2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z+21−i=i，则z−的虚部为( )
A. −1B. 1C. 3D. −3
2.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是( )
A. 若l/​/m，m⊂α，则l/​/α
B. 若l/​/α，m//β，α/​/β，则l/​/m
C. 若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m
D. 若m⊥β，l/​/α，l/​/m，则α⊥β
3.某学校数学教研组举办了数学知识竞赛(满分100分)，其中高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1000，800，600.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算可得高二、高三年级参赛选手成绩的样本平均数分别为76，82，全校参赛选手成绩的样本平均数为75，则高一年级参赛选手成绩的样本平均数为( )
A. 69B. 70C. 73D. 79
4.如图，D是△ABC边AC的中点，E在BD上，且DE=2EB，则( )
A. AE=23AB+16ACB. AE=23AB+13AC
C. AE=56AB+16ACD. AE=34AB+18AC
5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，在A处测得公路北侧一山顶D在西偏北30° (即∠BAC=30°)的方向上；行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75° (即∠CBE=75°)的方向上，且仰角为30°，则此山的高度CD=( )
A. 100 6mB. 100 3mC. 300 6mD. 150 3m
6.设向量a与b的夹角为θ，定义a⊕b=|asinθ−bcsθ|，已知|a|= 2，|b|=|a−b|=1，则a⊕b=( )
A. 22B. 2C. 32D. 3
7.在△ABC中，b= 10，再从下列四个条件中选出两个条件，
①ac=28；
②c=2；
③csB=14；
④面积为14 2，
使得△ABC存在且唯一，则这两个条件是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①④
8.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PB⊥底面ABCD.若PB=AB=CD=AD=1，BC=2，则这个四棱锥的外接球表面积为( )
A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(m,−1),b=(−2,1)，则下列说法正确的是( )
A. 若m=1，则|a−b|= 13
B. 若a⊥b，则m=2
C. “m>−12”是“a与b的夹角为钝角”的充要条件
D. 若m=−1，则b在a上的投影向量的坐标为(−12,−12)
10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若A>B，则csA>csB
C. 若a2+b20，因此csC=12，又C∈(0,π)，所以C=π3．
(2)由△ABC的面积S△ABC= 3，得12absinC= 3，得ab=4，
又c=2，由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，得a2+b2−ab=4，则a2+b2=8，
于是(a+b)2=a2+b2+2ab=16，解得a+b=4，
所以△ABC的周长为a+b+c=4+2=6．
16.解：(1)因为每组小矩形的面积之和为1，
所以(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，则a=0.030．
(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，
落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，
设第75百分位数为m，
由0.65+(m−80)×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位数为84．
(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，
成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，
故这两组成绩的总平均数为10×57+69×2010+20=65，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：
s2=1030×[7+(57−65)2]+2030×[4+(69−65)2]=37．
17.证明：(1)△ABD中，因为AB=2，AD=1，BD= 3，
所以AB2=AD2+BD2，
所以AD⊥BD，
又侧面ADD1A1为矩形，
所以AD⊥DD1，
又BD∩DD1=D，BD，DD1⊂平面BDD1B1，
所以AD⊥平面BDD1B1，
又AD⊂平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面BDD1B1；
解：(2)因为AD//BC，AD⊥平面BDD1B1，
所以BC⊥平面BDD1B1，
易得BC=1，B1D1= 3，B1B= 3，∠D1B1B=60°，
所以△BB1D1的面积S△BB1D1=12× 3× 3× 32=3 34，
三棱锥D1−BCB1的体积VD1−BCB1=VC−BB1D1=13S△BB1D1⋅BC=13×3 34×1= 34．
18.(1)证明：因为△ACD为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形，且E为AC的中点，
所以DE⊥AC，BE⊥AC，
又DE∩BE=E，DE、BE⊂平面BDE，
所以AC⊥平面BDE．
(2)解：由题意知，DE=12AC=1，BE= 3，
因为BD=2，所以DE2+BE2=BD2，即DE⊥BE，
故EA，EB，ED两两垂直，
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,1)，A(1,0,0)，B(0, 3,0)，C(−1,0,0)，
所以AB=(−1, 3,0)，DA=(1,0,−1)，CA=(2,0,0)，
设平面ABD的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AB=−x+ 3y=0m⋅DA=x−z=0，
取y=1，则x=z= 3，所以m=( 3,1, 3)，
易知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1)，
设二面角D−AB−C的大小为θ，
由图知，二面角D−AB−C为锐角，
所以csθ=|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|= 3 7×1= 217，
所以tanθ=2 33，
故二面角D−AB−C的正切值为2 33．
(3)解：由(1)知，AC⊥平面BDE，
因为EF⊂平面BDE，所以AC⊥EF，
所以S△AFC=12AC⋅EF，
当△AFC的面积最小时，EF最小，此时EF⊥BD，
在Rt△BDE中，EF=DE⋅BEBD=1⋅ 32= 32，DF= DE2−EF2=12=14BD，
所以F(0, 34,34)，CF=(1, 34,34)，
设CF与底面ABD所成角为α，则sinα=|cs=|CF⋅m||CF|⋅|m|=| 3+ 34+3 34| 1+316+916× 7=4 37，
故CF与底面ABD所成角的正弦值为4 37．
19.(1)证明：因为a2=b2+c2−2bccsA=b2+bc，
所以c−b=2bcsA，由正弦定理可得sinC−sinB=2sinBcsA，
又因为sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
代入可得sinAcsB−csAsinB=sinB，即sin(A−B)=sinB，
因为0