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2023-2024学年安徽省合肥市第八中学高二下学期期末考试数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年安徽省合肥市第八中学高二下学期期末考试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知A={x|−4≤x≤3}，B={x|lg(x−1)>0}，则A∩B=( )
A. {x|−4≤x<2}B. {x|−4≤x≤2}C. {x|22.已知双曲线C:x2m−y2m+3=1，则“m=3”是“双曲线C的离心率为 3”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知随机变量X~N(μ,σ2),Y~B(6,p),且P(X≤4)=12,E(X)=E(Y),则p=( )
A. 13B. 23C. 14D. 12
4.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课两天相邻的课程的安排方案种数为( )
A. 18B. 24C. 36D. 42
5.从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ+1)=( )
A. 2B. 1C. 3D. 4
6.设数列{an}的前项和为Sn，若Sn+n=2an−1，则a5=( )
A. 16B. 31C. 47D. 63
7.在直角坐标系XOY中，已知点F(1,0)，E(−2,0)，M(3,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.已知定义域为R的函数f(x)满足f(−x)=f(x)+2x，f(0)=2，且y=f(x+1)−1为奇函数，则下列结论错误的是( )
A. f(1)=1B. 函数y=f(x)+x为偶函数
C. f(2024)=−2022D. i=119f(i)=−150
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的命题是( )
A. 若随机事件A，B满足：P(A|B)+P(A)=1，则A，B相互独立
B. 若相关系数r的值越大，则两个变量的线性相关性越强
C. 样本甲中有m件样品，其方差为s12，样本乙中有n件样品，其方差为s22，则由甲乙组成的总体样本的方差为mm+n⋅s12+nm+n⋅s22
D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为y=0.3x−m，若样本点的中心为(m,2.8)，则实数m的值是−4
10.投掷一枚质地均匀的骰子，规定抛出偶数点得2分，抛出奇数点得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为Pn，下列说法不正确的是( )
A. P1=12B. P2=12
C. 当n≥3时，Pn=12Pn−1+12Pn−2D. 当n≥10时，Pn=1−2Pn+1
11.已知f(x)=(x+1)lnx，g(x)=x(ex+1)，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)=(x+1)lnx，在(0,+∞)上存在唯一极值点
B. 任意x∈(0,+∞)，有f(x)C. 若对任意x∈(0,+∞)，不等式g(x2+ax+a)≤g(2ex)恒成立，则实数a的最大值为2
D. 若f(x1)=g(x2)=t，(t>0)，则lnt2x2(x1+1)的最大值为12e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(ax−1)(2x−1)3的展开式中，若各项系数的和为0，则a= ．
13.在线性回归分析中，已知i=1n(xi−x)(yi−y)=77，i=1nxiyi=182，x=3，y=7，则n= ．
14.在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是C的右支上一点，直线l与C相切于点M.由点F2出发的入射光线碰到点M后反射光线为MQ，法线(在光线投射点与分界面垂直的直线)交x轴于点N，此时直线l起到了反射镜的作用.若|MF2||NF2|=34，则C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
函数f(x)=mx2+bx+c，满足f(−x)=f(x−1)，f(0)=−2．
(1)若不等式f(x)≥x−m−2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围;
(2)在(1)的条件下，求m2+3m+6m+1的最小值;
16.(本小题12分)
若等比数列{an}的首项a1=1且满足2an=3an−1+an−2(n≥3)．
(1)求{an}通项公式;
(2)求数列{nan}的前n项和Sn．
17.(本小题12分)
某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为92%:乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为97%:若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为96%．
(1)混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少?
(2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个，用频率估计概率，记这4个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望．
18.(本小题12分)
为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y(单位：万台)关于x(年份)的线性回归方程y=4.8x−9459.2，且销量y的方差为sy2=2565，年份x的方差为sx2=2．
(1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的线性相关性的强弱．
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关?
①参考数据： 0.4≈0.63．
②参考公式：线性回归方程为y=bx+a，其中b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2，a=y−bx，样本相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y) i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2;若|r|>0.9，则可判断y与x线性相关较强;K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
附表：
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=mx2−ln(x+1)，m<0．
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)g(x)=−sinx−f(x)，若x=0是g(x)的极小值点，求m的取值范围;
答案解析
1.D
【解析】解：集合A={x|−4≤x≤3}，B={x|lg(x−1)>0}={x|x>2}，
则A∩B={x|22.B
【解析】解：若双曲线C:x2m−y2m+3=1的离心率为 3，
则 m+3+m m= 3或 −(m+3)−m −(m+3)= 3，
解得m=3或m=−6，
则“m=3”是“双曲线C的离心率为 3”的充分不必要条件．
3.B
【解析】解:因为随机变量X~N(μ,σ2),Y~B(6,p),且P(X≤4)=12,E(X)=E(Y),
则E(Y) = 6 p,μ=4,
根据正态分布性质可知E(X) =μ,
则6p=4,
则p=23.
