A. 2B. 32C. 1D. 12
11.如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用( )
A. 288种
B. 264种
C. 240种
D. 168种
12.已知函数f(x)=lnx,x≥11e(x+2)(x−a),x<1(a为常数，e为自然对数的底数)的图象在点A(e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是( )
A. −3−2 2B. a<−2或−3+2 2C. −3+2 2D. a<−3−2 2或−3+2 2二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知a>0，b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为 ．
14.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<4)= ______．
15.若(ax2+1 x)5的展开式中x5的系数是−80，则实数a= ．
16.已知函数f(x)={lg2(x+1),x>0−x2−2x,x⩽0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m的取值范围是______．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知关于x的不等式：(a+1)x−3x−1<1．
(1)当a=1时，解该不等式；
(2)当a为任意实数时，解该不等式．
18.(本小题12分)
某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．
(Ⅰ)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
(Ⅱ)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；
(Ⅲ)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2ex(a∈R,e为自然对数的底数)．
(Ⅰ)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为6e，求实数a的值．
(Ⅱ)当a≠0时，讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅲ)若关于x的不等式f(x)+xex+1≥ex在区间(−∞,0]上恒成立，求实数a的取值范围．
答案解析
1.C
【解析】解：因为集合A={1,2,3}，B={x,y|x+y−4>0,x,y∈A}={(2,3)，(3,2)，(3,3)}．
故B的真子集个数为23−1=7个．
故选：C．
2.A
【解析】解：∵若“∃x∈[12,2]，使得2x2−λx+1<0成立”是假命题，
即“∃x∈[12,2]，使得λ>2x+1x能成立”是假命题，
即等价于“∀x∈[12,2]，使得λ≤2x+1x恒成立”是真命题，
令f(x)=2x+1x，x∈[12,2]，
2x+1x≥2 2x·1x=2 2，当且仅当x= 22时取得最小值，
∴λ≤fxmin=2 2，
故实数λ的取值范围为(−∞,2 2].
故选A．
3.C
【解析】解：根据题意，由函数的图象，f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(x)的图象关于原点对称，
且f(1)=f(−1)=0，当x→+∞时，f(x)→+∞，
依次分析选项：
对于A，f(x)=ln|x|x2+1，其定义域为{x|x≠0}，有f(−x)=ln|x|x2+1=f(x)，则f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意；
对于B，f(x)=ex−e−xx2，有f(1)=e−1e1≠0，不符合题意；
对于C，f(x)=x2−1x，其定义域为{x|x≠0}，有f(−x)=−x2−1x=−f(x)，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，
且f(1)=f(−1)=0，符合题意；
对于D，f(x)=ln|x|x，当x→+∞时，f(x)→0，不符合题意．
故选：C．
4.B
【解析】解：0<(34)0.5<1，(43)0.5>1，
∵lg34>1，∴lg34(lg34)<0，
即01，c<0，
∴c故选：B．
5.B
【解析】解：x−=0+1+2+3+45=2，y−=10+5+20+30+355=22，
又因为直线y=6.5x+t过点(2,22)，
故6.5×2+t=22，
解得t=9，
则预测2024年该型号无人机的年销售量为ŷ=6.5×5+9=41.5(万件)．
故选：B．
6.D
【解析】解：(1−x)5+(1−x)6+(1−x)7+(1−x)8的展开式中，含x3的项的系数
C53(−1)3+C63(−1)3+C73(−1)3+C83(−1)3
=−10+(−20)+(−35)+(−56)
=−121．
故选D．
7.A
【解析】解：由题意可知，χ2=100×(45×15−30×10)275×25×55×45≈3.030，
∵2.706<3.030<6.635，
∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
故选：A．
8.A
【解析】解：∵ex≥k+x在R上恒成立，
∴k≤(ex−x)min，
令f(x)=ex−x，
则f′(x)=ex−1，
