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2023-2024学年湖南省名校联考联合体高一下学期期末考试数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖南省名校联考联合体高一下学期期末考试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知z=1−i1+i，则|z|=
A. 1B. 2C. 5D. 5
2.已知集合A={x∈N ∗|2x≤7}，B={x∈N ∗|x(x−3)<0}，则A∪B=
A. {3}B. {1,3}C. {2,3}D. {1,2,3}
3.已知 2≈1.4142…，把 2通过四舍五入精确到小数点后n(n=0，1，2，3)位的近似值分别记为a0，a1，a2，a3，若从a0，a1，a2，a3中任取1个数字ai(0≤i≤3)，则满足ai>1.4的概率为
A. 14B. 12C. 34D. 25
4.已知a=−ln45，b=ln 2，c=−ln56，则
A. c5.已知圆台的上、下底面的半径分别为R，r，若R=2r=2，过轴O1O2(其中O2，O1分别为上、下底面的圆心)的轴截面的面积为3 3，则该圆台的表面积为
A. 11πB. 9πC. 6πD. 3π
6.如图，正方形OA1B1C，A1A2B2B1是同样大小的正方形，O，A1，A2三点共线．若点P1，P2分别是边A1B1，A2B2上的动点(不包含端点).记m=OA1⋅OP2，n=OA2⋅OP1，则
A. m>nB. mC. m=nD. m，n大小不能确定
7.将函数f(x)=sin x的图象的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的2倍，然后再向右平移π18个单位长度，得到函数g(x)的图象，当x∈[0,2π]时，曲线f(x)与g(x)的交点个数为
A. 3B. 4C. 6D. 8
8.由甲、乙、丙、丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为13，乙猜对丙未猜对的概率为14，丙猜对丁未猜对的概率为18，甲、丁都猜对的概率为14，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是( )
A. 124B. 112C. 16D. 14
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知小王2023年5月份总收入10000元，总支出5000元，他的各项收入与支出占比情况如下表：
则下列判断中正确的是
A. 小王2023年5月份的收入主要来源是工资
B. 小王2023年5月份的兼职收入低于食的支出
C. 小王2023年5月份的最大支出出于食
D. 小王2023年5月份的工资刚好够支出
10.《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作．其下阕为“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路、秋千绳、秋千板简单看做是直线．那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行．那么当佳人在荡秋千的过程中
A. 秋千绳与墙面始终平行
B. 秋千绳与道路所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复
C. 秋千板与墙面所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复
D. 秋千板与道路始终垂直
11.若a>0，b>0且a+4b+4 ab=1，则下列不等式中一定成立的是
A. 12 a+1 b≥92B. a+b≥15
C. 2 b+1 a+1≤12D. b a+ b+1 b>3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=4，且(3a−b)⋅(a+2b)=−69，则a⋅b=_________．
13.王老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为[0,+∞)；③在[0,+∞)上为单调增函数．王老师说某中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确．请你写出一个这样的函数f(x)=_________．
14.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=2，D，E，F分别为A1B1，B1C1，AA1的中点，则过D，E，F作直三棱柱ABC−A1B1C1的截面，则截面的面积等于_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=2cs4xcs4x−π6− 32．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间0,π8的最大值和最小值．
16.(本小题15分)
某中学有高一年级学生1000人，高二年级学生800人，高三年级学生800人，参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取260名学生，对其成绩进行统计分析．得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)求a以及从该校高一年级、高二年级、高三年级学生中各抽取的人数；