4.C
【解析】解：剪纸和插花课两天相邻，与另外三门课程全排列共有：A22A44=48种，
陶艺课排在周一，且剪纸和插花课两天相邻，则安排方案有：A22A33=12种，
则陶艺课不排在周一，剪纸和插花课两天相邻的课程的安排方案种数为：48−12=36种．
故选C．
5.D
【解析】
解：ξ的可能取值为0,1,2．
P(ξ=0)=C83C103=715，P(ξ=1)=C21C82C103=715，P(ξ=2)=C22C81C103=115．
∴ξ的分布列为：
于是E(ξ)=0×715+1×715+2×115=35，
故E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5×35+1=4．
6.C
【解析】解：由题可知，Sn+n=2an−1，令n=1时， S1+1=2a1−1，得a1=2，
当n≥2时，Sn−1+n−1=2an−1−1，
两式相减得，
所以Sn−Sn−1+1=2an−2an−1，即an+1=2an−2an−1，
所以an=2an−1+1，即an+1=2an−1+1，
所以an+1是等比数列，首项为a1+1=3，公比为2，
所以an+1=3×2n−1，
所以an=3×2n−1−1
所以a5=3×24−1=47，
故答案为C．
7.C
【解析】解：设P(x,y)，E(−2,0)，则PE的中点坐标为(x−22,y2)，
代入y2=2x+2，可得y2=4x，
故动点P的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线l:x=−1为准线的抛物线y2=4x，
M(3,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l于Q，
则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，
最小值为点M到直线l的距离4．
8.D
【解析】解：因为函数y=f(x+1)−1为奇函数，所以f(1)−1=0，即f(1)=1，故A正确；
令g(x)=f(x)+x，
因为f(−x)=f(x)+2x，所以f(−x)−x=f(x)+x，
所以g(−x)=g(x) ①，即g(x)为偶函数，故B正确；
又y=f(x+1)−1为奇函数，所以f(x+1)−1+f(−x+1)−1=0，
即f(x+1)+f(−x+1)=2，所以f(−x)+f(x+2)=2，
所以f(−x)−x+f(x+2)+x+2=4，
所以g(−x)+g(x+2)=4 ②．
由 ① ②得g(x)+g(x+2)=4，所以g(x+2)+g(x+4)=4，
所以g(x+4)=g(x)，所以g(x)是周期为4的函数，
所以f(2024)+2024=g(2024)=g(0)=f(0)=2，
所以f(2024)=−2022，故C正确;
由f(−x)=f(x)+2x与f(−x)+f(x+2)=2，
得f(x)+2x+f(x+2)=2，所以f(x)+f(x+2)=2(1−x)，
所以f(0)+f(2)=2×1，
f(1)+f(3)=2×0，f(4)+f(6)=2×(−3)，
f(5)+f(7)=2×(−4)，f(8)+f(10)=2×(−7)，
f(9)+f(11)=2×(−8)，f(12)+f(14)=2×(−11)，
f(13)+f(15)=2×(−12)，f(16)+f(18)=2×(−15)，
f(17)+f(19)=2×(−16)，
所以i=119f(i)=−f(0)+i=019f(i)=−2+2×(1+0−3−4−7−8−11−12−15−16)=−152，故D错误．
故选D．
9.AD
【解析】
解：对A：P(A|B)+P(A)=1⇒P(A|B)=1−P(A)=P(A)
⇒P(AB)P(B)=P(A)⇒PAB=PAPB，
所以A,B相互独立，故A正确；
对B：若相关系数r的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强，故B错误；
对C：因为甲乙组成的新样本的平均数可能发生改变，
由分层抽样的方差公式可知，新的方差不一定是mm+n⋅s12+nm+n⋅s22，故C错误；
对D：因为回归直线方程y=0.3x−m必过样本中心点(m,2.8)，
所以0.3m−m=2.8，解得m=−4，故D正确．
故选AD．
10.BD
【解析】解：投掷一次抛出偶数点的概率为12，抛出奇数点的概率也为12，
故P1=12，故A正确；
P2=12+12×12=34，故B错误；
易知要得到n分，则在n−2分的基础上抛出偶数点，或在n−1分的基础上抛出奇数点，
所以当n≥3时，Pn=12Pn−1+12Pn−2，故C正确；
当n≥2时，Pn+1=12Pn+12Pn−1，
故P3=12P2+12P1=12×34+12×12=58，Pn+2=12Pn+1+12Pn，
故Pn+2−Pn+1=−12Pn+1+12Pn=−12Pn+1−Pn．
因为P2−P1=34−12=14≠0，
所以数列Pn+1−Pn是以14为首项，−12为公比的等比数列，
所以Pn+1−Pn=14×−12n−1=−12n+1．
