福建省福州市仓山区（金山中学、外国语等多校联考）2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份福建省福州市仓山区（金山中学、外国语等多校联考）2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列是一次函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝x2+5C．D．y+1
2．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝2B．（x+1）2＝2C．（x﹣1）2＝1D．（x+1）2＝1
3．（4分）如图，D，E分别是AC，BC的中点，测得DE＝15m，则池塘两端A，B的距离为（ ）
A．45mB．30mC．22.5mD．7.5m
4．（4分）一鞋店试销一款女鞋，销量情况如表：这个鞋店的经理最关心哪种型号的鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
5．（4分）如果x＝2是一元二次方程x2+bx+2＝0的一个根，则b的值是（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
6．（4分）某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量AC＝2dm，BD＝3dm，则这个风筝的面积是（ ）
A．6dm2B．3dm2C．D．
7．（4分）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
8．（4分）截止2023年底，我国新能源汽车销量连续9年位居世界第一．随着消费人群的不断增多，某品牌新能源汽车的销售量逐年递增，销售量从2021年的58万辆到2023年的302万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A．58（1+2x）＝302
B．58（1+x）2＝302
C．58+58（1+x）＝302
D．58[1+（1+x）+（1+x）2]＝302
9．（4分）平面直角坐标系xOy中，，，则坐标原点O关于直线AB对称的点O的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为y＝kx+b（k≠0）．在我的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，m＝（x2﹣x1）（y2﹣y1），当k＞0时，m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m≥0C．m＝0D．m＜0
二、填空题（每题4分，共6题24分）
11．（4分）在▱ABCD中，若AB＝4，BC＝3，则它的周长等于 ．
12．（4分）函数y＝2x的图象向上平移1个单位长度，得到解析式是 ．
13．（4分）某校组织数学学科竞赛为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有四位同学成为晋级的候选人，具体情况如表，如果从这四位同学中选出一名晋级（总体水平高且状态稳定）你会推荐 ．
14．（4分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根是x1＝，x2＝，则x1+x2的结果是 ．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝AO，对角线AC与BD相交于点O，以点A为圆心，以AO的长为半径作弧，交AD于点E，连接OE，则∠DOE＝ °．
16．（4分）在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断：
①若∠C＝120°，则；
②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC；
③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形；
④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上．
其中正确的序号为 .（写出所有正确的序号）
三、解答题（共9题86分）
17．（8分）解一元二次方程：x2﹣6x+2＝0．
18．（8分）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．
19．（8分）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为3时，输出的y值为 ；
（2）求当x＜1时解析式．
20．（8分）为激发广大青少年了解航天知识的热情，某校组织了航天知识的相关讲座和课程，从初中三个年级随机抽取了30名学生，进行了航天知识竞赛，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．部分信息如下：
【收集数据】
测试成绩在70≤x＜80这一组的是：71，72，74，74，75，75，76，79；
【整理数据】
30名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
【分析数据】所抽取的30名学生中，各年级被抽取学生测试成绩的平均数如表：
根据以上信息回答下列问题：
（1）抽取的30名学生测试成绩的中位数为 ；
（2）测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级618名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数；
（3）求被抽取30名学生的平均测试成绩．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣2x+k﹣1＝0．
（1）若这个方程没有实数根，求k的取值范围．
（2）方程的两个根分别为m，n，若m2+n2＝9，求k的值．
22．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）求作：Rt△ABC斜边AB边上的中线CD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：CD＝AB．
23．（10分）随着信息化技术水平的进步，为进一步促进教育现代化与教育强国．《中国教育现代化2035》进一步明确加快信息化时代教育变革，“着力构建基于信息技术的新型教育教学模式、教育服务供给方式以及教育治理新模式．”为积极推广混合式教学、翻转课堂，大力推进智慧教室建设，构建线上线下相结合的教学模式．某教育科技公司销售A，B两种多媒体教学设备，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示：
