2024中考数学复习 河南模拟试题黑卷 (含详细解析)

这是一份2024中考数学复习 河南模拟试题黑卷 (含详细解析)，共23页。试卷主要包含了 下列运算正确的是， 定义运算等内容，欢迎下载使用。

1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. － eq \f(2,3) 的绝对值是
A. － eq \f(2,3) B. － eq \f(3,2) C. eq \f(2,3) D. eq \f(3,2)
2. 如图为小明复习时看到课本上的六棱柱茶叶盒，则该茶叶盒的左视图是

第2题图
2023年1月21日，河南省统计局发布2022年河南省全年经济数据，根据地区生产总值统一核算结果，2022年河南省地区生产总值（GDP）突破6万亿.数据6万亿用科学记数法可表示为6×10n的形式，则n的值是
A. 10B. 11C. 12D. 13
4. 将等腰直角三角板ABC按如图所示放置，其直角顶点A落在直线l1上，另一个顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1＝66°，则∠2的度数为
第4题图
A. 24° B. 33° C. 66° D. 45°
5. 下列运算正确的是
A. 3a－a＝3 B. (x＋2y)(x－2y)＝x2－2y2
C. (a3)2＝a5 D. eq \r(12) － eq \r(3) ＝ eq \r(3)
6. 如图，将两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，转动一张纸条的过程中，下列结论：①四边形ABCD的周长不变；②四边形ABCD的面积有变化；③AD＝BC；④AD＝AB.其中一定正确的是
第6题图
A. ②④ B. ②③
C. ①② D. ①③
7. 为了让学生了解国内外时事，培养读书看报、关心国家时事的好习惯，增强社会责任感，河南某校决定选拔一批学生作为新闻播报员，现有一学生要进行选拔考核，按照5∶2∶3的比例确定最终成绩，学生甲各项成绩(百分制)如下表，则学生甲最终的综合成绩为
A. 88分 B. 89分 C. 90分 D.94分
8. 定义运算：a※b=a2+ab.例如：2※2=22+2×2=8.若方程x※3=-m有两个不相等的实数根，则m的值可以为
A. 2 B. 3 C. 4 D.5
9.如图，在等腰△ABC中，AB=BC=5，AC=2，点A，B分别在x轴，y轴上，且BC∥x轴，将△ABC沿x轴向左平移，当点A与点O重合时，点B的坐标为
A.（-2，2） B.（-2，4） C.（-3，2） D.（-3，4）
第9题图
10. 如图①，电源两端电压U(单位：V)保持不变，电流强度I与总电阻R成反比，在实验课上，调节滑动变阻器的电阻，改变灯泡的亮度，测得电路中总电阻R和通过的电流强度I之间的关系如图②所示(温馨提示：总电阻R＝灯泡电阻＋滑动变阻器电阻)，下列说法错误的是

第10题图
A. 电流强度I随着总电阻R的增大而减小
B. 调节滑动变阻器，当总电阻R为8 Ω时，电流强度I为0.75 A
C. 当灯泡电阻为4 Ω，电路中电流为0.3 A时，滑动变阻器的阻值为16 Ω
D. 当经过灯泡的电流为0.2 A时，电路中的总电阻为20 Ω
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 计算：( eq \r(2) －1)0＋ eq \r(3,－27) ＝________．
12. 请写出一个图象经过第二象限，且y随x的增大而增大的一次函数表达式：____________(写出一个即可).
