2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高一（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足1−z1+z=i(i为虚数单位)，则z=( )
A. iB. −iC. 1+iD. 1−i
2.在△ABC中，AB⋅AC=λBA⋅BC=μCA⋅CB，则下列说法一定正确的是( )
A. 若λμ>0，则△ABC是锐角三角形B. 若λμ>0，则△ABC是钝角三角形
C. 若λμ0”是“数列{Sn}存在最小项”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
4.已知平面向量a,b满足|a|=1,〈b,a+b〉=π6，则|a−b|的最大值为( )
A. 2B. 2+1C. 3+1D. 3
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.函数y=cs(−2x)的最小正周期为______．
6.设t∈R，向量a=(2,3)，b=(1−t,t).若a⊥b，则t= ______．
7.若复数z是方程x2+2x+3=0的一个根，则|z|= ______．
8.计算：n=1+∞(13)2n−1= ______．
9.设λ∈R，a、b是夹角为120°的两个单位向量，若a+λb在a方向上的投影为2a，则λ= ______．
10.函数y=sin(2x−π6)，x∈[0,π2]的单调增区间为______．
11.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若 22b是a、c的等比中项，则角B的最大值为______．
12.已知cs(α+β)=34，cs(α−β)=14，则tanαtanβ= ______．
13.已知△ABC是边长为6的等边三角形，M是△ABC的内切圆上一动点，则AB⋅AM的最大值为______．
14.若00时，A，B，C均为锐角；
当λ0，则an=a1qn−1>0，必有Sn+1>Sn，所以Sn存在最小值是S1，
则“q>0”是“Sn存在最小值”的充分条件，
反之，当a1=1，q=−12时，Sn存在最小值S2，
则“q>0”不是“Sn存在最小值”的必要条件；
所以“q>0”是“Sn存在最小值”的充分不必要条件．
故选：A．
4.【答案】C
【解析】解：设a=OA,b=OB,a+b=OC，如图，
由题意，即在平行四边形OACB中，OA=1,∠OCA=π6，
延长OA至OD，使OA=AD，则CD=AB，
由正弦定理，O，A，C三点所在外接圆的直径2R=OAsin∠OCA=2，
所以R=1，设圆心为G，如图，
所以可知∠GOD=π3，又OG=1，OD=2，
所以由余弦定理可得DG= 12+22−2×1×2×csπ3= 3，
则由图可知CD≤DG+R=1+ 3．
故选：C．
5.【答案】π
【解析】解：y=cs2x，T=2π2=π．
故答案为：π．
6.【答案】−2
【解析】解：向量a=(2,3)，b=(1−t,t)．a⊥b，
则2(1−t)+3t=0，解得t=−2．
故答案为：−2．
7.【答案】 3
【解析】解：因为复数z是方程x2+2x+3=0的一个根，
所以z=−2±2 2i2=−1± 2i，
则|z|= 3．
故答案为： 3．
8.【答案】38
【解析】解：n=1+∞(13)2n−1可看作以13为首项，19为公比的等比数列的所有项的和，
即有i=1n(13)2i−1=13[1−(19)n]1−19=38−38×(13)2n，
则n=1+∞(13)2n−1=38−0=38．
故答案为：38．
9.【答案】−2
【解析】解：由题知，a+λb在向量a方向上的投影向量为(a+λb)⋅a|a|2a=2a，
则(a+λb)⋅a|a|2=2，
因为a、b是夹角为120°的两个单位向量，
所以(a+λb)⋅a=|a|2+λ|a||b|cs120°=1−12λ=2，解得λ=−2．
故答案为：−2．
10.【答案】[0,π3]
【解析】解：令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，
则−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
当x∈[0,π2]时，可得f(x)的单调递增区间为[0,π3].
故答案为：[0,π3].
11.【答案】π2
【解析】解：由题意得，12b2=ac，即b2=2ac，
则csB=a2+c2−b22ac=a2+c2−2ac2ac≥2ac−2ac2ac=0，当且仅当a=c时取等号，
所以0