2023-2024学年广东省湛江一中高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省湛江一中高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|lg2x<2}，N={x|x2−x−2<0}，则M∩N=( )
A. (0,4)B. (0,2)C. (−1,4)D. (−1,2)
2.设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若a=lg0.32，b=lg23，c=lg69，则( )
A. c>b>aB. b>c>aC. c>a>bD. a>b>c
4.将函数y=cs(3x+2π3)的图象平移后所得的图象对应的函数为y=sin3x，则进行的平移是( )
A. 向左平移π18个单位B. 向右平移5π18个单位
C. 向右平移π18个单位D. 向左平移5π18个单位
5.函数f(x)=exe2x−1的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数f(x)=lnx+ex+x−5，则方程f(x)=0在下列哪个区间上必有实数根( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. 不能确定
7.如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心O到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈.若初始位置P0是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设从点P0运动到点P时所经过的时间为t(单位：分钟)，且此时点P距离地面的高度为ℎ(单位：米)，则ℎ是关于t的函数.当t∈R时，ℎ(t)=( )
A. 40sin(π15t−π6)+41B. 40sin(π30t−π6)+41
C. 40sin(π15t−π6)−41D. 40sin(π30t−π6)−41
8.设偶函数f(x)在[0,2]上是增函数，且f(−2)=2，若对所有的x∈[−2,2]及任意的m∈[−1,1]都满足f(x)≤t2−mt−4，则t的取值范围是( )
A. [−1,3]B. (−1,1)
C. (−∞,−3]∪[3,+∞)D. [−3,3]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=lg62，36b=9，则下列结论正确的是( )
A. b=lg63B. ab=1C. lg618=2−aD. ba=lg32
10.下列函数既是偶函数，又在(−∞,0)上是减函数的是( )
A. y=ex+e−xB. y=3|x|C. y=lg(x2+1)D. y=x−1x
11.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的解析式f(x)=3sin(2x+π3)
B. 直线x=−1112π是函数f(x)图象的一条对称轴
C. f(x)在区间(3π2,11π6)上单调递增
D. 不等式f(x)⩽32的解集为[−3π4+kπ,−π12+kπ]，k∈Z
12.已知函数f(x)=ln( x2+1+x)+x+1.则下列说法正确的是( )
A. f(lg3)+f(lg13)=2
B. 函数f(x)的图象关于点(0,1)对称
C. 函数f(x)在定义域上单调递减
D. 若实数a，b满足f(a)+f(b)>2，则a+b>0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知csx= 23，则sinxsin2x= ______．
14.已知x>0，则xx2+1的最大值是______．
15.若定义运算a⊕b=b,a16.若实数x1，x2满足ex1+x1−2=0，x2lnx2+2x2−1=0，则x2(2−x1)= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=5sin(3x+π4)+2．
(1)求函数f(x)的最小正周期、图象的对称中心及其单调递减区间；
(2)求函数f(x)在[−5π36,π6]上的最值及其对应的x的值．
18.(本小题12分)
已知α∈(π6,7π6)，且sin(α+π3)=2 55．
(1)求tanα的值；
(2)求cs(2α+5π12)的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=a⋅2x−2−x，且f(−1)=32．