该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备共20套，设购进A种多媒体设备x套，销售A，B两种多媒体教学设备利润共y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进A种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
24．（12分）设直线y＝kx+3（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点．设直线x＝3交x轴于点D，过点B作AB垂线交直线x＝3于点P．
（1）如图1，当时，求点P的坐标 ；
（2）当k＜0时，记点A（a，0），点Q是y轴负半轴上一点，且OQ＝OA，连接PQ．试探究直线PQ是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
（3）动点M在直线x＝3上，从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连MB．在运动过程中，直线MB交x轴于点N，求出与的数量关系．
25．（14分）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E是射线AD上的动点，当点E动到∠CBD的角平分线上时，连接BE，交AC于点G，交CD于点H，点F在是线段BE的中点，连接DF，CF．
（1）证明：DF⊥BE；
（2）点Q是线段EF上一点，连接AQ，DQ，QC，当∠BQD＝∠CBE+∠BFC时，证明：∠BQD＝∠EDF；
（3）在（2）的基础上，是否在射线BC上存在一点P，使得四边形DHPQ为菱形？请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单选题（每题4分，共10题40分）
1．（4分）下列是一次函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝x2+5C．D．y+1
【解答】解：A．y＝2x是一次函数，故本选项符合题意；
B．y＝x2+5是二次函数，故本选项不符合题意；
C．y＝是反比例函数，故本选项不符合题意；
D．y+1是代数式，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝2B．（x+1）2＝2C．（x﹣1）2＝1D．（x+1）2＝1
【解答】解：x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2．
故选：A．
3．（4分）如图，D，E分别是AC，BC的中点，测得DE＝15m，则池塘两端A，B的距离为（ ）
A．45mB．30mC．22.5mD．7.5m
【解答】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×15＝30（m），
故选：B．
4．（4分）一鞋店试销一款女鞋，销量情况如表：这个鞋店的经理最关心哪种型号的鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【解答】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选：B．
5．（4分）如果x＝2是一元二次方程x2+bx+2＝0的一个根，则b的值是（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【解答】解：把x＝2是一元二次方程x2+bx+2＝0得：
4+2b+2＝0，
解得：b＝﹣3，
故选：D．
6．（4分）某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量AC＝2dm，BD＝3dm，则这个风筝的面积是（ ）
A．6dm2B．3dm2C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝2dm，BD＝3dm，
∴菱形ABCD的面积＝，
故选：B．
7．（4分）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数图象在x轴上方或x轴上时，自变量的取值范围为x≤2，
∴不等式ax+b≥0的解集是x≤2，
故选：D．
8．（4分）截止2023年底，我国新能源汽车销量连续9年位居世界第一．随着消费人群的不断增多，某品牌新能源汽车的销售量逐年递增，销售量从2021年的58万辆到2023年的302万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A．58（1+2x）＝302
B．58（1+x）2＝302
C．58+58（1+x）＝302
D．58[1+（1+x）+（1+x）2]＝302
【解答】解：根据题意得：58（1+x）2＝302．
故选：B．
9．（4分）平面直角坐标系xOy中，，，则坐标原点O关于直线AB对称的点O的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（，0），，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，
∵坐标原点O关于直线AB对称的点为O′，
∴直线OO′的解析式为y＝x，
∴，
解得，
∴直线AB与直线OO′的交点坐标为（，），
设点O′（a，b），则＝，＝，
∴a＝，b＝，
∴O′（，）．
故选：D．
10．（4分）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为y＝kx+b（k≠0）．在我的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，m＝（x2﹣x1）（y2﹣y1），当k＞0时，m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m≥0C．m＝0D．m＜0
【解答】解：将A，B两点坐标分别代入一次函数解析式得，
y1＝kx1+b，y2＝kx2+b，
两式相减得，
y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
所以，
因为k＞0，
所以，
则（y1﹣y2）（x1﹣x2）＞0，
所以（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0，
则m＞0．
故选：A．
二、填空题（每题4分，共6题24分）
11．（4分）在▱ABCD中，若AB＝4，BC＝3，则它的周长等于 14 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，BC＝3，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，
∴四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+3）＝14，
故答案为：14．
12．（4分）函数y＝2x的图象向上平移1个单位长度，得到解析式是 y＝2x+1 ．
【解答】解：函数y＝2x的图象向上平移1个单位长度，得到解析式是y＝2x+1．
故答案为：y＝2x+1．