13. 通常情况下紫色石蕊试液遇酸性变红色，遇碱性溶液变蓝色．老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A.盐酸(呈酸性)，a.白醋(呈酸性)，B.氢氧化钠溶液(呈碱性)，b.氢氧化钙溶液(呈碱性)中的一种．学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为________．
14. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若DE＝2，则阴影部分的面积为________．
第14题图
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，D为AB上一点，E为BD的中点，将△ACD沿CD折叠得到△FCD，连接EF，当△DEF为直角三角形时，则AD的长为________．
第15题图
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16. (1)(5分)下面是小李同学解不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－\f(1,2)x≥\f(3x－6,2)，,3＋x>4)) 的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－\f(1,2)x≥\f(3x－6,2)，①,3＋x>4②))
解不等式①， 5－ eq \f(1,2) x≥ eq \f(3x－6,2)
去分母，得10－x≥3x－6第一步
移项，得－x－3x≥－6－10第二步
合并同类项，得－4x≥－16第三步
系数化为1，得x≥4第四步
任务一：
①以上解不等式①过程中，第二步所用到的不等式的依据是________________________________________；
②上述解不等式①的过程第________步出现了错误，其原因是：____________________________________；
任务二：请写出正确的解题过程，并将不等式组的解集表示在数轴上．
第16题图
(2)(5分)化简：(1－ eq \f(1,x－3) )÷ eq \f(x2－4x,x2－9) .
17. (9分)某校开展以“阅读经典，做好文化传承人”为主题的阅读活动，该校为了解全校学生阅读经典书籍的情况，随机选取了若干名学生，调查他们每月阅读经典书籍的时间x(单位：小时)，将调查获取到的数据进行整理，并将结果绘制成如下尚不完整的统计图表．
a．抽取学生经典书籍阅读时间统计表
第17题图
b．抽取学生经典书籍阅读时间扇形统计图
c．抽取学生经典书籍阅读时间在C(9≤x＜9.5)组的是(单位：小时)
9.4，9.2，9，9.1，9.2，9.3，9，9.4，9.4，9，9.1，9.4，9，9.2，9.2，9.
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的同学共有________人，表格中的m＝________；
(2)在这次调查中，抽取学生经典书籍阅读时间的中位数是________；
(3)该校学生有3000人，请估计经典书籍阅读时间不低于9.5小时的人数；
(4)请对该校学生阅读经典书籍的情况作出合理的评价．
18. (9分)老君山位于十三朝古都洛阳的栾川县县城东南，老君山老子文化苑的老子铜像是世界上最高的老子铜像．如图①，某数学活动小组到老君山老子文化苑测量老子铜像(含底座)的高度，具体过程如下：
方案设计：如图②，在老子铜像(含底座)的两侧地面上选取A，B两点，先测得A，B两点之间的距离，再在A，B两点利用同一测角仪分别测得铜像头顶的仰角(点A，D，B在同一水平线上).
数据收集：通过实地测量，地面A，B之间的距离为45.5 m，在A点处测得铜像头顶的仰角为78°，在B点处测得铜像头顶的仰角为60°.
问题解决：已知测角仪AE的高度为1.5 m，求老子铜像(含底座)CD的高度．(结果精确到1 m，参考数据：sin78°≈0.98, cs78°≈0.21，tan78°≈4.70， eq \r(3) ≈1.73)
第18题图
19. (9分)乡村要振兴，产业必振兴，河南多地依托生态优势，通过技术支撑，大力发展羊肚菌特色产业，探索出了群众致富新路径．河南省某村村长带领村民大棚种植羊肚菌振兴乡村产业建设．据了解，人工种植的羊肚菌和野生羊肚菌的营养价值相当，某零售批发商两次以相同的单价在该村收购人工种植的新鲜羊肚菌和干羊肚菌的情况如下表：
(1)求新鲜羊肚菌和干羊肚菌的收购单价；
(2)由于市场状况良好，该批发商第三次在收购单价不变的情况下收购两种羊肚菌合计1500千克，根据市场需求收购的干羊肚菌数量不得超过新鲜羊肚菌的三分之一，且零售市场新鲜羊肚菌的售价为100元/千克，干羊肚菌的售价为280元/千克，则该批发商应该如何设计购买方案使利润最大，最大利润是多少？
20. (9分)如图，在△ABC中，AB＝BC，点A在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k＜0)的图象上，点B在y轴上，AC⊥x轴于点C.