当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,0)上单调递减，
当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
∴当x=0时，f(x)=ex−x取得极小值1，也是最小值．
∴k≤1．
故选：A．
9.B
【解析】解：∵f(x)=x3+ax2+bx+1，
∴y=f(x+1)−1=(x+1)3+a(x+1)2+b(x+1)+1−1
=x3+3x2+3x+1+ax2+2ax+a+bx+b
=x3+(3+a)x2+(3+2a+b)x+1+b+a，
∵函数y=f(x+1)−1为奇函数，
∴3+a=01+a+b=0，
解得，a=−3，b=2；
故f(x)=x3−3x2+2x+1，
f′(x)=3x2−6x+2=3(x−1)2−1=3(x−1− 33)(x−1+ 33)，
故f(x)在(−∞,1− 33)上是增函数，在(1− 33,1+ 33)上是减函数，
在(1+ 33,+∞)上是增函数；
且f(1− 33)=1+1− 3− 39−4+2 3+2−2 33+1>0，
f(1+ 33)=1+1+ 3+ 39−4−2 3+2+2 33+1>0，
∴函数f(x)的零点个数为1，
故选B．
10.C
【解析】解：∵ax=by=3，
∴x=lga3=1lg3a，y=lgb3=1lg3b，
∴1x+1y=lg3ab≤lg3a+b22=1，
当且仅当a=b时取等号．
故选：C．
11.B
【解析】解：∵图中每条线段的两个端点涂不同颜色，
可以根据所涂得颜色的种类来分类，
B，D，E，F用四种颜色，则有A44×1×1=24种涂色方法；
B，D，E，F用三种颜色，则有A43×2×2+A43×2×1×2=192种涂色方法；
B，D，E，F用两种颜色，则有A42×2×2=48种涂色方法；
根据分类计数原理知共有24+192+48=264种不同的涂色方法．
由题意知图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，当B，D，E，F用四种颜色，B，D，E，F用三种颜色，B，D，E，F用两种颜色，分别写出涂色的方法，根据分类计数原理得到结果．
12.D
【解析】解：当x≥1，f′(x)=1x，则f′(e)=1e，
则在A(e,1)处的切线方程为y−1=1e(x−e)，即y=1ex.
当x≥1时，切线和函数f(x)=lnx有且只有一个交点，
∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点，
则当x<1时，函数f(x)=1e(x+2)(x−a)与y=1ex有两个不同的交点，
即(x+2)(x−a)=x，在x<1时，有两个不同的根，
设g(x)=(x+2)(x−a)−x=x2+(1−a)x−2a，
则满足△=(1−a)2−4⋅(−2a)>0g(1)>0−1−a2<1，即a2+6a+1>01+1−a−2a>0a<3，
解得a<−3−2 2或−3+2 2即实数a的取值范围是a<−3−2 2或−3+2 2故选：D．
13.4
【解析】解：a>0，b>0，且ab=1，
则12a+12b+8a+b=a+b2ab+8a+b=a+b2+8a+b≥2 a+b2⋅8a+b=4，
当且仅当a+b2=8a+b时取等号，解得a+b=4，结合ab=1，
a，b为方程x2−4x+1=0的两根，
∴a=2+ 3，b=2− 3或a=2− 3，b=2+ 3 取等号，
∴12a+12b+8a+b的最小值为4，
故答案为4．
14.0.6
【解析】解：∵ξ～N(2,σ2)，且P(ξ<4)=0.8，
∴P(2<ξ<4)=P(ξ<4)−0.5=0.8−0.5=0.3，
∴P(0<ξ<4)=2P(2<ξ<4)=0.6．
故答案为：0.6．
15.−2
【解析】解：(ax2+1 x)5的展开式的通项公式
Tr+1=C5r(ax2)5−r(1 x)r=C5ra5−rx10−5r2，
令10−5r2=5，解得r=2．
∵(ax2+1 x)5的展开式中x5的系数是−80，
∴C52a3=−80，得a=−2．
故答案为−2．
16.(0,1)
【解析】解：令g(x)=f(x)−m=0，
得m=f(x)
作出y=f(x)与y=m的图象，
要使函数g(x)=f(x)−m有3个零点，
则y=f(x)与y=m的图象有3个不同的交点，
所以0故答案为：(0,1)．
17.解：(1)根据题意，当a=1时，不等式为2x−3x−1<1，
变形可得x−2x−1<0，即(x−2)(x−1)<0，
解可得：1(2)(a+1)x−3x−1<1，即ax−2x−1<0，变形可得(ax−2)(x−1)<0，
当a=0时，不等式为−2(x−1)<0，即x−1>0，其解集为(1,+∞)，
当a<0时，不等式变形可得(x−2a)(x−1)>0，不等式的解集为(−∞,2a)∪(1,+∞)，
当01，不等式的解集为(1,2a)，
当a=2时，不等式为(x−1)2<0，不等式的解集为⌀，
当a>2时，不等式变形可得(x−2a)(x−1)<0，且2a<1，不等式的解集为(2a,1)，
综上可得：当a<0时，不等式的解集为(−∞,2a)∪(1,+∞)，
当a=0时，不等式的解集为(1,+∞)，
当0当a=2时，不等式的解集为⌀，
当a>2时，不等式的解集为(2a,1)．
【解析】(1)根据题意，当a=1时，原不等式变形可得x−2x−1<0，解可得答案，
(2)根据题意，原不等式变形可得(ax−2)(x−1)<0，按a的取值范围分5种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．
18.解：(Ⅰ)每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响
