2023-2024学年广东省阳江市高二下学期期末测试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省阳江市高二下学期期末测试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x∈N|x2−x−6<0}，则A∩B=( )
A. {1,2}B. {0,1,2}C. {−1,0,1}D. {−1,0,1,2}
2.双曲线E:x29−y236=1的渐近线方程为( )
A. y=±14xB. y=±12xC. y=±2xD. y=±4x
3.已知n为平面α的一个法向量，l为一条直线，m为直线l的方向向量，则“m→⊥n→”是“l/​/α”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.下列说法错误的是( )
A. 若随机变量X∼B10,12，则E(X)=5．
B. 若随机变量X的方差D(X)=1，则D3X+1=10．
C. 若P(A)=0.6，P(B)=0.4，PBA=0.4，则事件A与事件B独立．
D. 若随机变量X服从正态分布N6,σ2，若PX<10=0.8，则P25.2−3x2(1+x)5展开式中x3的系数为( )
A. 17B. 20C. 75D. 100
6.已知正数x，y满足x+y=2，则x2+y2−xy的取值范围是( )
A. 1,4B. 0,4C. [1,4)D. [1,3)
7.若函数f(x)=x+3x,x≤013x3−4x+a,x>0，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为
( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
8.记[x]表示不超过x的最大整数，=x−[x]，如[2.4]=2，<2.4>=0.4，已知数列{an}的通项公式为an=13n−2，数列{bn}满足bn=2[an]−3，则b1+b2+b3+⋯+b20=( )
A. 23B. 22C. 24D. 25
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线y=kx与圆(x−2)2+(y+1)2=9相交于A,B两点，则AB的长度可能等于( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
10.下列定义在(0,+∞)上的函数f(x)中，满足∀x∈(0,+∞),f(x)+f1x≥2f(1)的有( )
A. f(x)= xB. f(x)=x1+x2C. f(x)=csπxD. f(x)=ex
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别为棱DD1,DC的中点，点P为四边形A1B1C1D1(含边界)内一动点，且MP=2，则( )
A. A1B//平面AMN
B. 点P的轨迹长度为 3π
C. 存在点P，使得MP⊥面AMN
D. 点P到平面AMN距离的最大值为 15+23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数fx=x2−15ex的极小值点为 ．
13.已知过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A作直线l交y轴于点M，交椭圆于点N，若ΔAOM是等腰三角形，且MN=2NA，则椭圆的离心率为_________．
14.现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则PBA= ，PAB= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=12nn+1．
(1)求an的通项公式；
(2)若数列bn满足bn=1anan+2,n为奇数2an,n为偶数，求bn的前2n项和T2n．
16.(本小题15分)
在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面为矩形，AB= 3AD= 3a，AA1=ℎ，O，E分别为底面的中心和CD的中点，连接OE，A1O，A1E，D1B，D1C.
(1)求证：平面A1OE⊥平面CDD1C1；
(2)若ℎa= 62，求平面A1OE与平面D1BC所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知函数fx=ax−1−lnxa∈R．
(1)若a=1，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)求函数fx的单调区间；
(3)若fx≥0恒成立，求实数a的取值集合．
18.(本小题17分)
时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？
(2)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数X的概率分布和数学期望；
(3)统计学中常用RBA=PBAPBA表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当RBA≥1.35时，我们认为事件A条件下B发生有优势．现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”，B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计RBA的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势．
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d
19.(本小题17分)
如图，抛物线Γ:y2=2px(p>0),M(2,1)是抛物线内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1,l2，设l1与抛物线Γ相交于点A,B,l2与抛物线Γ相交于点C，D，当M恰好为线段AB的中点时，|AB|=2 6．