(1)已知点D是AC左侧一点，连接AD，CD，若四边形ABCD为菱形，则点D是否在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k＜0)的图象上？请说明理由；
(2)在(1)的条件下，若菱形ABCD的面积为4，求k的值．
第20题图
21. (9分)抖空竹是一项传统体育运动，是国家级非物质文化遗产之一．如图①，双手握杆抖动空竹可以做出各种花样技巧．小雨对抖空竹的过程进行了研究，如图②，空竹⊙O落下时与线AB，CD分别相切于点E，F，连接EF，AB与CD相交于点G，A，B，C，D，O在同一平面内．已知⊙O的半径为1，EF＝ eq \r(3) ，CG＝2GF，∠A＝∠D，BC∥EF.
(1)求证：△EFG为等边三角形；
(2)若F为CD的中点，求AB的长．
第21题图
22. (10分)如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，－2)，点B为x 轴上一点，进行如下操作：
①连接AB，分别以A，B为圆心，大于 eq \f(1,2) AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧交于M，N两点，过MN作直线l1；
②过点B作x轴的垂线l2交直线l1于点P；
③多次移动点B的位置，得到对应的点P，将这些点用平滑的曲线连接起来，发现该曲线为抛物线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在图①中作出直线l1；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图)
(2)设点P的坐标为(x，y)，求点P形成抛物线的表达式；
(3)如图②，一个横截面为抛物线形的单向隧道，其高为3米，且近似满足点P形成的抛物线表达式，若规定车辆顶部与隧道有不少于 eq \f(1,4) 米的空隙，则宽为2米的货车通过隧道的最大高度应为多少米．
第22题图
23. (10分)综合与实践
【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展．
第23题图①
“弦图”，在三国时期被赵爽发明，是证明____________的几何方法(填序号).
①勾股定理 ②完全平方公式 ③平方差公式
【动手操作】
如图②，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”．组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”，则中间四边形ABCD的面积为________；
【问题探究】
兴趣小组组员小红发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图③，E为正方形ABCD内一点，△BCE满足BE2＋CE2＝BC2，将△BCE绕点C顺时针旋转90°，得到△DCE′.
(1)连接BD，若点E为BD的中点，则四边形DECE′为________(填形状)；

图② 图③ 图④
第23题图
【问题解决】
(2)若BE，E′D的延长线交于点M，连接AC，点O，F分别为AC，CD的中点．
①请找出OM和FE′的数量关系并写出直线OM和直线FE′的夹角(锐角)，请仅就图④的情形说明理由；
②若DM＝1，AB＝5，请直接写出BE的长．
参考答案与详细解析
快速对答案
详解详析
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. C 【解析】负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，故本题正确答案选C.
2. B 【解析】该茶叶盒的三视图如解图所示，故正确答案选B.
第2题解图
3. C 【解析】∵6万亿＝6×104×108＝6×1012，∴n＝12.
4. A 【解析】如解图，∵l1∥l2，∴∠1＝∠3＝66°，∵∠2＋∠3＝90°，∴∠2＝90°－∠3＝24°，故正确答案选A.
第4题解图
5. D 【解析】A.3a－a＝2a≠3，A选项错误；B.(x＋2y)(x－2y)＝x2－4y2≠x2－2y2，B选项错误；C.(a3)2＝a6≠a5，C选项错误；D. eq \r(12) － eq \r(3) ＝ eq \r(3) ，D选项正确，故正确答案选D.
6. B 【解析】两张纸条对边平行，四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，但转动的过程中，长度在改变，∴四边形的周长和面积都会发生变化，故①错误，②正确，③正确，④错误．
7. C 【解析】学生甲最终的综合成绩为94× eq \f(5,5＋2＋3) ＋80× eq \f(2,5＋2＋3) ＋90× eq \f(3,5＋2＋3) ＝90(分).
8. A 【解析】根据新定义的运算可知x※3＝－m，即x2＋3x＋m＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝32－4m>0，即m< eq \f(9,4) ，结合选项可知，正确答案选A.