所以当n⩾2时，Pn=Pn−Pn−1+⋯+P2−P1+P1
=−12n+⋯+−123+−122+12
=−12n+⋯+−123+−122+−121+−120
=1−−12n+11−−12=23+13·−12n．
当n=1时，P1=12符合Pn=23+13·−12n，
故Pn=23+13·(−12)n(n∈N∗)．
当n为偶数时，Pn=23+13·12n，Pn+1=23−13·12n+1，
故2−2Pn+1=2−43+23·12n+1=23+13·12n=Pn．
当n为奇数时，Pn=23−13·12n，Pn+1=23+13·12n+1，
2−2Pn+1=2−43−23·12n+1=23−13·12n=Pn．
故当n≥10时，Pn=2−2Pn+1，故D错误．
11.BCD
【解析】解：对于A，由已知fx=x+1lnx，f′x=lnx+1x+1，令ℎx=lnx+1x+1，则ℎ′x=1x−1x2=x−1x2，当x∈0,1时，ℎ′x<0，ℎx递减，当x∈1,+∞时，ℎ′x>0，ℎx递增，所以ℎx⩾ℎ1=2>0，f′x=lnx+1x+1>0在(0,+∞)上恒成立，因此，函数f(x)=(x+1)lnx在(0,+∞)上单调递增，不存在极值点，A错误；
对于B，由已知gx=xex+1=fex，令tx=ex−x，因为当x∈0,+∞时，t′x=ex−1>0恒成立，所以这时tx>t0=0，即当x∈0,+∞时，ex>x恒成立，因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以fx对于C，因为gx=xex+1的定义域为R，并且g′x=x+1ex+1，令ux=x+1ex+1，则u′x=x+2ex，所以当x∈−∞,−2时，u′x<0，函数ux递减，当x∈−2,+∞时，u′x>0，函数ux递增，于是由uxmin=u−2=1−e−2>0，得对于一切x∈R，g′x=x+1ex+1>0，所以函数gx在定义域R上单调递增，
所以对任意x∈(0,+∞)，不等式g(x2+ax+a)≤g(2ex)恒成立，
等价于对任意x∈(0,+∞)，不等式x2+ax+a≤2ex，即a⩽2ex−x2x+1恒成立，
令vx=2ex−x2x+1x>0，因为v′x=2xex−x2−2xx+12=x2ex−x−2x+12，
令wx=2ex−x−2，则当x>0时，w′x=2ex−1>1>0，这时v′x>0，
所以vx在0,+∞上单调递增，于是vx>v0=2，所以a⩽2，因此，实数a的最大值为2，C正确;
对于D，由f(x1)=g(x2)=t，(t>0)，得： x1+1lnx1=x2(ex2+1)=t，
因为t>0，则 x1>0,x2>1，
当 x1=ex2时，(x1+1)lnx1=x2ex2+1；
即 lnt2x2(x1+1)=lnx2ex2+12x2(ex2+1)，设 k=x2(ex2+1)，由上可知k>0，令函数y=lnkk，
因为y′k=1−lnkk2，当k∈0,e时，y′>0，当k∈e,+∞时，y′<0，
所以函数y=lnkk在0,e内递增，在e,+∞内递减，ymax=1e，
因此，lnx2ex2+12x2(ex2+1)⩽12e，D正确．
故选BCD．
12.1
【解析】
解：由题知，令x=1，则原式为a−12−13=a−1，
因为各项系数的和为0，所以a−1=0，则a=1 ．
13.5
【解析】解：因为i=1n(xi−x)(yi−y)=77，i=1nxiyi=182，x=3，y=7，
所以i=1n(xi−x)(yi−y)=i=1nxiyi−xiy−xyi+xy
=i=1nxiyi−y∑ni=1xi−x∑ni=1yi+i=1nxy
=182−7×3n−3×7n+21n=77，
解得n=5．
故答案为5．
14.43
【解析】解：如图，过点F1作F1A⊥l，垂足为点A，延长F1A交MF2的延长线于点B．
设l上有一点T，由题意得∠TMQ=∠F1MA，
由光学知识，可知∠QMN=∠F2MN.又MN⊥l，
所以∠TMQ=∠F2MA，所以∠F1MA=∠F2MA，
所以|MF1|=|MB|．
由双曲线的定义，可得|MF1|−|MF2|=2a，
所以|MB|−|MF2|=|BF2|=2a．
因为MN⊥l，F1B⊥l，所以MN//F1B，
所以|MF2||BF2|=|NF2||F1F2|，即|F1F2||BF2|=|NF2||MF2|，
所以C的离心率e=ca=2c2a=|F1F2||BF2|=|NF2||MF2|=43．
15.解：(1)由f(0)=−2得c=−2，
又f−x=mx2−bx−2,fx−1=mx−12+bx−1−2=mx2+b−2mx+m−b−2，
由f(−x)=f(x−1)得−b=b−2m−2=m−b−2得m=b，
所以f(x)=mx2+mx−2，
当m=0，f(x)=−2;当m≠0，f(x)=mx2+mx−2，
由f(x)≥x−m−2恒成立得：mx2+(m−1)x+m≥0对一切实数x恒成立．
当m=0时，不等式为−x≥0，不合题意;
当m≠0时，m>0Δ=(1−m)2−4m2≤0，解得：m≥13;
综上所述：实数m的取值范围为[13,+∞).
