湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人
时量：120分钟满分：150分
得分：_______
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）
1．已知点，则点A关于x轴的对称点的坐标为
A．B．
C．D．
2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大
B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小
C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等
D．与第几次抽样无关，与样本量也无关
3．已知x，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知一组数据，，，，的平均数为3，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、方差分别为
A．3，B．3，1C．7，D．7，
5．已知向量，，．若，则λ=
A．B．C．-2D．2
6．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当平面EBF时，
A．B．C．D．
7．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号．现已知，，，则的最大值为
A．18B．9C．D．
8．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为
A．B．C．D．
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分．）
9．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情．某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，从1000名参赛师生中随机选取100人的竞赛成绩作为样本（满分100分成绩取整数）得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是
A．a的值为0.05
B．估计这100人竞赛成绩的众数为75
C．1000名参赛师生中成绩低于60分的约有25人
D．以频率估计概率．从1000名参赛师生中随机抽取1人，该选手成不低于90分的概率为0.05
10．在中，角A、B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法正确的是
A．若，则
B．若，，，则为钝角三角形
C．若，，，则符合条件的三角形不存在
D．若，则一定是等腰三角形
11．如图，在平行六面体中，，，若，其中m，n，则下列结论正确的有
A．若点Q在平面内，则
B．若，则
C．当时，三棱锥的体积为
D．当时，CQ长度的最小值为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．）
12．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品抽取了3件，则n=______．
13．角，满足，则=______．
14．如图，边长为4的正方形ABCD中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A，C，D），P是圆Q上及其内部的动点，设，则的取值范围是______．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题13分）
已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，．
（1）求A；
（2）若，求的值．
16．（本小题15分）
在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，直线PA与BC所成的角的正切值等于2，，M，N分别是PB，PC的中点．
（1）判断直线AM和DN的位置关系并说明理由；
（2）证明：平面PAD/平面ABCD；
（3）求平面MPD与平面APD夹角的余弦值．
17．（本小题15分）
某校举办“创新杯”围棋比赛活动，经过激烈的角逐后，甲、乙两名选手进入到最后的决赛，决赛采用五局三胜的赛制，决出最后的冠军．通过分析，若甲先下，则甲赢的概率为，若乙先下，则乙赢的概率为，每局没有和棋，不同局的结果互不影响．已知第一局甲先下，甲、乙两人依次轮流先下．
（1）求比赛四局乙赢的概率；
（2）已知前两局甲、乙各赢一局，求比赛五局结束的概率．
18．（本小题17分）
如图，已知正方体的棱长为2，点M，N分别在线段AB，BF上．
（1）当时，求异面直线EM与GN所成角的取值范围；
（2）已知线段HN的中点为点K，当时，求三棱锥MNK的体积的最小值．
19．（本小题17分）
已知函数，若存在实数m，，使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对．
（1）若，求函数的“平衡”数对；
（2）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（3）若，，且，均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．
湖南师大附中2023—2024学年度高一第二学期期末考试
数学参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）
1．B【解析】空间点关于x轴对称，横坐标不变，另外两个坐标相反，所以点A关于x轴的对称点为．故选B．
2．C【解析】在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性均相同，与第几次抽样无关，但和要抽取的样本量有关，样本量越大，被抽到的概率越大．故选C．
3．A【解析】略
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．13
13．-1
14．
四、解答题（本大题共5个小题．共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．【解析】（1）由已知条件得．
由余弦定理可得，
因为，所以．
（2）若，则结合正弦定理得．
所以，从而，得或．
而，故．
所以
．
16．【解析】（1）直线AM与DN相交．
由M，N分别是PB，PC的中点，故，，又，
所以四边形AMND为梯形，且AM与DN是梯形的两条腰，故直线AM与DN相交．
（2）取AD的中点为O，连接PO，BO，因为，所以，
因为，所以∠PAD就是直线PA与BC所成的角，所以，
又底面ABCD是边长为2的正方形，所以，，，
由得，
又，则有，所以，
又AD，平面ABCD，，所以平面ABCD，
而平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD．
（3）因为M是PB的中点，所以平面MPD即为平面BPD，
在正方形ABCD中，取BC的中点Q，连接OQ，则，
又由（2）知平面ABCD，故以O为原点，OQ，OA，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面BPD的一个法向量为，
则
取，则，，故，
平面APD的一个法向量为，
．
所以平面MPD与平面APD夹角的余弦值为．
17．【解析】（1）设“乙先下乙赢”为事件A．“甲先下乙赢”为事件B．
由题知，，，
设比赛四局乙赢为事件C，
则
所以比赛四局乙赢的概率为．
（2）已知前两局甲、乙各赢一场，且比赛五局结束比赛，
则第三局和第四局甲、乙各赢一场，第五局甲、乙都有可能赢，
设“前两局甲、乙各赢一场，比赛五局结束”为事件D，
则，
所以前两局甲、乙各赢一场，比赛五局结束的概率为．
18．【解析】（1）由题意，正方体的三条棱长DA，DC，DH两两互相垂直，故以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，由题意不妨设，，
所以，，，，
所以，，
设异面直线EM与GN所成角为，，
所以，（4分）
令，，
当时，；
当时，，，
综上，，则，
所以异面直线EM与GN所成角的取值范围为．（9分）
（2）如图所示，由题意，线段HN的中点是K，，不妨设，，，
所以，，，，
取平面EMN的一个法向量为，
所以点K到平面EMN的距离为，（亦可直接说明）
而
，
所以三棱锥的体积为，，
所以当且仅当时，三棱锥的体积取最小值．
19．【解析】（1）根据题意可知，对于任意实数x，成立，
即，即对于任意实数x恒成立，
则，，故函数的“平衡”数对为．
（2）若，则，
，
要使得为“可平衡”函数，需使对于任意实数x均成立，
则，此时，，故k存在，
所以是“可平衡”函数．
（3）假设存在实数m，k（），有序数对为函数的“平衡”数对，则，
∴，
∴，
∴，
∴，均为函数的“平衡”数对，
∴，
，
∵，∴，∴，
∴，
，
∴，设，函数单调递增，
∴，即，
∴的取值范围为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
D
C
D
D
A
BD
AC
ABD