13．（4分）某校组织数学学科竞赛为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有四位同学成为晋级的候选人，具体情况如表，如果从这四位同学中选出一名晋级（总体水平高且状态稳定）你会推荐 丙 ．
【解答】解：由表知乙、丙成绩的平均数最高，而丙的方差比乙小，
∴丙总体水平高且状态稳定，
∴如果从这四位同学中选出一名晋级（总体水平高且状态稳定）会推荐丙，
故答案为：丙．
14．（4分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根是x1＝，x2＝，则x1+x2的结果是 ．
【解答】解：∵x1＝，x2＝，
∴x1+x2＝+＝﹣．
故答案为﹣．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝AO，对角线AC与BD相交于点O，以点A为圆心，以AO的长为半径作弧，交AD于点E，连接OE，则∠DOE＝ 45 °．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝AC，OB＝BD，
∴OA＝OB，
∵AB＝AO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO＝30°，
∴∠AOD＝120°，
∵AE＝OA，
∴∠AOE＝∠AEO＝75°，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝120°﹣75°＝45°，
故答案为：45．
16．（4分）在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断：
①若∠C＝120°，则；
②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC；
③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形；
④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上．
其中正确的序号为 ②③④ .（写出所有正确的序号）
【解答】解：①过点C作CE⊥AB于E，如图1所示：
∵∠A＝∠D＝90°，
∴四边形AECD为矩形，
∴AD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠DCB＝120°，
∴∠BCE＝∠DCB﹣∠DCE＝30°，
∴BE＝BC，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝BC，
∴AD＝BC，
故①不正确；
②∵∠DAB＝∠CDA＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵AC垂直平分DB，
∴AD＝AB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠CDB＝∠ABD＝45°，
∵CD＝BC，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
又∵CD＝BC，
∴矩形ABCD为正方形，
∴AD＝BC，
故②正确；
③∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∴BC⊥AB，
∴四边形ABCD为矩形，
又∵CD＝BC，
∴矩形ABCD为正方形，
故③正确；
④连接BD，过点A作AH⊥BD，AH的延长线交BC的延长线于F，如图2所示：
则∠AHB＝∠FHB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵CD＝BC，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△AHB和△FHB中，
，
∴△AHB≌△FHB（ASA）
∴AH＝FH，
∴点A与点F关于直线BD对称，
∴点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上，
故④正确，
综上所述：正确的是②③④．
三、解答题（共9题86分）
17．（8分）解一元二次方程：x2﹣6x+2＝0．
【解答】解：x2﹣6x+2＝0，
x2﹣6x+9＝﹣2+9，
（x﹣3）2＝7，
x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
18．（8分）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，∠B＝∠D，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AE＝CF，
在△EBC与△FDA中，
，
∴△EBC≌△FDA（SAS），
∴CE＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
19．（8分）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为3时，输出的y值为 6 ；
（2）求当x＜1时解析式．
【解答】解：（1）由示意图知当x≥1时，y＝2x，
令x＝3，则y＝2×3＝6，
故答案为：6；
（2）由示意图知当x＜1时，y＝kx+b，
将（0，3）和（﹣2，5）代入得，
，
解得，
所以当x＜1时解析式为y＝﹣x+3．
20．（8分）为激发广大青少年了解航天知识的热情，某校组织了航天知识的相关讲座和课程，从初中三个年级随机抽取了30名学生，进行了航天知识竞赛，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．部分信息如下：
【收集数据】
测试成绩在70≤x＜80这一组的是：71，72，74，74，75，75，76，79；
【整理数据】
30名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
【分析数据】所抽取的30名学生中，各年级被抽取学生测试成绩的平均数如表：
根据以上信息回答下列问题：
（1）抽取的30名学生测试成绩的中位数为 74 ；
（2）测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级618名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数；
（3）求被抽取30名学生的平均测试成绩．
【解答】解：（1）抽取的30名学生测试成绩的中位数为：＝74，
故答案为：74；
（2）×618＝206，
答：估计优秀的学生大约为206人；
（3）＝73（分），
答：被抽取30名学生的平均测试成绩为73分．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣2x+k﹣1＝0．
（1）若这个方程没有实数根，求k的取值范围．
（2）方程的两个根分别为m，n，若m2+n2＝9，求k的值．
【解答】解：（1）∵方程没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣8（k﹣1）＜0，