(2)根据频率分布直方图，估计该校这2600名学生中竞赛成绩在80分(含80分)以上的人数；
(3)根据频率分布直方图，估计该校这2600名学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数．(各组区间的数据以该组区间的中间值作代表)(结果取1位小数)
17.(本小题15分)
已知△ABC内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，2b( 2bcsA−acsC)=b2+c2−a2．
(1)求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，且b=4，求c的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在棱长为3的正方体ABCD−A′B′C′D′中，M为AD的中点．
(1)求证：DB′ //平面BMA′；
(2)在体对角线DB′上是否存在动点Q，使得AQ⊥平面BMA′？若存在，求出DQ的长；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
将连续正奇数1，3，…，2n−1(n∈N ∗)从小到大排列构成一个数，F(n)为这个数的位数．例如：当n=6时，此时为1357911，共有7个数字，则F(6)=7.现从这个数中随机取一个数字，P(n)为恰好取到1的概率．
(1)求F(50)，P(50)；
(2)当n≤2025时，求F(n)的表达式；
(3)求满足F(k)+F(m)=193(k，m∈N ∗)的k，m的对数．(注：k=1,m=2与k=2,m=1,算一对)
答案解析
1.A
【解析】解：∵z=1−i1+i=(1−i)21−i2=1−2i+i22=−i，
则z=i，所以|z|=1．
故选A．
2.D
【解析】解：集合A={x∈N∗|x≤72}={1,2,3}，B={x∈N∗|0所以A∪B={1,2,3}
3.B
【解析】解：由题意可得a0=1，a1=1.4，a2=1.41，a3=1.414，从a0，a1，a2，a3中任取1个数字ai(0≤i≤3)，结果有4种，其中满足ai>1.4的有a2，a3，共2种，
故所求概率P=24=12．
故选B．
4.C
【解析】解：a=−ln45=ln54，c=−ln56=ln65，
因为 2>54>65，所以ln 2>ln54>ln65，即b>a>c.故选C．
5.A
【解析】解：如图所示，过点A作AC垂直O2B于点C，则BC=1，
设圆台的高为ℎ.因为过轴O1O2的横截面的面积为3 3，
所以4+22×ℎ=3 3，解得ℎ= 3，
所以在直角△ACB中，l=|AB|= 12+( 3)2=2，
所以S圆台表=π(R+r)l+πR2+πr2=π×(2+1)×2+π×22+π×12=11π．
故选A．
6.C
【解析】解：设正方形OA1B1C，A1A2B2B1的边长为a，
则m=OA1⋅OP2=|OA1||OP2|cs∠A1OP2=|OA1||OA2|=a⋅2a=2a2，
n=OA2⋅OP1=|OA2||OP1|cs∠A2OP1=|OA2||OA1|=2a⋅a=2a2，
所以m=n.故选C．
7.C
【解析】解：将函数f(x)=sinx的图象的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的2倍，
得到y=2sin3x，然后再向右平移π18个单位长度，
得到g(x)=2sin3(x−π18)=2sin(3x−π6)，
作出函数f(x)=sinx与函数g(x)=2sin(3x−π6)在x∈[0,2π]上的图象如下图所示，
观察图象可知，曲线f(x)与g(x)的交点个数为6.故选C．
8.B
【解析】解：设甲、乙、丙、丁猜对的概率依次为x，y，z，a，
依题意，根据独立事件的性质，
可得{(1−y)=13y(1−z)=14z(1−a)=18xa=14,解得{=12x=12y=13z=14,
所以乙、丙都猜对的概率是13×14=112．
故选B．
9.ACD
【解析】解：对于A项，小王2023年5月份的收入来源中工资占比为50%，占比最大，故A正确;
对于B项，小王2023年5月份的兼职收入为10000×20%=2000，食的支出为5000×32%=1600，故小王2023年5月份的兼职收入高于食的支出，故B错误;
对于C项，小王2023年5月份的支出中食占比为32%，占比最大，故C正确;
对于D项，小王2023年5月份的工资收入为10000×50%=5000，刚好够支出，故D正确．
故选ACD．
10.ABD
【解析】解：显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，故A正确;
但与道路所成的角在变化，逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复.故B正确;
秋千板始终与墙面垂直，故C错误;
秋千板也与道路始终垂直.故D正确．
故选ABD．
11.ABD
【解析】解：因为a>0，b>0且a+4b+4 ab=1，所以( a+2 b)2=1，
则 a+2 b=1，所以0< a<1，0< b<12，
对于A项，12 a+1 b=(12 a+1 b)( a+2 b)