(1)求抛物线Γ的方程；
(2)求AC⋅DB的最小值．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.C
7.C
8.D
9.BCD
10.ACD
11.AD
12.3
13.2 55
14.12；29
15.解：(1)因为Sn=12n2+12n，
所以当n=1时，a1=S1=1，
当n⩾2时，an=Sn−Sn−1=12n2+12n−[12(n−1)2+12(n−1)]=n，
又n=1时符合上式，
所以an=n．
(2)bn=12(1n−1n+2),n为奇数,2n,n为偶数,
则T2n=(b1+b3+⋯+b2n−1)+(b2+b4+⋯+b2n)
=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]+22+24+⋯+22n
=12(1−12n+1)+4(1−4n)1−4
=n2n+1+4n+1−43．
16.解：(1)证明：由题可得OE⊥CD，
因为DD1⊥平面ABCD，OE⊂平面ABCD，
所以DD1⊥OE，
又因为DD1∩CD=D，DD1，CD⊂平面CDD1C1，
所以OE⊥平面CDD1C1，
因为OE⊂平面A1OE，
所以平面A1OE⊥平面CDD1C1．
(2)以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
因为ℎa= 62，所以不妨取a=2,ℎ= 6，
由已知得A1(2,0, 6)，D1(0,0, 6)，O1, 3,0，C0,2 3,0，E0, 3,0，B2,2 3,0，
所以A1O=−1, 3,− 6，D1C=0,2 3,− 6，
又CB=2,0,0，EO=1,0,0，
设平面A1OE的法向量为n=(x1,y1,z1)，
所以n·A1O=0n·EO=0，即−x1+ 3y1− 6z1=0,x1=0,
不妨取n=0, 2,1，
设平面D1BC的法向量为m=(x2,y2,z2)，
所以m·D1C=0m·CB=0，即2 3y2− 6z2=0,2x2=0,
不妨取m=0, 2,2，
设平面A1OE与平面D1BC所成角的大小为α，
所以csα=csn,m=|n⋅m|n⋅m=4 3× 6=2 23．
所以平面A1OE与平面D1BC所成角的余弦值为2 23．
17.(1)当 a=1 时， fx=x−1−lnx ， f′x=1−1x ，
所以 f1=0 ， f′1=0 ，即切点坐标为 1,0 ，切线的斜率 k=0 ，
所以曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程为 y=0;
(2)由题意得： fx 的定义域为 0,+∞ ， f′x=a−1x=ax−1x ，
当 a≤0 时， f′x<0 ，则 fx 单调递减区间为 0,+∞ ，无单调递增区间，
当 a>0 时，令 f′x=0 ，解得： x=1a ，
所以当 x∈0,1a 时， f′x<0 ，
当 x∈1a,+∞ 时， f′x>0 ，
所以 fx 的单调递减区间为 0,1a ，单调递增区间为 1a,+∞ ，
综上所述： a≤0 时，则 fx 的单调递减区间为 0,+∞ ，无单调递增区间，
a>0 时， fx 的单调递减区间为 0,1a ，单调递增区间为 1a,+∞ ；
(3)当 a≤0 时， f2=a−ln2<0 ，不合题意，
当 a>0 时，由(1)知 f(x)min=f1a=1−a+lna ，
则 1−a+lna≥0 ，
令 ga=1−a+lna ，则 g′a=1a−1 ，
所以当 a∈0,1 时， g′a>0 ，
当 a∈1,+∞ 时， g′a<0 ，
所以 ga 在 0,1 上单调递增，在 1,+∞ 上单调递减，
所以 g(a)max=g1=0 ，
所以 a=1 ，
实数 a 的取值集合为 1

18.解：(1)由题意得 χ2=200×60×70−40×302100×100×90×110=18.182 ，
由于 18.182>10.828 ，依据小概率值 α=0.001 的独立性检验，
可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联；
(2)按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，
随机变量 X 的可能取值为1，2，3，
PX=1=C31⋅C22C53=310 ， PX=2=C32⋅C21C53=610=35 ，
PX=3=C33C53=110 ，
所以 X 的分布列为：
所以数学期望 EX=1×310+2×35+3×110=95 ；
(3) R(B|A)=P(B|A)P(B|A)=P(AB)P(A)P(AB)P(A)=P(AB)P(AB)=n(AB)n(AB)=7040=74=1.75 ，
因为 1.75>1.35 ，所以认为在事件 A 条件下 B 发生有优势．

19.解：(1)设直线AB:x−2=m(y−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立 x=my−m+2y2=2px ，得 y2−2pmy+2pm−4p=0，
所以y1+y2=2pm，y1y2=2pm−4p．
又因为M(2,1)是中点，所以y1+y22=pm=1，
|AB|= 1+m2|y1−y2|= 1+m2 (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2 16p−4=2 6，
代入化简得(p−1)(4p2−3p+1)=0，解得p=1．
故抛物线Γ的方程为y2=2x．
(2) AC⋅DB=(MC−MA)⋅(MB−MD)
=MC⋅MB−MA⋅MB−MC⋅MD+MA⋅MD
=−MC⋅MD−MA⋅MB=|MC|⋅|MD|+|MA|⋅|MB| ，
因为|MA|⋅|MB|= 1+m2|y1−1|⋅ 1+m2|y2−1|
=(1+m2)|(y1−1)(y2−1)|=(1+m2)|y1y2−(y1+y2)+1|
=(1+m2)|2m−4−2m+1|=3(1+m2)，
同理|MC|⋅|MD|=3(1+1m2)，
所以AC⋅DB=3(1+m2)+3(1+1m2)=3(2+m2+1m2)≥12，
当且仅当m=±1时，等号成立，即所求最小值为12． 主播的学历层次
直播带货评级
合计
优秀
良好
本科及以上
60
40
100
专科及以下
30
70
100
合计
90
110
200
α=Pχ2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
X
1
2
3
P
310
35
110