(1)求a的值，并求出f(x)的解析式；
(2)若mf(x)−4x−4−x≤0在(0,+∞)上恒成立，求m的取值范围．
20.(本小题12分)
如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物．
(1)若每个长方形区域的面积为24m2，要使围成四个区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值；
(2)若每个长方形区域的长为xm(x>2)，宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长x的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg3(x2+ax+1)(a∈R)．
(1)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求a的取值范围；
(3)设a>0，若对任意t∈[0,+∞)，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
设a∈R，函数f(x)=12cs2x+csx+1−a,x∈(π2,π)．
(1)讨论函数f(x)的零点个数；
(2)若函数f(x)恰有两个零点x1，x2，求证：x1+x2<3π2．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：∵M={x|lg2x<2}=(0,4)，N={x|x2−x−2<0}=(−1,2)，
∴M⋂N=(0,2)，
故选：B．
2.【答案】A
【解析】解：因为当a>1时，一定有a2>1；当a2>1时，a>1或a<−1，
所以“a>1”是“a2>1”充分不必要条件，
故选：A．
3.【答案】B
【解析】解：∵a=lg0.32，b=lg23，c=lg69，
∴a<0∴b>c>a．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：设平移距离为α(α∈R)，将函数y=cs(3x+2π3)图象上的各点的横坐标平移α个单位，
可得y=cs[3(x+α)+2π3]=cs(3x+3α+2π3)，
因为y=sin3x=cs(3x−π2+2kπ)，k∈Z，
则3α+2π3=−π2+2kπ,k∈Z，
即α=12kπ−7π18,k∈Z，
当k=1时，可得α=5π18，所以D正确．
故选：D．
5.【答案】D
【解析】解：f(x)的定义域为{x|x≠0}，由f(‐x)=e‐xe‐2x−1=e‐x·e2x1−e2x=ex1−e2x=‐f(x)，∴f(x)是奇函数，
图象关于原点对称，排除A，B选项，由于f(1)=ee2−1>0，排除C选项，
故选：D．
6.【答案】B
【解析】解：易知函数y=lnx，y=ex，y=x−5在(0,+∞)上都单调递增，
所以f(x)=lnx+ex+x−5在(0,+∞)上单调递增，
又f(1)=0+e+1−5=e−4<0，f(2)=ln2+e2−3>0，
所以f(1)f(2)<0，
又因为函数连续不间断，由零点的存在性定理知，
函数f(x)在(1,2)内有零点，
即方程f(x)=0在(1,2)必有实数根．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得∠xOP0=π6，而−π6是以Ox为始边，OP0为终边的角，
由OP在tmin内转过的角为2π30t=π15t，可知以Ox为始边，
OP为终边的角为π15t−π6，则点P的纵坐标为40sin(π15t−π6)，
所以点P距地面的高度为ℎ=40sin(π15t−π6)+41，
故选：A．
8.【答案】C
【解析】解：因为偶函数f(x)在[0,2]上是增函数，且f(−2)=2，所以f(x)的最大值为2，
由对所有的x∈[−2,2]及任意的m∈[−1,1]都满足f(x)≤t2−mt−4，
则只需t2−mt−4≥2，即t2−mt−6≥0对任意的m∈[−1,1]恒成立，
令g(m)=t2−mt−6，则满足g(1)=t2−t−6≥0g(−1)=t2+t−6≥0，解得t≥3或t≤−3，
所以实数t的取值范围是(−∞,−3]∪[3,+∞)．
故选：C．
9.【答案】AC
【解析】解：A选项，因为36b=9，所以b=lg369=lg6232=lg63，A正确；
B选项，因为0C选项，2−a=2−lg62=lg6362=lg618，C正确；
D选项，由A选项得ba=lg63lg62=lg23，D错误．
