2023-2024学年云南省普洱市高一年级下学期期末统一检测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省普洱市高一年级下学期期末统一检测数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={0,1,2}，N={−2,0,1}，则( )
A. M∩N={0}B. M∪N=MC. {0}⊆M∩ND. M∪N⊆{0,1}
2.若实数m，n满足m−2i=1+ni，则m−n=( )
A. −3B. 3C. −1D. 1
3.已知sinα=45，则cs(7π2−α)=( )
A. 45B. −45C. 35D. −35
4.随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是( )
A. 110B. 115C. 120D. 125
5.若a=(1,2)，b=(−1,3)，则cs=( )
A. 0B. 12C. 22D. 55
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a+ccsA=b+ccsB，则△ABC为( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
7.如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为2 5，则此圆锥的表面积为( )
A. 4πB. 5πC. 6πD. 8π
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且当x2>x1≥1时，恒有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，则不等式f(x−1)>f(2x+1)的解集为( )
A. (−2,0)B. (−2,23)
C. (−∞,−2)∪(23,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项说法错误的是( )
A. 对立事件一定是互斥事件
B. 若A，B为两个事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)
C. 若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1
D. 若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A，B是对立事件
10.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有( )
A. BC⊥平面PABB. AD⊥PCC. AD⊥平面PBCD. PB⊥平面ADC
11.已知定义在R上的函数f(x)与g(x)满足f(x)=g(x+1)+1，且f(1−x)+g(x+1)=1，若f(x+1)为偶函数，则( )
A. f(4)=f(−2)B. g(32)=0
C. g(1−x)=g(1+x)D. f(x)的图象关于原点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算(278)−23+πlg1+lg2⁡23−lg4⁡169= ．
13.已知球O的表面积为16π，球心O到球内一点P的距离为1，则过点P的截面面积的最小值为 ．
14.对定义在非空集合I上的函数f(x)，以及函数g(x)=kx+b(k,b∈R)，俄国数学家切比雪夫将函数y=|f(x)−g(x)|，x∈I的最大值称为函数f(x)与g(x)的“偏差”.若f(x)=x2，x∈[−1,1]，g(x)=x+1，则函数f(x)与g(x)的“偏差”为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)求 1−2sin 40∘cs 40∘ 1−sin2 50∘+cs 140∘的值;
(2)已知tanθ=2，求sin2θ+sinθcsθ的值．
16.(本小题15分)
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中，a=8，tanA=2 2．
(1)求△ABC的外接圆半径;
(2)求△ABC周长的最大值．
17.(本小题15分)
智能手机的出现改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名，得到他们每天使用手机时间(单位：分钟)并将其分组为[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]，作出频率分布直方图如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者使用时间的中位数;(精确到整数)
(2)估计手机使用者平均每天使用手机的时间;(同一组中的数据用这组数据的中点值作代表)
(3)在抽取的100名手机使用者中，在(20,40]和(40,60]中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，然后从研究小组中选出2名组长.求这2名组长分别选自(20,40]和(40,60]的概率．
18.(本小题17分)
已知在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB，点D为AA1的中点，点E在CC1的延长线上，且C1E=13CE．
(1)证明：AC1/​/平面BDE;
(2)求二面角B−DE−C的正切值．
19.(本小题17分)
对于分别定义在D1，D2上的函数f(x)，g(x)以及实数k，若任取x1∈D1，存在x2∈D2，使得f(x1)+g(x2)=k，则称函数f(x)与g(x)具有关系M(k).其中x2称为x1的像．