=12+ b a+ a b+2=52+ b a+ a b≥52+2 b a⋅ a b=92，
当且仅当 b a= a b，即a=b时等号成立，故A正确;
对于B项，a+b−15=(1−2 b)2+b−15=5b−4 b+45=5( b−25)2≥0，
当且仅当 b=25，即b=425时等号成立，所以a+b≥15，故B正确;
对于C项，2 b+1 a+1−12=2− a a+1−12=3(1− a)2( a+1)，
因为0< a<1，所以1− a>0， a+1>0，所以2 b+1 a+1−12>0，即2 b+1 a+1>12，故C错误;
对于D项， b a+ b+1 b= b a+ b+ a+2 b b= b a+ b+ a+ b b+1≥3，
当且仅当 a+ b= b时等号成立，此时a=0不符合题意，所以等号不成立，故D正确．
故选ABD．
12.−8
【解析】解：由(3a−b)⋅(a+ 2b) =3a2+5a⋅b−2b2=3×12+5a⋅b−2×42=−69，
解得a⋅b=−8．
13. x(答案不唯一)
【解析】
解：由题意可得f(x)= x满足 ② ③，不满足 ①，符合题意．
14.3 32
【解析】解：如右图，取CC1的中点G，连接EG，FG，
结合三棱柱的性质知：FG//A1C1且FG=A1C1，
因为DE是△A1B1C1的中位线，所以DE//A1C1且DE=12A1C1，
所以FG//DE且DE=12FG，所以D，E，G，F四点共面，
则过D，E，F作直三棱柱ABC−A1B1C1的截面就是梯形DEGF．
因为AB⊥BC，AB=BC=BB1=2，
所以由勾股定理得AC= 22+22=2 2，DF= 12+12= 2，
EG= 12+12= 2，DE=12A1C1= 2，FG=A1C1=2 2，
则等腰梯形DEGF的高ℎ= ( 2)2−( 22)2= 62，
所以截面等腰梯形DEGF的面积S= 2+2 22× 62=3 32．
15.解：(1)f(x)=2cs4x(cs4xcsπ6+sin4xsinπ6)− 32
=2cs4x( 32cs4x+12sin4x)− 32
= 3cs24x+sin4xcs4x− 32
= 32(2cs24x−1)+12sin8x
= 32cs8x+12sin8x=sin(8x+π3)，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π8=π4．
(2)因为x∈[0,π8]，所以8x+π3∈[π3,4π3]，
所以sin(8x+π3)∈[− 32,1]，
即函数f(x)在区间[0,π8]的最大值为1，最小值为− 32．
【解析】本题考查正弦型函数的周期性及值域，三角恒等变换，属于中档题．
(1)根据三角恒等变换化简函数解析式，求周期即可;
(2)根据自变量范围求，结合单调性求最值．
16.解：(1)由频率分布直方图可得：(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1，
解得a=0.006.
依题意从高一年级学生中抽取260×10001000+800+800=100人，
从高二年级学生中抽取260×8001000+800+800=80人，
从高三年级学生中抽取260×8001000+800+800=80人．
(2)由频率分布直方图可得样本中竞赛成绩在80分(含80分)以上的频率为
(0.022+0.018)×10=0.4，
所以估计该校这2600名学生中竞赛成绩在80分(含80分)以上的人数为
2600×0.4=1040人．
(3)估计该校这2600名学生竞赛成绩的平均数为
45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2，
因为0.04+0.06+0.22=0.32<0.5，0.04+0.06+0.22+0.28=0.6>0.5，
所以中位数位于区间[70,80)内，设为x0，
则0.04+0.06+0.22+(x0−70)×0.028=0.5，解得x0≈76.4，
故估计中位数为76.4， 因为区间[70,80)的频率最大，所以估计众数为75．
【解析】本题主要考查频率分布直方图等，属于中档题．
(1)利用(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1得到a=0.006.然后利用分层随机抽样即可；
(2)先得到样本中竞赛成绩在80分(含80分)以上的频率为
(0.022+0.018)×10=0.4，然后估计该校这2600名学生中竞赛成绩在80分(含80分)以上的人数为
2600×0.4=1040人．
(3)先得到中位数位于区间[70,80)内，设为x0， 然后利用0.04+0.06+0.22+(x0−70)×0.028=0.5即可．
17.解：(1)由2b( 2bcsA−acsC)=b2+c2−a2，
得2 2b2csA−2abcsC=b2+c2−a2，
由余弦定理得2 2b2csA−(a2+b2−c2)=b2+c2−a2，
得2 2b2csA=2b2，所以csA= 22，
又A∈(0,π)，则A=π4．
(2)因为△ABC为锐角三角形，A+B+C=π，A=π4，则B+C=3π4，
所以0又b=4，由正弦定理bsinB=csinC，
得c=4sin(3π4−B)sinB=2 2tanB+2 2，
而tanB>1，所以1tanB∈(0,1)，
则2 2tanB∈(0,2 2)，
则2 2tanB+2 2∈(2 2,4 2)，
故c的取值范围为(2 2,4 2).