命题立意
本题是一个即时学习问题，给出一个新定义，结合新定义的运算方法考查一元二次方程根的判别式与根的关系，学生在解答时先要理解新的运算法则，在考查学生基础知识的同时，又考查了学生的阅读理解能力和现场学习能力．
9. D 【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝a，在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝52－a2，∵BC＝5，∴CD＝BC－BD＝5－a，在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝(2 eq \r(5) )2－(5－a)2，∴52－a2＝(2 eq \r(5) )2－(5－a)2，解得a＝3，∴BD＝3，AD＝4，∵BC∥x轴，AD⊥BC，∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四边形OADB为矩形，∴OA＝BD＝3，OB＝AD＝4，当点A与点O重合时，点B的坐标为(－3，4)，故选D.
第9题解图
10. D 【解析】根据图象可知电流I随电阻R的增大而减小，故选项A正确，不符合题意；∵电流I与总电阻R成反比，∴设电流强度I与总电阻R的表达式为I＝ eq \f(U,R) (U≠0)，将点(6，1)代入表达式可得U＝6，∴电流强度I与总电阻R的表达式为I＝ eq \f(6,R) ，将R＝8代入，解得I＝0.75，故选项B正确，不符合题意；∵I＝ eq \f(6,R) ，∴当I＝0.3 A时，R＝20 Ω，∵灯泡的电阻为4 Ω，∴滑动变阻器的阻值为16 Ω，故选项C正确，不符合题意；将I＝0.2代入I＝ eq \f(6,R) ，得R＝30 Ω，故选项D错误，符合题意．
新考法解读
本题以“欧姆定律”为背景，考查学生观察函数图象的能力以及从函数图象中获取关键信息的能力，要关注数学知识与其他学科实际问题之间的结合，让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律，体现了对学生学科素养的考查，前瞻了课程改革的新动向．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. －2 【解析】( eq \r(2) －1)0＋ eq \r(3,－27) ＝1－3＝－2.
12. y＝x＋1(答案不唯一) 【解析】设一次函数的解析式为y＝kx＋b，∵y随x的增大而增大，∴k >0，∵图象经过第二象限，∴b>0，则本题只要保证k>0，b>0即可．
命题立意
本题以结论开放的形式考查一次函数的图象与性质，引导学生发散思维，积极思考，培养学生的创新意识和创新能力．试题命制符合教育部《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》中强调的“提高开放性试题的比例”要求，具有一定的趋势．
13. eq \f(1,6) 【解析】列表如下：
由列表可得，共有 12 种等可能的情况，其中两瓶溶液恰好都变蓝的情况有(B，b)，(b，B)两种，∴P(两瓶溶液恰好都变蓝)＝ eq \f(2,12) ＝ eq \f(1,6) .
14. eq \f(2,3) π 【解析】如解图，连接AO，BO，FO，由正六边形性质可知，AB＝CD＝AF＝DE＝2，且∠AOB＝∠AOF＝60°，∵AO＝BO＝FO，∴△AOB和△AOF为等边三角形，∴四边形ABOF为菱形，∴S△AFB＝S△AOB，又∵AB＝CD，∴弓形AB的面积和弓形CD的面积相等，∴S阴影＝S扇形AOB＝ eq \f(60,360) π×22＝ eq \f(2,3) π.