故选：AC．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A中，由函数f(x)=ex+e−x的定义域为R，关于原点对称，
且f(−x)=e−x+ex=f(x)，所以f(x)为偶函数，
又由函数y=ex在(−∞,0)单调递增，结合函数y=x+1x在定义域(0,1)单调递减，
所以y=ex+e−x在(−∞,0)单调递减，所以A正确；
对于B中，函数f(x)=3|x|的定义域为R，且f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，
当x<0时，可得y=3|x|=3−x=(13)x为单调递减函数，所以B正确；
对于C中，由f(x)=lg(x2+1)的定义域为R，且f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，
当x∈(−∞,0)时，函数y=x2+1在(−∞,0)上单调递减，且函数y=lgx为增函数，
所以y=lg(x2+1)在(−∞,0)上单调递减，所以C正确；
对于D中，函数f(x)=x−1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，
且f(−x)=−x+1x=−(x−1x)=−f(x)，所以函数y=x−1x是奇函数，所以D错误．
故选：ABC．
11.【答案】ABD
【解析】解：函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，
由图知函数f(x)的最小正周期T=43×(5π6−π12)=π，
所以ω=2ππ=2，所以f(x)=3sin(2x+φ)．
将点(π12,3)代入，得3=3sin(π6+φ)，
所以π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，解得φ=π3+2kπ(k∈Z)，又|φ|<π2，
所以φ=π3，所以f(x)=3sin(2x+π3)，故A正确；
当x=−11π12时，f(x)=3sin[2×(−11π12)+π3]=3sin(−32π)=3，故B正确；
当x∈(3π2,11π6)时，2x+π3∈(10π3,4π)，故C错误；
由f(x)⩽32，得3sin(2x+π3)⩽32，所以−7π6+2kπ⩽2x+π3⩽π6+2kπ，k∈Z，解得−3π4+kπ⩽x⩽−π12+kπ，k∈Z，故D正确．
故选：ABD．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，对任意的x∈R， x2+1+x>|x|+x≥0，
所以函数f(x)=ln( x2+1+x)+x+1的定义域为R，
又因为f(−x)+f(x)=[ln( x2+1−x)+(−x)+1]+ln( x2+1+x)+x+1=ln(x2+1−x2)+2=2，所以f(lg3)+f(lg13)=f(lg3)+f(−lg3)=2，故A正确；
对于B选项，因为函数f(x)满足f(−x)+f(x)=2，故函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，故B正确；
对于C选项，对于函数ℎ(x)=ln( x2+1+x)，该函数的定义域为R，ℎ(−x)+ℎ(x)=ln( x2+1−x)+ln( x2+1+x)=ln(x2+1−x2)=0，
即ℎ(−x)=−ℎ(x)，所以函数ℎ(x)为奇函数，当x≥0时，内层函数u= x2+1+x为增函数，外层函数y=lnu为增函数，所以函数ℎ(x)在[0,+∞)上为增函数，故函数ℎ(x)在(−∞,0]上也为增函数，因为函数ℎ(x)在R上连续，故函数ℎ(x)在R上为增函数，又因为函数y=x+1在R上为增函数，故函数f(x)在R上为增函数，故C不正确；
对于D选项，因为实数a，b满足f(a)+f(b)>2，则f(a)>2−f(b)=f(−b)，可得a>−b，即a+b>0，故D正确．
故选：ABD．
13.【答案】3 24
【解析】解：由正弦的倍角公式，可得sinxsin2x=sinx2sinxcsx=12csx=3 24．
故答案为：3 24．
14.【答案】12
【解析】解：∵x>0，
∴xx2+1=1x+1x≤12 x⋅1x=12，当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立，
∴xx2+1的最大值是12．
故答案为：12．
15.【答案】[1,+∞)
【解析】解：依题意，由ex当x<0时，−x>0，e−x>e0=1，即函数f(x)的取值集合为(1,+∞)；
当x≥0时，ex≥e0=1，即函数f(x)的取值集合为[1,+∞)．