【解析】本题考查解三角形、三角恒等变换和三角函数的性质，属于一般题．
(1)利用余弦定理即可求解;
(2)求出B的范围，利用正弦定理和三角恒等变换求得c=2 2tanB+2 2，，结合正切函数的性质即可求解．
18.(1)证明：连接AB′，交BA′于点E，连接EM．
因为四边形ABB′A′是正方形，所以E是AB′的中点，
又M是AD的中点，所以EM//DB′．
因为EM⊂平面BMA′，DB′⊄平面BMA′，所以DB′//平面BMA′．
(2)解：在对角线DB′上存在点Q，且DQ= 3，使得AQ⊥平面BMA′．
证明如下：因为四边形ABB′A′是正方形，所以AB′⊥BA′．
因为AD⊥平面ABB′A′，BA′⊂平面ABB′A′，所以AD⊥BA′．
因为AB′∩AD=A，AB′，AD⊂平面ADB′，所以BA′⊥平面ADB′．
因为BA′⊂平面BMA′，所以平面BMA′⊥平面ADB′．
作AQ⊥DB′于点Q，因为EM//DB′，所以AQ⊥EM．
因为AQ⊂平面ADB′，平面ADB′∩平面BMA′=EM，
所以AQ⊥平面BMA′．
由Rt△ADB′∽Rt△QDA，得DQ=AD2DB′=93 3= 3．
所以当DQ= 3时，AQ⊥平面BMA′．
【解析】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的性质，属于中档题．
(1)利用线面平行的判定定理证明即可．
(2)利用线线、线面及面面关系及Rt△ADB′∽Rt△QDA即可求解．
19.解：(1)当n=50时，F(50)=5+5×9×2=95，即这个数中共有95个数字，
其中数字1的个数为9+6=15，则恰好取到1的概率为P(50)=1595=319．
(2)当1≤n≤5时，这个数由n个一位数组成，F(n)=n;
当6≤n≤50时，这个数由5个一位数和2n−1−92个两位数组成，
则F(n)=5+2n−1−92×2=2n−5;
当51≤n≤500时，这个数由5个一位数，45个两位数和2n−1−992个三位数组成，
则F(n)=5+45×2+2n−1−992×3=3n−55;
当501≤n≤2025时，这个数由5个一位数，45个两位数，
450个三位数和2n−1−9992个四位数组成，
则F(n)=5+45×2+450×3+2n−1−9992×4=4n−555;
综上所述，F(n)=n,1≤n≤5,2n−5,6≤n≤50,3n−55,51≤n≤500,4n−555,501≤n≤2025.
(3)由(2)得，当1≤n≤5时，F(n)∈[1,5];
当6≤n≤50时，F(n)∈[7,95];
当51≤n≤500时，F(n)∈[98,1445];要满足F(k)+F(m)=193(k,m∈N∗)，
则k+3m−55=193或2k−5+3m−55=193，F(k)=2,F(m)=191或F(k)=5,F(m)=188或F(k)=11,F(m)=182或F(k)=17,F(m)=176或F(k)=23,F(m)=170或F(k)=29,F(m)=164或F(k)=35,F(m)=158或F(k)=41,F(m)=152或F(k)=47,F(m)=146或F(k)=53,F(m)=140或F(k)=59,F(m)=134或F(k)=65,F(m)=128或F(k)=71,F(m)=122或F(k)=77,F(m)=116或F(k)=83,F(m)=110或F(k)=89,F(m)=104或F(k)=95,F(m)=98.