第14题解图
15. 2或3－ eq \r(3) 【解析】在Rt△ABC中，∵∠B＝60°，∴AB＝2BC＝4，当△DEF为直角三角形，分两种情况：①如解图①，当∠FED＝90°时，此时CF经过点E，CE⊥AB，∵∠A＝30°，∴∠ACE＝60°，∵∠ACD＝∠FCD，∴∠ACD＝∠FCD＝30°，∴∠CDB＝60°，∴△CDB为等边三角形，∴CD＝CB＝BD＝2，∴AD＝AB－BD＝2.②如解图②，当∠FDE＝90°时，设CF交AB于点M，由折叠性质得，∠DFM＝∠A＝30°，∵∠FDE＝90°，∴∠FMD＝60°，∴∠CMB＝60°，∴△CMB为等边三角形，∴MB＝CM＝BC＝2，在Rt△ABC中，AC＝BC·tan B＝2× eq \r(3) ＝2 eq \r(3) ，∴CF＝AC＝2 eq \r(3) ，∴FM＝CF－CM＝2 eq \r(3) －2，又∵在Rt△FDM中，∠DFM＝30°，∴DM＝ eq \f(1,2) FM＝ eq \r(3) －1，∴AD＝AB－BM －DM＝4－2－ eq \r(3) ＋1＝3－ eq \r(3) .
第15题解图
【难点点拨】本题的关键点在于判断当△DEF为直角三角形时，点D的位置，可根据直角出现的位置进行分类讨论，根据折叠方式可分为当∠FED＝90°，∠FDE＝90°的两种情况．
【方法指导】“折叠问题”的实质是图形的轴对称变换，具有以下性质：
1．翻折前的部分与翻折后的部分是全等图形；
2．对应点之间的连线被折痕垂直平分；
3．对应点与折痕上任意一点连接所得的两条线段相等；
4．对应线段所在的直线与折痕的夹角相等．
解题过程中要充分运用以上性质，借助辅助线构造直角三角形，结合相似三角形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16. 解：(1)任务一：
①不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变(或不等式的基本性质1)；(1分)
②四；不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向未改变．(2分)
任务二：
解不等式 5－ eq \f(1,2) x≥ eq \f(3x－6,2) ，
去分母，得10－x≥3x－6，
移项，得－x－3x≥－6－10，
合并同类项，得－4x≥－16，
系数化为1，得x≤4；
解不等式3＋x>4，
移项，得x＞4－3，
合并同类项，得x＞1；
∴原不等式组的解集为1＜x≤4.(4分)
将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示；
第16题解图
(5分)
(2)原式＝ eq \f(x－3－1,x－3) · eq \f(x2－9,x2－4x) (3分)
＝ eq \f(x－4,x－3) · eq \f(（x＋3）（x－3）,x（x－4）)
＝ eq \f(x＋3,x) .(5分)
17. 解：(1)50；15；(2分)
【解法提示】根据信息可知，被调查学生人数＝ eq \f(5,10%) ＝50人，m＝50×30%＝15.
(2)9.35；(4分)
【解法提示】将50名学生的经典书籍阅读时间按从小到大的顺序排列，第25个，第26个数分别为9.3，9.4，∴这次阅读时间的中位数为 eq \f(1,2) ×(9.3＋9.4)＝9.35.
(3)3000×(30%＋12%)＝1260(人)，
答：经典书籍阅读时间不低于9.5小时的人数约为1260人；(7分)
(4)经典书籍阅读时间不低于9小时的人数占被调查人数的74%，说明该校学生阅读经典书籍的情况较好．(注：答案不唯一，合理即可)(9分)
18. 解：如解图，连接EF交CD于点G，
可知四边形ABFE为矩形，
∴EF＝AB，EG＝AD，GF＝BD；
在Rt△CEG中，EG＝ eq \f(CG,tan 78°) ，
在Rt△CFG中，GF＝ eq \f(CG,tan 60°) ，(4分)
又∵EF＝AB＝45.5，
∴EG＋GF＝45.5，
即 eq \f(CG,tan 78°) ＋ eq \f(CG,tan 60°) ＝ 45.5，(7分)
代入数据可得
eq \f(CG,4.70) ＋ eq \f(CG,1.73) ＝45.5，
解得CG≈57.5，
∴CD＝CG＋GD＝57.5＋1.5＝59.