故函数f(x)的值域为[1,+∞)．
故答案为：[1,+∞)．
16.【答案】1
【解析】解：令f(x)=ex+x−2，易知f(x)为单调递增函数，f(x1)=0，
即f(x)有且仅有一个零点，
又由题可知1x2−lnx2−2=0，即e−lnx2+(−lnx2)−2=0，
所以f(−lnx2)=0，
所以x1=−lnx2，
即x2=e−x1，
又ex1+x1−2=0，得2−x1=ex1，
所以x2(2−x1)=e−x1⋅ex1=1．
故答案为：1．
17.【答案】(1)解：由函数f(x)=5sin(3x+π4)+2，可得函数f(x)最小正周期为T=2π3，
令3x+π4=kπ,k∈Z，解得x=−π12+kπ3,k∈Z，所以对称中心为(−π12+kπ3,2),k∈Z，
再令π2+2kπ≤3x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z，解得π12+2kπ3≤x≤5π12+2kπ3,k∈Z，
所以函数f(x)的减区间为[π12+2kπ3,5π12+2kπ3],k∈Z．
(2)解：因为x∈[−5π36,π6]，所以3x+π4∈[−π6,3π4]，
所以当3x+π4=−π6，即x=−5π36时，函数有最小值为−12，
当3x+π4=π2，即x=π12时，函数有最大值为7．
【解析】(1)根据题意，结合三角函数的图象与性质，准确计算，即可求解；
(2)由x∈[−5π36,π6]，得到3x+π4∈[−π6,3π4]，结合正弦函数的性质，即可求解．
18.【答案】解：(1)因为sin(α+π3)=2 55，
所以cs(α+π3)=± 1−sin2(α+π3)=± 1−45=± 55，
又α∈(π6,7π6)，
所以α+π3∈(π2,3π2)，
所以cs(α+π3)=− 55，
所以tan(α+π3)=2 55− 55=−2，
所以tanα=tan(α+π3−π3)=tan(α+π3)−tanπ31+tan(α+π3)tanπ3=−2− 31−2 3=5 3+811；
(2)sin2(α+π3)=2sin(α+π3)cs(α+π3)=−45，
cs2(α+π3)=2cs2(α+π3)−1=−35，
则cs(2α+5π12)=cs[2(α+π3)−π4]=cs2(α+π3)csπ4+sin2(α+π3)sinπ4=−35× 22−45× 22=−7 210．
【解析】(1)利用平方关系可得cs(α+π3)=± 55，再结合角α的范围，可得cs(α+π3)=− 55，进而得到tan(α+π3)，由此通过配角容易得解；
(2)利用二倍角公式，再结合cs(2α+5π12)=cs[2(α+π3)−π4]即可得解．
19.【答案】解：(1)解：因为f(x)是偶函数，所以f(−1)=f(1)=2a−12=32，解得a=1，
当x<0时，可得−x>0，可得f(x)=f(−x)=2−x−2−(−x)=2−x−2x，
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2x−2−x,x≥02−x−2x,x<0．
(2)解：由(1)知，当x>0时，f(x)=2x−2−x>0，
因为mf(x)−4x−4−x≤0在(0,+∞)上恒成立，
即m≤4x+4−x2x−2−x=(2x−2−x)2+22x−2−x=2x−2−x+22x−2−x，
又因为2x−2−x+22x−2−x≥2 (2x−2−x)⋅22x−2−x=2 2，
当且仅当2x−2−x=22x−2−x时，即x=lg2(1+ 3)−12时等号成立，
所以m≤2 2，即m的取值范围是(−∞,2 2]．
【解析】(1)由f(−1)=32，求得a=1，再结合函数的奇偶性，求得x<0时，f(x)=2−x−2x，进而求得函数f(x)的解析式；
(2)由(1)，把mf(x)−4x−4−x≤0在(0,+∞)上恒成立，转化为m≤4x+4−x2x−2−x，结合基本不等式，即可求解．
20.【答案】解：(1)设每个长方形区域的长为xm(0则宽为24xm，
栅栏总长为l=4x+6×24x=4x+144x≥2 4×144=48，当且仅当4x=144x，即x=6时等号成立，
故每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m；
(2)由题可知每个长方形区域的长为xm，宽为x2m，2则长方形区域的面积为4x⋅x2=2x2，栅栏总长为4x+6×x2=7x，
∴总费用y=10×2x2+5×7x=20x2+35x，
又∵总费用不超过180元，
∴20x2+35x≤180，解得−4≤x≤94，
又∵2∴2故x的取值范围为(2,94].