又显然F(n)是关于n的单调递增函数，所以F(k),F(m)与k,m是一一对应的，
所以满足F(k)+F(m)=193(k,m∈N∗)的k，m的对数是17对．
【解析】本题主要考查古典概型的计算与应用等，难度较大．
(1)当n=50时，利用F(50)=5+5×9×2=95，得到这个数中共有95个数字，
其中数字1的个数为9+6=15即可；
(2)分当1≤n≤5时， 当6≤n≤50时，当51≤n≤500时，当501≤n≤2025时，分别计算即可；
(3)先得到满足F(k)+F(m)=193(k,m∈N∗)，则k+3m−55=193或2k−5+3m−55=193，然后写出所有情况即可．工资
兼职
理财
其他
收入占比
50%
20%
8%
22%
衣
食
住
行
其他
支出占比
8%
32%
28%
8%
24%
1.已知z=1−i1+i，则|z|=
A. 1B. 2C. 5D. 5
2.已知集合A={x∈N ∗|2x≤7}，B={x∈N ∗|x(x−3)<0}，则A∪B=
A. {3}B. {1,3}C. {2,3}D. {1,2,3}
3.已知 2≈1.4142…，把 2通过四舍五入精确到小数点后n(n=0，1，2，3)位的近似值分别记为a0，a1，a2，a3，若从a0，a1，a2，a3中任取1个数字ai(0≤i≤3)，则满足ai>1.4的概率为
A. 14B. 12C. 34D. 25
4.已知a=−ln45，b=ln 2，c=−ln56，则
A. c
A. 11πB. 9πC. 6πD. 3π
6.如图，正方形OA1B1C，A1A2B2B1是同样大小的正方形，O，A1，A2三点共线．若点P1，P2分别是边A1B1，A2B2上的动点(不包含端点).记m=OA1⋅OP2，n=OA2⋅OP1，则
A. m>nB. m
7.将函数f(x)=sin x的图象的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的2倍，然后再向右平移π18个单位长度，得到函数g(x)的图象，当x∈[0,2π]时，曲线f(x)与g(x)的交点个数为
A. 3B. 4C. 6D. 8
8.由甲、乙、丙、丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为13，乙猜对丙未猜对的概率为14，丙猜对丁未猜对的概率为18，甲、丁都猜对的概率为14，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是( )
A. 124B. 112C. 16D. 14
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知小王2023年5月份总收入10000元，总支出5000元，他的各项收入与支出占比情况如下表：
则下列判断中正确的是
A. 小王2023年5月份的收入主要来源是工资
B. 小王2023年5月份的兼职收入低于食的支出
C. 小王2023年5月份的最大支出出于食
D. 小王2023年5月份的工资刚好够支出
10.《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作．其下阕为“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路、秋千绳、秋千板简单看做是直线．那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行．那么当佳人在荡秋千的过程中
A. 秋千绳与墙面始终平行
B. 秋千绳与道路所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复
C. 秋千板与墙面所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复
D. 秋千板与道路始终垂直
11.若a>0，b>0且a+4b+4 ab=1，则下列不等式中一定成立的是
A. 12 a+1 b≥92B. a+b≥15
C. 2 b+1 a+1≤12D. b a+ b+1 b>3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=4，且(3a−b)⋅(a+2b)=−69，则a⋅b=_________．
13.王老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为[0,+∞)；③在[0,+∞)上为单调增函数．王老师说某中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确．请你写出一个这样的函数f(x)=_________．
14.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=2，D，E，F分别为A1B1，B1C1，AA1的中点，则过D，E，F作直三棱柱ABC−A1B1C1的截面，则截面的面积等于_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=2cs4xcs4x−π6− 32．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间0,π8的最大值和最小值．
16.(本小题15分)