(1)若f(x)=2sin(2x+π3)，x∈R;g(x)=3cs(3x+π6)，x∈R，判断f(x)与g(x)是否具有关系M(−6)，并说明理由;
(2)若f(x)=2sin(2x+π3)，x∈[0,π3];g(x)=3 3cs(3x+π6)，x∈[0,π]，且f(x)与g(x)具有关系M(5 32)，求x1=π6的像．
答案解析
1.C
【解析】解：M∩N={0,1}，M∪N={−2,0,1,2}，故选C．
2.B
【解析】解：由实数m，n满足：m−2i=1+ni，
则两个复数的实部和虚部分别相等，
所以m=1，n=−2，
故：m−n=1−(−2)=3．
故选：B．
3.B
【解析】解：cs(7π2−α)=cs(3π2−α)=−sinα=−45.故选B．
4.C
【解析】设在老年人中发放的调查问卷份数为x，
则x2400=3452400+2400+2100，解得x=120．
故选C．
5.A
【解析】解：因为a=(1,2)，b=(−1,3)，所以a−b=(2,−1)，
所以cs=a⋅(a−b)|a||a−b|=1×2+2×(−1) 12+22× 22+(−1)2=0．
故选A．
6.D
【解析】解：因为a+ccsA=b+ccsB，
所以由余弦定理得，由余弦定理可得：a+c×b2+c2−a22bc=b+c×a2+c2−b22ac，
即2a2b+ab2+ac2−a3=2ab2+a2b+c2b−b3，
整理得：(a−b)(a2+b2−c2)=0，
得a=b或a2+b2=c2，
所以△ABC为等腰或直角三角形．
故选D．
7.B
【解析】
解：设底面圆半径为 r ，
由母线长 l=4 ，可知侧面展开图扇形的圆心角为 α=2πrl=πr2 ，
将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，最短距离为BM；
如图，
在 ▵ABM 中， MB=2 5,AM=2,AB=4 ，
所以 AM2+AB2=MB2 ，
所以 ∠MAB=π2 ，
故 α=πr2=π2 ，解得 r=1 ，
所以圆锥的表面积为 S=πrl+πr2=5π ，
故选：B
8.C
【解析】解：由f(2−x)=f(x)得，f(x)的图象关于直线x=1对称，
令g(x)=f(x+1)，则g(x)是偶函数，
又当x2>x1≥1时，恒有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，
故f(x)在[1,+∞)上单调递减，所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，
则f(x−1)>f(2x+1)⇒g(x−2)>g(2x)⇒|x−2|<|2x|，解得x<−2或x>23．
即不等式f(x−1)>f(2x+1)的解集为(−∞,−2)∪(23,+∞)，
故选C．
9.BCD
【解析】解：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A正确；
若A、B为两个互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，故B不正确；
若事件A、B、C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)≤1，故C不正确；
若A，B不互斥，尽管P(A)+P(B)=1， 但A，B不是对立事件，故D不正确．
故选BCD．
10.ABC
【解析】解：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，
PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，故A正确;
由BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB，得BC⊥AD，又PA=AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB，
又PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，
∴AD⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，故B，C正确;
由BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，得BC⊥PB，因此PB与
CD不垂直，从而PB不与平面ADC垂直，D错误．
故选：ABC．
11.ABC
【解析】解：因为f(x+1)为偶函数，故f(x)的图象关于x=1对称，故f(4)=f(−2)，故A正确；
由f(x)=g(x+1)+1得f(1−x)=g(2−x)+1，代入f(1−x)+g(x+1)=1中，得g(2−x)+g(x+1)=0 ①，令x=12，得g(32)=0，故B正确；
因为f(x+1)为偶函数，故f(x+1)=f(1−x)，故由f(1−x)+g(x+1)=1得f(1+x)+g(x+1)=1，则g(x+2)+1+g(x+1)=1，故g(−x+2)+g(−x+1)=0 ②，
联立 ① ②，可得g(1−x)=g(1+x)，故x=1为g(x)图象的一条对称轴，故C正确；
而f(x)=g(x+1)+1，故f(x)的图象关于y轴对称，故D错误，
故选ABC．
12.49
【解析】
解： (278)−23+πlg1+lg223−lg4169=(23)3×23+π0+lg223−lg243
=(23)2+1+lg2(23×34)=49+1−1=49 ．
故答案为： 49 ．
13.3π
【解析】解：设球O的半径为R，则4πR2=16π，解得R=2，当点P为截面圆的圆心时，
即OP⊥截面时，过点P的截面的面积最小，
设此时截面的半径为r，则r= R2−12= 3，
所以过点P的截面的面积最小值为π⋅( 3)2=3π．
故答案为：3π．
先求出球O的半径R=2，数形结合得到当点P为截面圆的圆心时，过点P的截面的面积最小，利用勾股定理求出最小截面圆的半径，求出答案．
