2023-2024学年江西省九江市六校高一下学期期末联考数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年江西省九江市六校高一下学期期末联考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法正确的是( )
A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线
B. 棱柱的底面一定是平行四边形
C. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形
D. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
2.sin 600°+tan 240°的值是( )
A. − 32B. 32C. −12+ 3D. 12+ 3
3.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则( )
A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1
C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=1
4.已知|a|=|b|=2，a⋅b=2，则|a−b|=( )
A. 1B. 3C. 2D. 3或2
5.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l⊄α,l⊄β,则( )
A. α // β且l// αB. α⊥β且l⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l
6.已知函数y=3sin(x+π5)图象为C，为了得到函数y=3sin(2x−π5)的图象，只要把C上所有点( )
A. 先向右平移π5个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 先向右平移25π个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C. 先将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π5个单位长度
D. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π5个单位长度
7.已知A(1,2)，B(3,4)，C(−2,2)，D(−3,5)，则向量AB在向量CD上的投影向量的坐标为( )
A. (25,65)B. (−25,65)C. (−25,−65)D. (25,−65)
8.已知函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)在区间[0,π3]上的最大值为ω3，则实数ω的取值个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合M={m|m=in,n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
A. (1−i)(1+i)B. 1−i1+iC. 1+i1−iD. (1−i)2
10.已知a≠e，|e|=1，满足：对任意t∈R，恒有|a−te|≥|a−e|，则( )
A. a⋅e=0B. e⋅(a−e)=0
C. a⋅e=1D. e⋅(a−e)=1
11.如图，在棱长均相等的正四棱锥P−ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论中正确的是( )
A. PC/​/平面OMN
B. 平面PCD//平面OMN
C. OM⊥PA
D. 直线PD与直线MN所成的角的大小为90∘
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i是虚数单位，若复数(1−2i)(a+i)是纯虚数，则实数a的值为 ．
13.如图所示为水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，用斜二测画法画出它的直观图A′B′C′O′，则点B′到x′轴的距离为 ．
14.已知函数f(x)=asinx+bcsx+c的图象过点(0,0)和(−π6,c)且当x∈[0,π3]时，|f(x)|≤ 2恒成立，则实数c的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=−2+i，z1z2=−5+5i(i为虚数单位)．
(1)求复数z2;
(2)若复数z3=(3−z2)[(m2−2m−3)+(m−1)i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90∘．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC;
(2)设DO= 2，圆锥的侧面积为 3π，求三棱锥P−ABC的体积．
17.(本小题15分)
平面内有向量OA=(1,7)，OB=(5,1)，OP=(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点．
(1)当QA⋅QB取最小值时，求OQ的坐标;
(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cs∠AQB的值．
18.(本小题17分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点M为单位圆上的一点，且∠AOM=π3，点M沿单位圆按逆时针方向旋转θ角后到点N(a,b)．
(1)当θ=54π时，求a+b的值;
(2)设θ∈[π4,1312π]，求b−a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知三棱锥P−ABC的棱AP、AB、AC两两互相垂直，且AP=AB=AC=4 3．
(1)若点M、N分别在线段AB、AC上，且AM=MB，AN=3NC，求二面角P−MN−A的余弦值;
(2)若以顶点P为球心，8为半径作一个球，球面与该三棱锥P−ABC的表面相交，试求交线长是多少?
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.D
6.C
7.B
8.B
9.BC
10.BC
11.ABC
12.−2
13. 22
14.− 2≤c≤ 2．
15.解：(1)∵z1z2=−5+5i，
∴z2=−5+5iz1=−5+5i−2+i=(−5+5i)(−2−i)(−2+i)(−2−i)=3−i．
(2)z3=(3−z2)[(m2−2m−3)+(m−1)i]
=i[(m2−2m−3)+(m−1)i]
=−(m−1)+(m2−2m−3)i，
∵z3在复平面内所对应的点在第四象限，
∴−(m−1)>0m2−2m−3<0，解得−1故实数m的取值范围是(−1,1)．
16.解：(1)由题设可知，PA=PB=PC，由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC．
又∠APC=90∘，故∠APB=90∘，∠BPC=90∘．
从而PB⊥PA，PB⊥PC，
又PA∩PC=P，PA,PC⊂平面PAC，
故PB⊥平面PAC，PB⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAC．
(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l.由题设可得rl= 3，l2−r2=2.解得r=1，l= 3.从而AB= 3．
由(1)可得PA2+PB2=AB2，故PA=PB=PC= 62．
所以三棱锥P−ABC的体积为13×12×PA×PB×PC=13×12×( 62)3= 68．
17.解：(1)设OQ=(x,y)，
∵点Q在直线OP上，
∴向量OQ与OP共线．
又OP=(2,1)，
∴x−2y=0，即x=2y．
∴OQ=(2y,y)．
又QA=OA−OQ，OA=(1,7)，
∴QA=(1−2y,7−y)．
同样QB=OB−OQ=(5−2y,1−y)．
于是QA·QB=1−2y5−2y+7−y1−y
=5y2−20y+12=5y−22−8．
∴当y=2时，QA·QB有最小值−8，此时OQ=(4,2)．
(2)当OQ=(4,2)，即y=2时，有QA=(−3,5)，QB=(1,−1)．
∴QA= 34，QB= 2．
∴cs∠AQB=QA⋅QB|QA||QB|=−4 1717．
18.解：(1)由三角函数的定义可得M(csπ3,sinπ3)，N(cs(π3+θ),sin(π3+θ))，
当θ=54π时，N(cs1912π,sin1912π)，
即a=cs1912π，b=sin1912π，
∴a+b=cs⁡1912π+sin⁡1912π= 2sin⁡(19π12+π4)=− 2sin⁡π6=− 22；
(2)∵N(cs(π3+θ),sin(π3+θ))，
∴a=cs(π3+θ)，b=sin(π3+θ)，
b−a=sin(π3+θ)−cs(π3+θ)= 2sin(θ+π12)，
∵θ∈[π4,1312π]，
∴θ+π12∈[π3,7π6]，
∴−12≤sin(θ+π12)≤1，
则− 22≤ 2sin(θ+π12)≤ 2，
即b−a的取值范围为[− 22, 2].
19.(1)∵AP、AB、AC两两垂直，AP=AB=AC=4 3，
∴PA⊥面ABC，AN=3 3，AM=2 3，MN= 39，
过A作AD⊥MN于D，连PD，则∠ADP即为P−MN−A的平面角，
在Rt△PAD中，AD=AM⋅ANMN=6 3913，
PD= AD2+DP2= 73213，
∴csα=ADPD=3 6161．
(2)以P为球心，8为半径的球与三棱锥交于四段弧，
①平面ABC与球面相交所成弧是以A为圆心，4为半径的14圆弧，DD′=2π．
②平面PAB与球面相交，∴得到的弧是以P为圆心，8为半径，
圆心角θ=π12的弧DD′=23π．
③平面PAC与球面相交所得到弧长与 ②情况相同，长度为23π．
④平面PBC与球面相交得到弧长QH=π3×8=83π，
∴交线长L=2π+43π+83π=6π．