【解析】(1)利用基本不等式，即可求得栅栏总长度的最小值；
(2)根据题意可知总费用y=10×2x2+5×7x=20x2+35x，解不等式即可求得x的取值范围．
21.【答案】解：(1)函数f(x)=lg3(x2+ax+1)的定义域为R，
即x2+ax+1>0在x∈R上恒成立，则满足Δ=a2−4<0，解得−2所以实数a的取值范围是(−2,2)；
(2)解：函数f(x)=lg3(x2+ax+1)的值域为R，
则满足Δ=a2−4≥0，解得a≤−2或a≥2，即实数a的取值范围(−∞,−2]∪[2,+∞)；
(3)解：因为a>0且t≥0，可得f(x)在[t,t+1]上单调递增，
所以f(x)min=f(t)=lg3(t2+at+1)，f(x)max=f(t+1)=lg3[(t+1)2+a(t+1)+1]=lg3[t2+(a+2)t+a+2]，
所以f(t+1)−f(t)≤1对任意t∈[0,+∞)恒成立，
所以lg3[t2+(a+2)t+a+2]−lg3(t2+at+1)≤1对任意t∈[0,+∞)恒成立，
即2t2+(2a−2)t+1−a≥0对任意t∈[0,+∞)恒成立，
令g(t)=2t2+(2a−2)t+1−a，t∈[0,+∞)，所以g(t)min≥0，
当2a−2>0，即a>1时，g(t)min=g(0)=1−a≥0，解得a≤1，所以无解；
当2a−2≤0，即a≤1g(t)min=g(−a−12)=−a2−12≥0时，解得−1≤a≤1，所以0综上，实数a的取值范围是(0,1]．
【解析】(1)根据题意，转化为x2+ax+1>0在x∈R上恒成立，结合Δ<0，即可求解；
(2)根据题意，结合f(x)的值域为R，得到Δ=a2−4≥0，即可求解；
(3)根据题意，求得f(x)min=lg3(t2+at+1)和f(x)max=lg3[t2+(a+2)t+a+2]，转化为2t2+(2a−2)t+1−a≥0恒成立，令g(t)=2t2+(2a−2)t+1−a，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解．
22.【答案】解：(1)由f(x)=12cs2x+csx+1−a=12(2cs2x−1)+csx+1−a=cs2x+csx+12−a，
令t=csx，因为x∈(π2,π)，可得t∈(−1,0)，且f(t)=t2+t+12−a，
令f(x)=0，即t2+t=a−12，又因为y=t2+t=(t+12)2−14∈[−14,0),
当a−12≥0或a−12<−14，即a∈(−∞,14)∪[12,+∞)时，此时t2+t=a−12无解；
当a−12=−14，即a=14时，t2+t=a−12仅有一解t=−12，此时x仅有一解2π3；
当−14因为csx=−12± a−14各有一解，此时f(x)恰有两个零点，
综上可得，当a∈(−∞,14)∪[12,+∞)时，f(x)无零点；当a=14时，f(x)恰有一个零点；当a∈(14,12)时，f(x)恰有两个零点．
(2)证明：若f(x)恰有两个零点x1，x2时，
令t1=csx1，t2=csx2，所以t1，t2为t2+t=a−12的两解，
所以t1+t2=−1，所以csx1+csx2=−1，所以cs2x1+2csx1csx2+cs2x2=1，
由x1,x2∈(π2,π)，可得csx1<0，csx2<0，所以2csx1csx2>0，则cs2x1+cs2x2<1，
所以cs2x1由x2∈(π2,π)，可得3π2−x2∈(π2,π),cs(3π2−x2)<0，所以csx1>cs(3π2−x2)，
因为y=csx在(π2,π)上单调递减，可得x1<3π2−x2，所以x1+x2<3π2．
【解析】(1)化简函数由f(x)=cs2x+csx+12−a，令t=csx，得到f(t)=t2+t+12−a，结合f(x)=0，得到t2+t=a−12，分类讨论，结合余弦函数的性质，即可求解；
(2)设f(x)两个零点x1，x2，转化为cs2x1+2csx1csx2+cs2x2=1，分x1,x2∈(π2,π)和x2∈(π2,π)，两种情况讨论，结合正弦函数的性质，即可求解．