某中学有高一年级学生1000人，高二年级学生800人，高三年级学生800人，参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取260名学生，对其成绩进行统计分析．得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)求a以及从该校高一年级、高二年级、高三年级学生中各抽取的人数；
(2)根据频率分布直方图，估计该校这2600名学生中竞赛成绩在80分(含80分)以上的人数；
(3)根据频率分布直方图，估计该校这2600名学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数．(各组区间的数据以该组区间的中间值作代表)(结果取1位小数)
17.(本小题15分)
已知△ABC内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，2b( 2bcsA−acsC)=b2+c2−a2．
(1)求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，且b=4，求c的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在棱长为3的正方体ABCD−A′B′C′D′中，M为AD的中点．
(1)求证：DB′ //平面BMA′；
(2)在体对角线DB′上是否存在动点Q，使得AQ⊥平面BMA′？若存在，求出DQ的长；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
将连续正奇数1，3，…，2n−1(n∈N ∗)从小到大排列构成一个数，F(n)为这个数的位数．例如：当n=6时，此时为1357911，共有7个数字，则F(6)=7.现从这个数中随机取一个数字，P(n)为恰好取到1的概率．
(1)求F(50)，P(50)；
(2)当n≤2025时，求F(n)的表达式；
(3)求满足F(k)+F(m)=193(k，m∈N ∗)的k，m的对数．(注：k=1,m=2与k=2,m=1,算一对)
答案解析
1.A
【解析】解：∵z=1−i1+i=(1−i)21−i2=1−2i+i22=−i，
则z=i，所以|z|=1．
故选A．
2.D
【解析】解：集合A={x∈N∗|x≤72}={1,2,3}，B={x∈N∗|0
3.B
【解析】解：由题意可得a0=1，a1=1.4，a2=1.41，a3=1.414，从a0，a1，a2，a3中任取1个数字ai(0≤i≤3)，结果有4种，其中满足ai>1.4的有a2，a3，共2种，
故所求概率P=24=12．
故选B．
4.C
【解析】解：a=−ln45=ln54，c=−ln56=ln65，
因为 2>54>65，所以ln 2>ln54>ln65，即b>a>c.故选C．
5.A
【解析】解：如图所示，过点A作AC垂直O2B于点C，则BC=1，
设圆台的高为ℎ.因为过轴O1O2的横截面的面积为3 3，
所以4+22×ℎ=3 3，解得ℎ= 3，
所以在直角△ACB中，l=|AB|= 12+( 3)2=2，
所以S圆台表=π(R+r)l+πR2+πr2=π×(2+1)×2+π×22+π×12=11π．
故选A．
6.C
【解析】解：设正方形OA1B1C，A1A2B2B1的边长为a，
则m=OA1⋅OP2=|OA1||OP2|cs∠A1OP2=|OA1||OA2|=a⋅2a=2a2，
n=OA2⋅OP1=|OA2||OP1|cs∠A2OP1=|OA2||OA1|=2a⋅a=2a2，
所以m=n.故选C．
7.C
【解析】解：将函数f(x)=sinx的图象的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的2倍，
得到y=2sin3x，然后再向右平移π18个单位长度，
得到g(x)=2sin3(x−π18)=2sin(3x−π6)，
作出函数f(x)=sinx与函数g(x)=2sin(3x−π6)在x∈[0,2π]上的图象如下图所示，
观察图象可知，曲线f(x)与g(x)的交点个数为6.故选C．
8.B
【解析】解：设甲、乙、丙、丁猜对的概率依次为x，y，z，a，
依题意，根据独立事件的性质，
可得{(1−y)=13y(1−z)=14z(1−a)=18xa=14,解得{=12x=12y=13z=14,
所以乙、丙都猜对的概率是13×14=112．
故选B．
9.ACD
【解析】解：对于A项，小王2023年5月份的收入来源中工资占比为50%，占比最大，故A正确;
对于B项，小王2023年5月份的兼职收入为10000×20%=2000，食的支出为5000×32%=1600，故小王2023年5月份的兼职收入高于食的支出，故B错误;
对于C项，小王2023年5月份的支出中食占比为32%，占比最大，故C正确;
对于D项，小王2023年5月份的工资收入为10000×50%=5000，刚好够支出，故D正确．
故选ACD．
10.ABD
【解析】解：显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，故A正确;
但与道路所成的角在变化，逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复.故B正确;
秋千板始终与墙面垂直，故C错误;
秋千板也与道路始终垂直.故D正确．
故选ABD．
11.ABD
【解析】解：因为a>0，b>0且a+4b+4 ab=1，所以( a+2 b)2=1，
则 a+2 b=1，所以0< a<1，0< b<12，