(2)∵m≥13，∴m+1≥43，
∴m2+3m+6m+1=(m+1)2+m+1+4m+1
=m+1+4m+1+1≥2 (m+1)⋅4m+1+1=5，
(当且仅当m+1=4m+1，即m=1时取等号)，
所以m2+3m+6m+1的最小值为5．
【解析】本题主要考查一元二次不等式存在性或恒成立问题、由基本不等式求最值或取值范围等，属于中档题．
(1)由f(x)≥x−m−2恒成立得：mx2+(m−1)x+m≥0对一切实数x恒成立.然后分
当m=0时，当m≠0时，分别讨论即可；
(2)先把m2+3m+6m+1变形为m+1+4m+1+1，然后利用基本不等式求最值即可．
16.解：(1)由题设公比为q，当n≥3时，an=q2an−2，an−1=qan−2．
因为{an}为等比数列，
所以an−2≠0，
所以2q2=3q−1，
解得：q=1或q=12．
所以an=1或an=(12)n−1；
(2)当q=12时，{an}为等比数列，
由a1=1，所以an=(12)n−1，所以nan=n(12)n−1，
所以数列{nan}的前n项和：Sn=1+2×(12)+3×(12)2+⋯+n×(12)n−1 ①
两边同乘以12，得：12×Sn=12+2×(12)2+3×(12)3⋯+n×(12)n ②
①式减去 ②式，得：12Sn=1+(12)+(12)2+⋯+(12)n−1−n×(12)n=1−(12)n1−12−n×(12)n，
所以Sn=4−n+22n−1(n∈N∗).
【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，错位相减求和，属于中档题．
(1)直接利用关系式的转换求出数列的通项公式；
(2)利用(1)的结论，进一步利用错位相减求和．
17.解：(1)设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，
事件M=“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件N=“混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件C=“混合放在一起的某一零件是合格品”，
则P(M)=mm+n，P(N)=nm+n，
P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)=92%×mm+n+97%×nm+n=96%，
计算得m:n=1:4．
(2)由(1)知P(M)=mm+n=15.X的可能取值为0，1，2，3，4，
X∽B(4,15)，E(X)=4×15=45，P(X=0)=C40(15)0(45)4=256625，
P(X=1)=C41(15)(45)3=256625，P(X=2)=C42(15)2(45)2=96625，
P(X=3)=C43(15)3(45)1=16625，P(X=4)=C44(15)4(45)0=1625．
所以，X的分布列为：
【解析】本题主要考查频率与概率综合等，属于中档题．
(1)设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，
事件M=“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件N=“混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件C=“混合放在一起的某一零件是合格品”，然后利用全概率公式即可；
(2)由(1)知P(M)=mm+n=15.X的可能取值为0，1，2，3，4，X∽B(4,15)，然后分别求概率即可．
18.解：(1)由sx2=2，得i=1n(xi−x)2=nsx2=2n，
由sy2=2565，得i=1n(yi−y)2=nsy2=256n5，
因为线性回归方程y=4.8x−9459.2，则b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=4.8，
即i=1n(xi−x)(yi−y)=4.8i=1n(xi−x)2=4.8×2n=9.6n，
因此相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y) i=1n(x1−x)2i=1n(yi−y)2=9.6n 2n×256n5=0.6 0.4≈≈0.95，
所以电动汽车销量y与年份x的线性相关性的较强．
(2)零假设H0:购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得：K2=90(39×15−30×6)245×45×69×21≈5.031>3.841，
依据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，
此推断犯错误的概率不大于0.05．
【解析】本题主要考查独立性检验，相关系数，离散型随机变量及其分布列.属于中档题．
(1)利用相关系数r的求解公式，并转化为b和方差之间的关系，代入计算即可;
(2)直接利用独立性检验公式求出K2，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关;
19.解：(1)函数定义域为(−1,+∞)，f(x)=mx2−ln(x+1)，f′(x)=2mx−1x+1=2mx2+2mx−1x+1，
①当−2≤m<0时，f′(x)≤0，f(x)在(−1,+∞)上单调递减;
②当m<−2时，令f′(x)=0得x1=−12− m2+2m2m，x2=−12+ m2+2m2m，
则−1(2)由题意知g(x)=−sinx+ln(x+1)−mx2，g(0)=0，g′(x)=11+x−2mx−csx，g′(0)=0．
令ℎ(x)=g′(x)，则ℎ′(x)=−2m−1(1+x)2+sinx，ℎ′(0)=−2m−1，
①若m<−12，因为当x∈(−1,1)时，y=−1(1+x)2单调递增，
所以ℎ′(x)在(−1,1)上单调递增.当x→−1时，ℎ′(x)=2m−1(1+x)2+sinx→−∞，
又因为ℎ′(0)=−2m−1>0，因此存在x0∈(−1,0)，使得ℎ′(x0)=0，
所以当x∈(−1,x0)时，ℎ′(x)<ℎ′(x0)=0，g′(x)=ℎ(x)在(−1,x0)上单调递减，
当x∈(x0,1)时，ℎ′(x)>ℎ′(x0)=0，g′(x)=ℎ(x)在(x0,1)上单调递增．
又因为g′(0)=ℎ(0)=0，所以当x∈(x0,0)时，g′(x)<0;当x∈(0,1)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(x0,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，符合题意．
②若−12≤m<0，当x∈(−1,0)时，ℎ′(x)=−2m−1(1+x)2+sinx≤1−1(1+x)2+sinx<0，
所以ℎ(x)在(−1,0)上单调递减，ℎ(x)=g′(x)>g′(0)=0，g(x)在(−1,0)上单调递增，
因此x=0不可能是g(x)的极小值点．
综上，当x=0是g(x)的极小值点时，m的取值范围为(−∞,−12).