答：老子铜像(含底座)CD的高度约为59 m．(9分)
第18题解图
19. 解：(1)设新鲜羊肚菌的收购单价为a元/千克，干羊肚菌的收购单价为b元/千克．
根据题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1000a＋300b＝152000，,800a＋500b＝184000，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝80,b＝240)) .
答：新鲜羊肚菌的收购单价为80元/千克，干羊肚菌的收购单价为240元/千克；(5分)
(2)设收购新鲜羊肚菌x千克，则收购干羊肚菌(1500－x)千克，
根据题意，得1500－x≤ eq \f(1,3) x，
解得x≥1125，(6分)
设利润为w元，
则w＝(100－80)x＋(280－240)(1500－x)＝－20x＋60000，
∵－20<0，
∴w随x的增大而减小，
又∵x≥1125，
∴当x＝1125时，w有最大值，w最大＝37500，
则1500－x＝1500－1125＝375，
答：应收购新鲜羊肚菌1125千克，干羊肚菌375千克才能使利润最大，最大利润是37500元．(9分)
20. 解：(1)点D在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k＜0)的图象上．理由如下：
如解图，连接BD交AC于点E，
设点A的坐标为(n，2m)，则k＝2mn，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC和BD互相垂直平分，
∵AC⊥x轴于点C，
∴点D的坐标为(2n，m)，
将点D在坐标代入反比例函数表达式中，满足y＝ eq \f(2mn,x) ，
∴点D在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k＜0)的图象上；(4分)
第20题解图
(2)如解图，∵四边形ABCD为菱形，
∴AC和BD互相垂直平分，BE＝DE，AE＝CE，
∵S菱形ABCD＝ eq \f(1,2) AC·BD＝4，
∴AC·BD＝8，则BE·AC＝4，
∵AC⊥x轴于点C，
∴|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝－4.(9分)
21. (1)证明：如解图，连接OE，OF，过点O作OH⊥EF于点H，
∵AB，CD分别与⊙O相切于点E，F，
∴∠OEG＝∠OFG＝90°，(2分)
∵OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE，
∴∠FEG＝∠EFG，
又∵⊙O的半径为1，EF＝ eq \r(3) ，OH⊥EF，
∴EH＝ eq \f(1,2) EF＝ eq \f(\r(3),2) ，
∵在Rt△OEH中，cs ∠OEH＝ eq \f(EH,OE) ＝ eq \f(\r(3),2) ，
∴∠OEH＝30°，
∴∠FEG＝∠OEG－∠OEH＝60°，
∴△EFG为等边三角形；(4分)
第21题解图
(2)解：∵BC∥EF，
∴△EFG∽△BCG.(5分)
由(1)知△EFG为等边三角形，
∴△BCG是等边三角形，
∴GC＝GB，
在△ACG与△DBG中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠A＝∠D,∠AGC＝∠DGB,GC＝GB)) ，
∴△ACG≌△DBG(AAS)，(7分)
∴AG＝DG，
∴AB＝CD，
∵EF＝GF＝ eq \r(3) ，CG＝2GF，
∴CG＝2 eq \r(3) ，
∵F为CD的中点，
∴CD＝2CF＝2(CG＋GF)＝2×(2 eq \r(3) ＋ eq \r(3) )＝6 eq \r(3) ，
∴AB＝CD＝6 eq \r(3) .(9分)
命题立意
本题从传统体育运动“抖空竹”的过程中抽离出数学问题，重点考查数学建模和数学运算的核心素养，同时检测学生在以真实问题为载体时进行主题活动和项目学习式的活动时发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，较好地体现了数学的应用价值和育人的作用．
22. 解：(1)作图如解图①；(2分)
第22题解图①
(2)如解图②，连接PA，过点P作PC⊥y轴于点C，
第22题解图②
根据作图步骤可知直线l1垂直平分AB，
∵点P的坐标为(x，y)，
∴PA＝PB＝－y，
在Rt△ACP中，
∵OA＝2，AC＝－y－2，PC＝x，
∴(－y－2)2＋x2＝(－y)2，(5分)
整理得y＝－ eq \f(x2,4) －1，
∴点P形成抛物线的表达式为y＝－ eq \f(x2,4) －1；(6分)
(3)由(2)可知，抛物线的表达式为y＝－ eq \f(x2,4) －1，
当宽为2米的货车从隧道正中间通过，此时能求出最大高度，
即x＝1时，y＝－ eq \f(5,4) ，(－ eq \f(5,4) )＋(－ eq \f(1,4) )＝－ eq \f(3,2) .