对于A项，12 a+1 b=(12 a+1 b)( a+2 b)
=12+ b a+ a b+2=52+ b a+ a b≥52+2 b a⋅ a b=92，
当且仅当 b a= a b，即a=b时等号成立，故A正确;
对于B项，a+b−15=(1−2 b)2+b−15=5b−4 b+45=5( b−25)2≥0，
当且仅当 b=25，即b=425时等号成立，所以a+b≥15，故B正确;
对于C项，2 b+1 a+1−12=2− a a+1−12=3(1− a)2( a+1)，
因为0< a<1，所以1− a>0， a+1>0，所以2 b+1 a+1−12>0，即2 b+1 a+1>12，故C错误;
对于D项， b a+ b+1 b= b a+ b+ a+2 b b= b a+ b+ a+ b b+1≥3，
当且仅当 a+ b= b时等号成立，此时a=0不符合题意，所以等号不成立，故D正确．
故选ABD．
12.−8
【解析】解：由(3a−b)⋅(a+ 2b) =3a2+5a⋅b−2b2=3×12+5a⋅b−2×42=−69，
解得a⋅b=−8．
13. x(答案不唯一)
【解析】
解：由题意可得f(x)= x满足 ② ③，不满足 ①，符合题意．
14.3 32
【解析】解：如右图，取CC1的中点G，连接EG，FG，
结合三棱柱的性质知：FG//A1C1且FG=A1C1，
因为DE是△A1B1C1的中位线，所以DE//A1C1且DE=12A1C1，
所以FG//DE且DE=12FG，所以D，E，G，F四点共面，
则过D，E，F作直三棱柱ABC−A1B1C1的截面就是梯形DEGF．
因为AB⊥BC，AB=BC=BB1=2，
所以由勾股定理得AC= 22+22=2 2，DF= 12+12= 2，
EG= 12+12= 2，DE=12A1C1= 2，FG=A1C1=2 2，
则等腰梯形DEGF的高ℎ= ( 2)2−( 22)2= 62，
所以截面等腰梯形DEGF的面积S= 2+2 22× 62=3 32．
15.解：(1)f(x)=2cs4x(cs4xcsπ6+sin4xsinπ6)− 32
=2cs4x( 32cs4x+12sin4x)− 32
= 3cs24x+sin4xcs4x− 32
= 32(2cs24x−1)+12sin8x
= 32cs8x+12sin8x=sin(8x+π3)，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π8=π4．
(2)因为x∈[0,π8]，所以8x+π3∈[π3,4π3]，
所以sin(8x+π3)∈[− 32,1]，
即函数f(x)在区间[0,π8]的最大值为1，最小值为− 32．
【解析】本题考查正弦型函数的周期性及值域，三角恒等变换，属于中档题．
(1)根据三角恒等变换化简函数解析式，求周期即可;
(2)根据自变量范围求，结合单调性求最值．
16.解：(1)由频率分布直方图可得：(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1，
解得a=0.006.
依题意从高一年级学生中抽取260×10001000+800+800=100人，
从高二年级学生中抽取260×8001000+800+800=80人，
从高三年级学生中抽取260×8001000+800+800=80人．
(2)由频率分布直方图可得样本中竞赛成绩在80分(含80分)以上的频率为
(0.022+0.018)×10=0.4，
所以估计该校这2600名学生中竞赛成绩在80分(含80分)以上的人数为
2600×0.4=1040人．
(3)估计该校这2600名学生竞赛成绩的平均数为
45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2，
因为0.04+0.06+0.22=0.32<0.5，0.04+0.06+0.22+0.28=0.6>0.5，
所以中位数位于区间[70,80)内，设为x0，
则0.04+0.06+0.22+(x0−70)×0.028=0.5，解得x0≈76.4，
故估计中位数为76.4， 因为区间[70,80)的频率最大，所以估计众数为75．
【解析】本题主要考查频率分布直方图等，属于中档题．
(1)利用(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1得到a=0.006.然后利用分层随机抽样即可；
(2)先得到样本中竞赛成绩在80分(含80分)以上的频率为
(0.022+0.018)×10=0.4，然后估计该校这2600名学生中竞赛成绩在80分(含80分)以上的人数为
2600×0.4=1040人．
(3)先得到中位数位于区间[70,80)内，设为x0， 然后利用0.04+0.06+0.22+(x0−70)×0.028=0.5即可．
17.解：(1)由2b( 2bcsA−acsC)=b2+c2−a2，
得2 2b2csA−2abcsC=b2+c2−a2，
由余弦定理得2 2b2csA−(a2+b2−c2)=b2+c2−a2，
得2 2b2csA=2b2，所以csA= 22，
又A∈(0,π)，则A=π4．
(2)因为△ABC为锐角三角形，A+B+C=π，A=π4，则B+C=3π4，
所以0
得c=4sin(3π4−B)sinB=2 2tanB+2 2，
而tanB>1，所以1tanB∈(0,1)，
则2 2tanB∈(0,2 2)，
则2 2tanB+2 2∈(2 2,4 2)，
故c的取值范围为(2 2,4 2).