设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B(5,23)．
在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P(X=2)=C52×(23)2×(1−23)3=40243
(Ⅱ)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i=1,2,3,4,5)；
“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则P(A)=P(A1A2A3A4−A5−)+P(A1−A2A3A4A5−)+P(A1−A2−A3A4A5)
=(23)3×(13)2+13×(23)3×13+(13)2×(23)3
=881
(Ⅲ)由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6，
P(ξ=0)=P(A1−A2−A3−)=(13)3=127
P(ξ=1)=P(A1A2−A3−)+P(A1−A2A3−)+P(A1−A2−A3)
=23×(13)2+13×23×13+(13)2×23=29
P(ξ=2)=P(A1A2−A3)=23×13×23=427
P(ξ=3)=P(A1A2A3−)+P(A1−A2A3)=(23)2×13+13×(13)2=827
P(ξ=6)=P(A1A2A3)=(23)3=827
∴ξ的分布列是

【解析】(Ⅰ)由题意知每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响，设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B(5,23).利用二项分布的概率公式得到结果，
(Ⅱ)有3次连续击中目标，另外2次未击中目标包括三种情况，即连续的三次射击在第一位，在第二位，在第三位，这三种情况是互斥的，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果．
(Ⅲ)ξ为射手射击3次后的总的分数，由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6，结合变量对应的事件，写出变量的概率，写出分布列．
19.解：(I)f(x)=ax2ex(a∈R)，f′(x)=ax(x+2)ex，
f′(1)=3ae=6e，解得a=2．
(II)f′(x)=ax(x+2)ex，a≠0．
令f′(x)=ax(x+2)ex=0，解得x=−2，0．
a>0时，函数f(x)在(−∞,−2)上单调递增，在(−2,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．
a<0时，函数f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．
(III)不等式f(x)+xex+1≥ex，化为：ax2ex+xex+1−ex≥0，
令g(x)=ax2ex+xex+1−ex，x∈(−∞,0]．
关于x的不等式f(x)+xex+1≥ex在区间(−∞,0]上恒成立⇔g(x)min≥0．
g′(x)=ax(x+2)ex+(x+1)ex−ex=x(ax+2a+1)ex，
a=0时，g(x)=xex+1−ex，g′(x)=xex≤0，∴函数g(x)在(−∞,0]上单调递减，∴g(x)min=g(0)=0≥0.满足题意．
a>0时，g′(x)=ax(x+2a+1a)ex，令g′(x)=0，解得x=0，或x=−2a+1a<0．
∴函数g(x)在(−∞,−2a+1a]上单调递增，在(−2a+1a,0]上单调递减．x→−∞时，g(x)→0；g(0)=0．
∴g(x)min=g(0)=0≥0.满足题意．
a<0时，g′(x)=ax(x+2a+1a)ex，令g′(x)=0，解得x=0，或x=−2a+1a．
当−12≤a<0时，x=−2a+1a≥0，g′(x)≤0，函数g(x)在(−∞,0]上单调递减，∴g(x)min=g(0)=0≥0.满足题意．
当a<−12时，x=−2a+1a<0.∴函数g(x)在(−∞,−2a+1a]上单调递减，在(−2a+1a,0]上单调递增．
x∈(−2a+1a,0)时，g(x)综上可得：实数a的取值范围是[−12,+∞)．
【解析】
(I)f(x)=ax2ex(a∈R)，f′(x)=ax(x+2)ex，利用f′(1)=3ae=6e，解得a．
(II)f′(x)=ax(x+2)ex，a≠0.令)f′(x)=ax(x+2)ex=0，解得x=−2，0.对a分类讨论即可得出函数f(x)的单调性．
(III)不等式f(x)+xex+1≥ex，化为：ax2ex+xex+1−ex≥0，令g(x)=ax2ex+xex+1−ex，x∈(−∞,0].关于x的不等式f(x)+xex+1≥ex在区间(−∞,0]上恒成立⇔g(x)min≥0.g′(x)=ax(x+2)ex+(x+1)ex−ex=x(ax+2a+1)ex，对a分类讨论得出函数g(x)的单调性，进而得出结论．年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码x
0
1
2
3
4
年销售量y/万件
10
15
20
30
35
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
α
0.10
0.05
0.010
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
ξ
0
1
2
3
6
P
127
29
427
827
827