把x＝0代入解析式中，得y＝－1，
∴抛物线顶点坐标为(0，－1)，
∵抛物线形隧道高3米，
∴最大高度为3＋1－ eq \f(3,2) ＝ eq \f(5,2) ，
∴宽为2米的货车通过隧道的最大高度应为 eq \f(5,2) 米．(10分)
【方法指导】此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．
(1)判断抛球是否过网即判断此点的坐标是否在抛物线上方；
(2)判断投篮是否能投中即判断篮筐是否在球的运动轨迹所在的抛物线上；
(3)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方；
(4)判断船是否能通过拱桥即判断船的高度是否比桥的最高点到水面的距离小；
(5)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高大．
新考法解读
本题以操作探究，结合尺规作图，让学生通过提取、理解和操作过程中的相关信息，结合几何图形建立函数关系，并利用二次函数的性质解决实际问题，不仅体现了数学的应用价值和育人作用，还使考试内容与学生的生活经验、社会经验、社会实践活动相结合，真正考查学生理解和运用所学知识与技能的能力．教育部2019年11月发布的《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》和《义务教育数学课程标准(2022年版)》中均指出：情境创设的真实性．
23. 【阅读经典】①；(1分)
【动手操作】49；(2分)
【解法提示】根据题意可得，四边形ABCD为正方形，∵AB＝12－5＝7，∴S正方形ABCD＝49.
【问题探究】
(1)正方形；(4分)
【解法提示】如解图①，∵△BCE满足BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，∵四边形ABCD为正方形，点E为对角线BD的中点，∴△BEC为等腰直角三角形，BE＝DE，∴DE＝CE，∠BEC＝90°，∵△DCE′由△BCE绕点C顺时针旋转90°得到，∴CE＝CE′，BE＝DE′，∴CE＝CE′＝DE＝DE′，∴四边形DECE′为菱形，∵∠BEC＝90°，∴∠CED＝90°，∴四边形DECE′为正方形．
图①

图②
第23题解图
【问题解决】
(2)①OM＝ eq \r(2) FE′，且直线OM和直线FE′的夹角(锐角)为45°；(5分)
理由如下：
如解图②，连接AM和CM，延长MO和E′F的延长线交于点G，E′F的延长线交MC于点H.