【解析】本题考查解三角形、三角恒等变换和三角函数的性质，属于一般题．
(1)利用余弦定理即可求解;
(2)求出B的范围，利用正弦定理和三角恒等变换求得c=2 2tanB+2 2，，结合正切函数的性质即可求解．
18.(1)证明：连接AB′，交BA′于点E，连接EM．
因为四边形ABB′A′是正方形，所以E是AB′的中点，
又M是AD的中点，所以EM//DB′．
因为EM⊂平面BMA′，DB′⊄平面BMA′，所以DB′//平面BMA′．
(2)解：在对角线DB′上存在点Q，且DQ= 3，使得AQ⊥平面BMA′．
证明如下：因为四边形ABB′A′是正方形，所以AB′⊥BA′．
因为AD⊥平面ABB′A′，BA′⊂平面ABB′A′，所以AD⊥BA′．
因为AB′∩AD=A，AB′，AD⊂平面ADB′，所以BA′⊥平面ADB′．
因为BA′⊂平面BMA′，所以平面BMA′⊥平面ADB′．
作AQ⊥DB′于点Q，因为EM//DB′，所以AQ⊥EM．
因为AQ⊂平面ADB′，平面ADB′∩平面BMA′=EM，
所以AQ⊥平面BMA′．
由Rt△ADB′∽Rt△QDA，得DQ=AD2DB′=93 3= 3．
所以当DQ= 3时，AQ⊥平面BMA′．
【解析】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的性质，属于中档题．
(1)利用线面平行的判定定理证明即可．
(2)利用线线、线面及面面关系及Rt△ADB′∽Rt△QDA即可求解．
19.解：(1)当n=50时，F(50)=5+5×9×2=95，即这个数中共有95个数字，
其中数字1的个数为9+6=15，则恰好取到1的概率为P(50)=1595=319．
(2)当1≤n≤5时，这个数由n个一位数组成，F(n)=n;
当6≤n≤50时，这个数由5个一位数和2n−1−92个两位数组成，
则F(n)=5+2n−1−92×2=2n−5;
当51≤n≤500时，这个数由5个一位数，45个两位数和2n−1−992个三位数组成，
则F(n)=5+45×2+2n−1−992×3=3n−55;
当501≤n≤2025时，这个数由5个一位数，45个两位数，
450个三位数和2n−1−9992个四位数组成，
则F(n)=5+45×2+450×3+2n−1−9992×4=4n−555;
综上所述，F(n)=n,1≤n≤5,2n−5,6≤n≤50,3n−55,51≤n≤500,4n−555,501≤n≤2025.
(3)由(2)得，当1≤n≤5时，F(n)∈[1,5];
当6≤n≤50时，F(n)∈[7,95];
当51≤n≤500时，F(n)∈[98,1445];要满足F(k)+F(m)=193(k,m∈N∗)，
则k+3m−55=193或2k−5+3m−55=193，F(k)=2,F(m)=191或F(k)=5,F(m)=188或F(k)=11,F(m)=182或F(k)=17,F(m)=176或F(k)=23,F(m)=170或F(k)=29,F(m)=164或F(k)=35,F(m)=158或F(k)=41,F(m)=152或F(k)=47,F(m)=146或F(k)=53,F(m)=140或F(k)=59,F(m)=134或F(k)=65,F(m)=128或F(k)=71,F(m)=122或F(k)=77,F(m)=116或F(k)=83,F(m)=110或F(k)=89,F(m)=104或F(k)=95,F(m)=98.
又显然F(n)是关于n的单调递增函数，所以F(k),F(m)与k,m是一一对应的，
所以满足F(k)+F(m)=193(k,m∈N∗)的k，m的对数是17对．
【解析】本题主要考查古典概型的计算与应用等，难度较大．
(1)当n=50时，利用F(50)=5+5×9×2=95，得到这个数中共有95个数字，
其中数字1的个数为9+6=15即可；
(2)分当1≤n≤5时， 当6≤n≤50时，当51≤n≤500时，当501≤n≤2025时，分别计算即可；
(3)先得到满足F(k)+F(m)=193(k,m∈N∗)，则k+3m−55=193或2k−5+3m−55=193，然后写出所有情况即可．工资
兼职
理财
其他
收入占比
50%
20%
8%
22%
衣
食
住
行
其他
支出占比
8%
32%
28%
8%
24%
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