【解析】本题主要考查导数的应用，难度较大．
(1)先得到f′(x)=2mx−1x+1=2mx2+2mx−1x+1，然后分 ①当−2≤m<0时， ②当m<−2时，分别讨论即可；
(2)由题意知g(x)=−sinx+ln(x+1)−mx2，g(0)=0，g′(x)=11+x−2mx−csx，g′(0)=0．
令ℎ(x)=g′(x)，则ℎ′(x)=−2m−1(1+x)2+sinx，ℎ′(0)=−2m−1，然后分 ①若m<−12， ②若−12≤m<0，分别讨论即可．性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
ξ
0
1
2
P
715
715
115
X
0
1
2
3
4
P
256625
256625
96625
16625
1625
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知A={x|−4≤x≤3}，B={x|lg(x−1)>0}，则A∩B=( )
A. {x|−4≤x<2}B. {x|−4≤x≤2}C. {x|2
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知随机变量X~N(μ,σ2),Y~B(6,p),且P(X≤4)=12,E(X)=E(Y),则p=( )
A. 13B. 23C. 14D. 12
4.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课两天相邻的课程的安排方案种数为( )
A. 18B. 24C. 36D. 42
5.从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ+1)=( )
A. 2B. 1C. 3D. 4
6.设数列{an}的前项和为Sn，若Sn+n=2an−1，则a5=( )
A. 16B. 31C. 47D. 63
7.在直角坐标系XOY中，已知点F(1,0)，E(−2,0)，M(3,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.已知定义域为R的函数f(x)满足f(−x)=f(x)+2x，f(0)=2，且y=f(x+1)−1为奇函数，则下列结论错误的是( )
A. f(1)=1B. 函数y=f(x)+x为偶函数
C. f(2024)=−2022D. i=119f(i)=−150
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的命题是( )
A. 若随机事件A，B满足：P(A|B)+P(A)=1，则A，B相互独立
B. 若相关系数r的值越大，则两个变量的线性相关性越强
C. 样本甲中有m件样品，其方差为s12，样本乙中有n件样品，其方差为s22，则由甲乙组成的总体样本的方差为mm+n⋅s12+nm+n⋅s22
D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为y=0.3x−m，若样本点的中心为(m,2.8)，则实数m的值是−4
10.投掷一枚质地均匀的骰子，规定抛出偶数点得2分，抛出奇数点得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为Pn，下列说法不正确的是( )
A. P1=12B. P2=12
C. 当n≥3时，Pn=12Pn−1+12Pn−2D. 当n≥10时，Pn=1−2Pn+1
11.已知f(x)=(x+1)lnx，g(x)=x(ex+1)，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)=(x+1)lnx，在(0,+∞)上存在唯一极值点
B. 任意x∈(0,+∞)，有f(x)
D. 若f(x1)=g(x2)=t，(t>0)，则lnt2x2(x1+1)的最大值为12e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(ax−1)(2x−1)3的展开式中，若各项系数的和为0，则a= ．
13.在线性回归分析中，已知i=1n(xi−x)(yi−y)=77，i=1nxiyi=182，x=3，y=7，则n= ．
14.在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是C的右支上一点，直线l与C相切于点M.由点F2出发的入射光线碰到点M后反射光线为MQ，法线(在光线投射点与分界面垂直的直线)交x轴于点N，此时直线l起到了反射镜的作用.若|MF2||NF2|=34，则C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
函数f(x)=mx2+bx+c，满足f(−x)=f(x−1)，f(0)=−2．
(1)若不等式f(x)≥x−m−2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围;
(2)在(1)的条件下，求m2+3m+6m+1的最小值;
16.(本小题12分)
若等比数列{an}的首项a1=1且满足2an=3an−1+an−2(n≥3)．
(1)求{an}通项公式;
(2)求数列{nan}的前n项和Sn．
17.(本小题12分)
某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为92%:乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为97%:若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为96%．
(1)混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少?
(2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个，用频率估计概率，记这4个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望．
18.(本小题12分)
为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y(单位：万台)关于x(年份)的线性回归方程y=4.8x−9459.2，且销量y的方差为sy2=2565，年份x的方差为sx2=2．
(1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的线性相关性的强弱．
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关?
①参考数据： 0.4≈0.63．
②参考公式：线性回归方程为y=bx+a，其中b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2，a=y−bx，样本相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y) i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2;若|r|>0.9，则可判断y与x线性相关较强;K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
附表：
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=mx2−ln(x+1)，m<0．
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)g(x)=−sinx−f(x)，若x=0是g(x)的极小值点，求m的取值范围;
答案解析
1.D
【解析】解：集合A={x|−4≤x≤3}，B={x|lg(x−1)>0}={x|x>2}，
则A∩B={x|2
【解析】解：若双曲线C:x2m−y2m+3=1的离心率为 3，
则 m+3+m m= 3或 −(m+3)−m −(m+3)= 3，
解得m=3或m=−6，
则“m=3”是“双曲线C的离心率为 3”的充分不必要条件．
3.B
【解析】解:因为随机变量X~N(μ,σ2),Y~B(6,p),且P(X≤4)=12,E(X)=E(Y),
则E(Y) = 6 p,μ=4,
根据正态分布性质可知E(X) =μ,
则6p=4,
则p=23.