∵△DCE′由△BCE绕点C顺时针旋转90°得到，∠BEC＝90°，
∴∠ECE′＝90°，∠MEC＝∠ME′C＝90°，
∴四边形ECE′M为矩形，
又∵CE＝CE′，
∴矩形ECE′M为正方形，
∵CM为正方形ECE′M的对角线，
∴∠ECM＝∠E′CM＝45°，
∵∠ACM＋∠DCM＝45°，∠DCE′＋∠DCM＝45°，
∴∠ACM＝∠DCE′＝45°－∠DCM，
又∵在正方形ABCD中，AC＝ eq \r(AD2＋CD2) ＝ eq \r(2) CD，
在正方形ECE′M中，CM＝ eq \r(2) CE′，
∴ eq \f(CM,CE′) ＝ eq \f(AC,CD) ＝ eq \r(2) ，
∵∠ACM＝∠DCE′，
∴△AMC∽△DE′C，
∴∠AMC＝∠DE′C＝90°，
∴△AMC为直角三角形，
又∵点O是AC的中点，
∴OM＝ eq \f(1,2) AC，同理E′F＝ eq \f(1,2) CD，
∵AC＝ eq \r(2) CD，
∴OM＝ eq \r(2) E′F，(7分)
在Rt△ACM中，点O为AC的中点，
∴OM＝OC，
同理FE′＝CF，
∴∠OCM＝∠OMC，∠FCE′＝∠FE′C，
∵∠OCM＝∠FCE′，
∴∠OMC＝∠FE′C，
又∵∠MHG＝∠E′HC
∴△MHG∽△E′HC，
∴∠MGH＝∠E′CH＝45°，
∴直线OM与直线E′F的夹角(锐角)为45°；(8分)
【难点点拨】第(2)①问的难点在于将线段OM与E′F放在合适的特殊图形中进行线段转化，连接AM，CM后，根据正方形的边与对角线的数量关系证得△ACM∽△DCE′，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半求出线段关系．角度关系要将OM与E′F的夹角放在△MGH中，依据两角对应相等，得出△MHG∽△E′HC，求解角度．
②4或3.(10分)
【解法提示】①如解图③，当点M在AD上方时，∵DM＝1，设DE′＝x，∴CE′＝ME′＝x＋1，∵△CDE′为直角三角形，CD＝5，∴CD2＝DE′2＋CE′2，即52＝x2＋(x＋1)2，解得x＝3(负值已舍去)，∴BE＝DE′＝3；②如解图④，当点M在AD下方时，DM＝1，设ME′＝CE′＝x，则DE′＝x＋1，又∵△CDE′为直角三角形，CD＝AB＝5，∴CD2＝DE′2＋CE′2，即52＝(x＋1)2＋x2，解得x＝3(负值已舍去)，∴BE＝DE′＝3＋1＝4，∴BE的长为3或4.
第23题解图
【难点点拨】第(2)②问的关键点在于DM＝1，但是点M的位置不确定，需要将点M分为在AD的上方和AD的下方进行分类讨论，再根据四边形CEME′为正方形，△CE′D为直角三角形求解．
命题立意
本题以“阅读经典——动手操作——问题探究——问题解决”为线索，考查学生探究证明的能力．【阅读经典】【动手操作】通过“赵爽弦图”吸引学生的阅读兴趣，引出正方形的图形背景并进行计算；【问题探究】在“赵爽弦图”的背景上提出了以正方形一边为斜边的直角三角形的旋转问题，【问题解决】在【问题探究】的基础上结合中点问题，考查学生综合运用正方形、矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理等知识解决问题的能力，引导学生在发现问题和解决问题的过程中能用数学方法解决问题，同时，检测学生在进行项目学习或探究性学习的过程中综合运用数学知识分析问题，解决问题的核心素养，提高应用意识和创新意识．组别
A(x＜8.5)
B(8.5≤x＜9)
C(9≤x＜9.5)
D(9.5≤x＜10)
E(x≥10)
人数
5
8
16
m
6
新鲜羊肚菌(千克)
干羊肚菌(千克)
总价值(元)
第一次收购
1000
300
152000
第二次收购
800
500
184000
一、选择题(每小题3分，共30分)
1～5 CBCAD 6～10 BCADD
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. －2 12. y＝x＋1(答案不唯一) 13. eq \f(1,6) 14. eq \f(2,3) π 15. 2或3－ eq \r(3)
三、解答题 16～23题请看“详解详析”
A
a
B
b
A
—
(a，A)
(B，A)
(b，A)
a
(A，a)
—
(B，a)
(b，a)
B
(A，B)
(a，B)
—
(b，B)
b
(A，b)
(a，b)
(B，b)
—