本题考查截面圆的问题，属于中档题．
14.54
【解析】解：y=|f(x)−g(x)|=|x2−x−1|=|(x−12)2−54|，x∈[−1,1]，
因为x∈[−1,1]，
所以(x−12)2−54∈[−54,1]，
则y=|(x−12)2−54|∈[0,54]，
故函数f(x)与g(x)的“偏差”为54．
15.解：(1)依题意 1−2sin 40∘cs 40∘ 1−sin2 50∘+cs 140∘=cs40∘−sin40∘cs50∘−sin50∘=cs40∘−sin40∘sin40∘−cs40∘=−1．
(2)依题意，sin2θ+sinθcsθ=sin2θ+sinθcsθsin2θ+cs2θ=tan2θ+tanθtan2θ+1=65．
【解析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，诱导公式，考查了转化思想，属于基础题．
(1)利用诱导公式化简即可得解．
(2)利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．
16.解：(1)依题意，{tan⁡A=sinAcsA=2 2sin2A+cs2A=1,0解得sinA=2 23，csA=13，
故△ABC的外接圆半径R=a2sinA=84 23=3 2．
(2)由余弦定理，a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−23bc=(b+c)2−83bc，
因为bc≤(b+c)24，则−83bc≥−2(b+c)23，
则64≥(b+c)2−2(b+c)23=(b+c)23，故b+c≤8 3，
当且仅当b=c=4 3时等号成立，
故△ABC周长的最大值为8+8 3．
【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
(1)由{tan⁡A=sinAcsA=2 2sin2A+cs2A=1,0(2)由余弦定理和基本不等式可得bc≤8 3，即可得解．
17.解：(1)由频率分布直方图得：
[0,40]的频率为：(0.0025+0.01)×20=0.25，
(40,60]的频率为0.015×20=0.3，
∴估计这500名手机使用者中使用时间的中位数是：
40+0.5−0.250.3×20=1703≈57(分钟)．
(2)估计手机使用者平均每天使用手机：
10×0.0025×20+30×0.01×20+50×0.015×20+70×0.01×20+90×0.0125×20=58(分钟)．
(3)在抽取的100名手机使用者中，
在(20,40]和(40,60]中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，分别记作a，b，x，y，z，
然后再从研究小组中选出2名组长，基本事件有ab，ax，ay，az，bx，by，bz，xy，xz，yz，总数n=10，
这2名组长分别选自(20,40]和(40,60]包含的基本事件个数m=6，
∴这2名组长分别选自(20,40]和(40,60]的概率是p=mn=610=35．
【解析】本题考查中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(1)根据中位数将频率二等分可直接求得结果；
(2)每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；
(3)采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式求得结果．
18.(1)证明：因为C1E=13CE，所以C1E=12CC1，
又D为AA1的中点，所以AD=12AA1=12CC1，
所以C1E=AD，又C1E//AD，
所以四边形ADEC1为平行四边形，
所以DE//AC1，
因为DE⊂平面BDE，AC1⊄平面BDE，
所以AC1/​/平面BDE．
(2)解：取AC的中点G，连接BG，DG，
因为三棱柱ABC−A1B1C1是正三棱柱且AA1=AB，
所以DG⊥DE，平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，
BG⊥AC，BG⊂平面ABC，则BG⊥平面ACC1A1，
因为DE⊂平面ACC1A1，所以BG⊥DE，
因为BG∩DG=G，BG、DG⊂平面BDG，所以DE⊥平面BDG，
因为BD⊂平面BDG，DE⊥BD，
所以∠BDG就是二面角B−DE−C的平面角，
因为BG= 32AC，DG= 2AG= 22AC，
所以tan∠BDG=BGDG= 32AC 22AC= 62，
即二面角B−DE−C的正切值为 62．

【解析】本题考查了线面平行的判定和二面角，是中档题．
(1)易得四边形ADEC1为平行四边形，所以DE//AC1，由线面平行的判定即可；
(2)取AC的中点G，连接BG，DG，所以∠BDG就是二面角B−DE−C的平面角，计算即可．
19.解：(1)f(x)的值域为[−2,2]，
当f(x1)=2时，由f(x1)+g(x2)=−6得g(x2)=−6−2=−8，
因为g(x)=3cs(3x+π6)的值域为[−3,3]，
故不存在x2，使f(x1)+g(x2)=−6，即f(x)与g(x)不具有关系M(−6)．
(2)f(π6)= 3，由f(π6)+g(x)=5 32，得 3+3 3cs(3x+π6)=5 32，
即cs(3x+π6)=12，所以3x+π6=2kπ+π3或3x+π6=2kπ−π3，k∈Z，
得x=2kπ3+π18或x=2kπ3−π6，k∈Z，
又x∈[0,π]，得x=π18，π2，13π18，
所以x1=π6的像为π18，π2，13π18．
【解析】本题考查函数的新定义问题，考查三角函数的性质，属于难题．
(1)求出f(x)和g(x)的值域，利用新定义即可判断;
(2)利用正、余弦型函数的性质，结合新定义即可求解;