4.C
【解析】解：剪纸和插花课两天相邻，与另外三门课程全排列共有：A22A44=48种，
陶艺课排在周一，且剪纸和插花课两天相邻，则安排方案有：A22A33=12种，
则陶艺课不排在周一，剪纸和插花课两天相邻的课程的安排方案种数为：48−12=36种．
故选C．
5.D
【解析】
解：ξ的可能取值为0,1,2．
P(ξ=0)=C83C103=715，P(ξ=1)=C21C82C103=715，P(ξ=2)=C22C81C103=115．
∴ξ的分布列为：
于是E(ξ)=0×715+1×715+2×115=35，
故E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5×35+1=4．
6.C
【解析】解：由题可知，Sn+n=2an−1，令n=1时， S1+1=2a1−1，得a1=2，
当n≥2时，Sn−1+n−1=2an−1−1，
两式相减得，
所以Sn−Sn−1+1=2an−2an−1，即an+1=2an−2an−1，
所以an=2an−1+1，即an+1=2an−1+1，
所以an+1是等比数列，首项为a1+1=3，公比为2，
所以an+1=3×2n−1，
所以an=3×2n−1−1
所以a5=3×24−1=47，
故答案为C．
7.C
【解析】解：设P(x,y)，E(−2,0)，则PE的中点坐标为(x−22,y2)，
代入y2=2x+2，可得y2=4x，
故动点P的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线l:x=−1为准线的抛物线y2=4x，
M(3,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l于Q，
则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，
最小值为点M到直线l的距离4．
8.D
【解析】解：因为函数y=f(x+1)−1为奇函数，所以f(1)−1=0，即f(1)=1，故A正确；
令g(x)=f(x)+x，
因为f(−x)=f(x)+2x，所以f(−x)−x=f(x)+x，
所以g(−x)=g(x) ①，即g(x)为偶函数，故B正确；
又y=f(x+1)−1为奇函数，所以f(x+1)−1+f(−x+1)−1=0，
即f(x+1)+f(−x+1)=2，所以f(−x)+f(x+2)=2，
所以f(−x)−x+f(x+2)+x+2=4，
所以g(−x)+g(x+2)=4 ②．
由 ① ②得g(x)+g(x+2)=4，所以g(x+2)+g(x+4)=4，
所以g(x+4)=g(x)，所以g(x)是周期为4的函数，
所以f(2024)+2024=g(2024)=g(0)=f(0)=2，
所以f(2024)=−2022，故C正确;
由f(−x)=f(x)+2x与f(−x)+f(x+2)=2，
得f(x)+2x+f(x+2)=2，所以f(x)+f(x+2)=2(1−x)，
所以f(0)+f(2)=2×1，
f(1)+f(3)=2×0，f(4)+f(6)=2×(−3)，
f(5)+f(7)=2×(−4)，f(8)+f(10)=2×(−7)，
f(9)+f(11)=2×(−8)，f(12)+f(14)=2×(−11)，
f(13)+f(15)=2×(−12)，f(16)+f(18)=2×(−15)，
f(17)+f(19)=2×(−16)，
所以i=119f(i)=−f(0)+i=019f(i)=−2+2×(1+0−3−4−7−8−11−12−15−16)=−152，故D错误．
故选D．
9.AD
【解析】
解：对A：P(A|B)+P(A)=1⇒P(A|B)=1−P(A)=P(A)
⇒P(AB)P(B)=P(A)⇒PAB=PAPB，
所以A,B相互独立，故A正确；
对B：若相关系数r的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强，故B错误；
对C：因为甲乙组成的新样本的平均数可能发生改变，
由分层抽样的方差公式可知，新的方差不一定是mm+n⋅s12+nm+n⋅s22，故C错误；
对D：因为回归直线方程y=0.3x−m必过样本中心点(m,2.8)，
所以0.3m−m=2.8，解得m=−4，故D正确．
故选AD．
10.BD
【解析】解：投掷一次抛出偶数点的概率为12，抛出奇数点的概率也为12，
故P1=12，故A正确；
P2=12+12×12=34，故B错误；
易知要得到n分，则在n−2分的基础上抛出偶数点，或在n−1分的基础上抛出奇数点，
所以当n≥3时，Pn=12Pn−1+12Pn−2，故C正确；
当n≥2时，Pn+1=12Pn+12Pn−1，
故P3=12P2+12P1=12×34+12×12=58，Pn+2=12Pn+1+12Pn，
故Pn+2−Pn+1=−12Pn+1+12Pn=−12Pn+1−Pn．
因为P2−P1=34−12=14≠0，
所以数列Pn+1−Pn是以14为首项，−12为公比的等比数列，
所以Pn+1−Pn=14×−12n−1=−12n+1．
所以当n⩾2时，Pn=Pn−Pn−1+⋯+P2−P1+P1
=−12n+⋯+−123+−122+12
=−12n+⋯+−123+−122+−121+−120
=1−−12n+11−−12=23+13·−12n．
当n=1时，P1=12符合Pn=23+13·−12n，
故Pn=23+13·(−12)n(n∈N∗)．
当n为偶数时，Pn=23+13·12n，Pn+1=23−13·12n+1，
故2−2Pn+1=2−43+23·12n+1=23+13·12n=Pn．
当n为奇数时，Pn=23−13·12n，Pn+1=23+13·12n+1，
2−2Pn+1=2−43−23·12n+1=23−13·12n=Pn．
故当n≥10时，Pn=2−2Pn+1，故D错误．
11.BCD
【解析】解：对于A，由已知fx=x+1lnx，f′x=lnx+1x+1，令ℎx=lnx+1x+1，则ℎ′x=1x−1x2=x−1x2，当x∈0,1时，ℎ′x<0，ℎx递减，当x∈1,+∞时，ℎ′x>0，ℎx递增，所以ℎx⩾ℎ1=2>0，f′x=lnx+1x+1>0在(0,+∞)上恒成立，因此，函数f(x)=(x+1)lnx在(0,+∞)上单调递增，不存在极值点，A错误；
对于B，由已知gx=xex+1=fex，令tx=ex−x，因为当x∈0,+∞时，t′x=ex−1>0恒成立，所以这时tx>t0=0，即当x∈0,+∞时，ex>x恒成立，因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以fx
所以对任意x∈(0,+∞)，不等式g(x2+ax+a)≤g(2ex)恒成立，
等价于对任意x∈(0,+∞)，不等式x2+ax+a≤2ex，即a⩽2ex−x2x+1恒成立，
令vx=2ex−x2x+1x>0，因为v′x=2xex−x2−2xx+12=x2ex−x−2x+12，
令wx=2ex−x−2，则当x>0时，w′x=2ex−1>1>0，这时v′x>0，
所以vx在0,+∞上单调递增，于是vx>v0=2，所以a⩽2，因此，实数a的最大值为2，C正确;
对于D，由f(x1)=g(x2)=t，(t>0)，得： x1+1lnx1=x2(ex2+1)=t，
因为t>0，则 x1>0,x2>1，
当 x1=ex2时，(x1+1)lnx1=x2ex2+1；
即 lnt2x2(x1+1)=lnx2ex2+12x2(ex2+1)，设 k=x2(ex2+1)，由上可知k>0，令函数y=lnkk，
因为y′k=1−lnkk2，当k∈0,e时，y′>0，当k∈e,+∞时，y′<0，
所以函数y=lnkk在0,e内递增，在e,+∞内递减，ymax=1e，
因此，lnx2ex2+12x2(ex2+1)⩽12e，D正确．
故选BCD．
12.1
【解析】
解：由题知，令x=1，则原式为a−12−13=a−1，
因为各项系数的和为0，所以a−1=0，则a=1 ．
13.5
【解析】解：因为i=1n(xi−x)(yi−y)=77，i=1nxiyi=182，x=3，y=7，
所以i=1n(xi−x)(yi−y)=i=1nxiyi−xiy−xyi+xy
=i=1nxiyi−y∑ni=1xi−x∑ni=1yi+i=1nxy
=182−7×3n−3×7n+21n=77，
解得n=5．
故答案为5．
14.43
【解析】解：如图，过点F1作F1A⊥l，垂足为点A，延长F1A交MF2的延长线于点B．
设l上有一点T，由题意得∠TMQ=∠F1MA，
由光学知识，可知∠QMN=∠F2MN.又MN⊥l，
所以∠TMQ=∠F2MA，所以∠F1MA=∠F2MA，
所以|MF1|=|MB|．
由双曲线的定义，可得|MF1|−|MF2|=2a，
所以|MB|−|MF2|=|BF2|=2a．
因为MN⊥l，F1B⊥l，所以MN//F1B，
所以|MF2||BF2|=|NF2||F1F2|，即|F1F2||BF2|=|NF2||MF2|，
所以C的离心率e=ca=2c2a=|F1F2||BF2|=|NF2||MF2|=43．
15.解：(1)由f(0)=−2得c=−2，
又f−x=mx2−bx−2,fx−1=mx−12+bx−1−2=mx2+b−2mx+m−b−2，
由f(−x)=f(x−1)得−b=b−2m−2=m−b−2得m=b，
所以f(x)=mx2+mx−2，
当m=0，f(x)=−2;当m≠0，f(x)=mx2+mx−2，
由f(x)≥x−m−2恒成立得：mx2+(m−1)x+m≥0对一切实数x恒成立．
当m=0时，不等式为−x≥0，不合题意;
当m≠0时，m>0Δ=(1−m)2−4m2≤0，解得：m≥13;
综上所述：实数m的取值范围为[13,+∞).
(2)∵m≥13，∴m+1≥43，
∴m2+3m+6m+1=(m+1)2+m+1+4m+1
=m+1+4m+1+1≥2 (m+1)⋅4m+1+1=5，
(当且仅当m+1=4m+1，即m=1时取等号)，
所以m2+3m+6m+1的最小值为5．
【解析】本题主要考查一元二次不等式存在性或恒成立问题、由基本不等式求最值或取值范围等，属于中档题．
(1)由f(x)≥x−m−2恒成立得：mx2+(m−1)x+m≥0对一切实数x恒成立.然后分
当m=0时，当m≠0时，分别讨论即可；
(2)先把m2+3m+6m+1变形为m+1+4m+1+1，然后利用基本不等式求最值即可．
16.解：(1)由题设公比为q，当n≥3时，an=q2an−2，an−1=qan−2．
因为{an}为等比数列，
所以an−2≠0，
所以2q2=3q−1，
解得：q=1或q=12．
所以an=1或an=(12)n−1；
(2)当q=12时，{an}为等比数列，
由a1=1，所以an=(12)n−1，所以nan=n(12)n−1，
所以数列{nan}的前n项和：Sn=1+2×(12)+3×(12)2+⋯+n×(12)n−1 ①
两边同乘以12，得：12×Sn=12+2×(12)2+3×(12)3⋯+n×(12)n ②
①式减去 ②式，得：12Sn=1+(12)+(12)2+⋯+(12)n−1−n×(12)n=1−(12)n1−12−n×(12)n，
所以Sn=4−n+22n−1(n∈N∗).
【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，错位相减求和，属于中档题．
(1)直接利用关系式的转换求出数列的通项公式；
(2)利用(1)的结论，进一步利用错位相减求和．
17.解：(1)设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，
事件M=“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件N=“混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件C=“混合放在一起的某一零件是合格品”，
则P(M)=mm+n，P(N)=nm+n，
P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)=92%×mm+n+97%×nm+n=96%，
计算得m:n=1:4．
(2)由(1)知P(M)=mm+n=15.X的可能取值为0，1，2，3，4，
X∽B(4,15)，E(X)=4×15=45，P(X=0)=C40(15)0(45)4=256625，
P(X=1)=C41(15)(45)3=256625，P(X=2)=C42(15)2(45)2=96625，
P(X=3)=C43(15)3(45)1=16625，P(X=4)=C44(15)4(45)0=1625．
所以，X的分布列为：
【解析】本题主要考查频率与概率综合等，属于中档题．
(1)设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，
事件M=“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件N=“混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件C=“混合放在一起的某一零件是合格品”，然后利用全概率公式即可；
(2)由(1)知P(M)=mm+n=15.X的可能取值为0，1，2，3，4，X∽B(4,15)，然后分别求概率即可．
18.解：(1)由sx2=2，得i=1n(xi−x)2=nsx2=2n，
由sy2=2565，得i=1n(yi−y)2=nsy2=256n5，
因为线性回归方程y=4.8x−9459.2，则b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=4.8，
即i=1n(xi−x)(yi−y)=4.8i=1n(xi−x)2=4.8×2n=9.6n，
因此相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y) i=1n(x1−x)2i=1n(yi−y)2=9.6n 2n×256n5=0.6 0.4≈≈0.95，
所以电动汽车销量y与年份x的线性相关性的较强．
(2)零假设H0:购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得：K2=90(39×15−30×6)245×45×69×21≈5.031>3.841，
依据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，
此推断犯错误的概率不大于0.05．
【解析】本题主要考查独立性检验，相关系数，离散型随机变量及其分布列.属于中档题．
(1)利用相关系数r的求解公式，并转化为b和方差之间的关系，代入计算即可;
(2)直接利用独立性检验公式求出K2，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关;
19.解：(1)函数定义域为(−1,+∞)，f(x)=mx2−ln(x+1)，f′(x)=2mx−1x+1=2mx2+2mx−1x+1，
①当−2≤m<0时，f′(x)≤0，f(x)在(−1,+∞)上单调递减;
②当m<−2时，令f′(x)=0得x1=−12− m2+2m2m，x2=−12+ m2+2m2m，
则−1
令ℎ(x)=g′(x)，则ℎ′(x)=−2m−1(1+x)2+sinx，ℎ′(0)=−2m−1，
①若m<−12，因为当x∈(−1,1)时，y=−1(1+x)2单调递增，
所以ℎ′(x)在(−1,1)上单调递增.当x→−1时，ℎ′(x)=2m−1(1+x)2+sinx→−∞，
又因为ℎ′(0)=−2m−1>0，因此存在x0∈(−1,0)，使得ℎ′(x0)=0，
所以当x∈(−1,x0)时，ℎ′(x)<ℎ′(x0)=0，g′(x)=ℎ(x)在(−1,x0)上单调递减，
当x∈(x0,1)时，ℎ′(x)>ℎ′(x0)=0，g′(x)=ℎ(x)在(x0,1)上单调递增．
又因为g′(0)=ℎ(0)=0，所以当x∈(x0,0)时，g′(x)<0;当x∈(0,1)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(x0,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，符合题意．
②若−12≤m<0，当x∈(−1,0)时，ℎ′(x)=−2m−1(1+x)2+sinx≤1−1(1+x)2+sinx<0，
所以ℎ(x)在(−1,0)上单调递减，ℎ(x)=g′(x)>g′(0)=0，g(x)在(−1,0)上单调递增，
因此x=0不可能是g(x)的极小值点．
综上，当x=0是g(x)的极小值点时，m的取值范围为(−∞,−12).
【解析】本题主要考查导数的应用，难度较大．
(1)先得到f′(x)=2mx−1x+1=2mx2+2mx−1x+1，然后分 ①当−2≤m<0时， ②当m<−2时，分别讨论即可；
(2)由题意知g(x)=−sinx+ln(x+1)−mx2，g(0)=0，g′(x)=11+x−2mx−csx，g′(0)=0．
令ℎ(x)=g′(x)，则ℎ′(x)=−2m−1(1+x)2+sinx，ℎ′(0)=−2m−1，然后分 ①若m<−12， ②若−12≤m<0，分别讨论即可．性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
ξ
0
1
2
P
715
715
115
X
0
1
2
3
4
P
256625
256625
96625
16625
1625
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