∴k＞；
（2）∵方程的两个根分别为m，n，
∴mn＝，m+n＝1，
∵m2+n2＝9，
∴（m+n）2﹣2mn＝9，
∴1﹣（k﹣1）＝9，
∴k＝﹣7．
22．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）求作：Rt△ABC斜边AB边上的中线CD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：CD＝AB．
【解答】（1）解：如图，CD为所作；
（2）证明：延长CD到E点使DE＝CD，
∵CD为AB边上的中线，
∴AD＝BD，
∵CD＝ED，AD＝BD，
∴四边形ACBE为平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE为矩形，
∴AB＝CE，
∴CD＝AB．
23．（10分）随着信息化技术水平的进步，为进一步促进教育现代化与教育强国．《中国教育现代化2035》进一步明确加快信息化时代教育变革，“着力构建基于信息技术的新型教育教学模式、教育服务供给方式以及教育治理新模式．”为积极推广混合式教学、翻转课堂，大力推进智慧教室建设，构建线上线下相结合的教学模式．某教育科技公司销售A，B两种多媒体教学设备，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示：
该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备共20套，设购进A种多媒体设备x套，销售A，B两种多媒体教学设备利润共y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进A种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
【解答】解：（1）由题意得，购进B种多媒体设备（20﹣x）套，
y＝（4﹣3）x+（4.7﹣3.2）（20﹣x）＝﹣0.5x+30；
（2）∵公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，
∴20﹣x≤4x，
解得：x≥5，
∵购进A，B两种多媒体设备共20套，
∴x＜20，
∴5≤x＜20，且x为整数，
∴x＝5时，y取最大值为27.5，
答：购进A种多媒体设备5套时，能获得最大利润，最大利润是27.5万元．
24．（12分）设直线y＝kx+3（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点．设直线x＝3交x轴于点D，过点B作AB垂线交直线x＝3于点P．
（1）如图1，当时，求点P的坐标 （3，5） ；
（2）当k＜0时，记点A（a，0），点Q是y轴负半轴上一点，且OQ＝OA，连接PQ．试探究直线PQ是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
（3）动点M在直线x＝3上，从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连MB．在运动过程中，直线MB交x轴于点N，求出与的数量关系．
【解答】解：（1）当时，y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
当y＝0时，0＝﹣x+3，
解得：x＝2，
∴A（2，0），
∴OA＝2，
在y轴正半轴上取点E（0，5），过点E作EF⊥y轴，使EF＝OB＝3，且点F在第一象限，如图1，
∴F（3，5），
设直线BF的解析式为y＝mx+n，把F（3，5），B（0，3）代入，得：，
解得：，
∴直线BF的解析式为y＝x+3，
当x＝3时，y＝×3+3＝5，
∴P（3，5），
故答案为：（3，5）；
（2）直线PQ经过定点（，）．理由如下：
∵直线y＝kx+3与x轴交于点A（a，0），
∴ka+3＝0，
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
过点P作PK⊥y轴于K，如图2，
∵BP⊥AB，
∴∠PBK+∠ABO＝90°，
∵∠PKB＝∠AOB＝90°，
∴∠PBK+∠BPK＝90°，
∴∠BPK＝∠ABO，
由题意知点P的横坐标为3，
∴PK＝3，
∴PK＝OB，
∴△BPK≌△ABO（ASA），
∴BK＝OA＝a，
∴OK＝3+a，
∴P（3，3+a），
∵点Q是y轴负半轴上一点，且OQ＝OA，
∴Q（0，﹣a），
设直线PQ的解析式为y＝ex+f，把P（3，3+a），Q（0，﹣a）代入，
得：，
解得：，
∴直线PQ的解析式为y＝x﹣a，
∵x＝时，y＝×﹣a＝，
∴直线PQ经过定点（，）．
（3）如图，OB＝OD＝3，设点M的运动时间为t秒，则M（3，t），
设直线BM的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝t，
∴k＝，
∴y＝x+3，
当y＝0时，x+3＝0，
解得：x＝，
∴N（，0），
当t＜3时，点N在点D的右侧，如图，
∴ON＝，
∴DN＝ON﹣OD＝﹣3＝，
∴＝＝﹣，
又∵DM＝t，
∴＝，
∴＝﹣，
即﹣＝；
当t＞3时，点N在点D的左侧，如图，
则DN＝3﹣＝，
∴＝＝﹣，
∵＝，
∴+＝；
综上所述，当t＜3时，﹣＝；当t＞3时，+＝．
25．（14分）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E是射线AD上的动点，当点E动到∠CBD的角平分线上时，连接BE，交AC于点G，交CD于点H，点F在是线段BE的中点，连接DF，CF．
（1）证明：DF⊥BE；
（2）点Q是线段EF上一点，连接AQ，DQ，QC，当∠BQD＝∠CBE+∠BFC时，证明：∠BQD＝∠EDF；
（3）在（2）的基础上，是否在射线BC上存在一点P，使得四边形DHPQ为菱形？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE＝∠DEB，
∵点E在∠CBD的平分线上，
∴∠CBE＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴BD＝DE，
∵F是BE的中点，
∴DF⊥BE；
（2）证明：如图1，
延长BC，交DF的延长线于点P，
∵∠DBF＝∠PBF，∠BFD＝∠BFP＝90°，
∴∠P＝∠BDF，
∴BD＝BP，
∴DF＝FP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCP＝∠BCD＝90°，
∴CF＝FP＝DF＝DP，
∴∠P＝∠FCP＝∠CBE+∠BFC，
∴∠BDF＝∠CBE+∠BFC，
由（1）得，
BD＝DE，F是BE的中点，
∴∠EDF＝∠BDF＝∠CBE+∠BFC，
∵∠BQD＝∠CBE+∠BFC，
∴∠BQD＝∠EDF；
（3）解：如图1，
当P在DF和射线BC的交点时，四边形DHPQ是菱形，理由如下：
设∠DBE＝∠DEB＝∠PBF＝α，
由（2）知，
∠P＝∠BQD，BF是DP的垂直平分线，
∴DH＝PH，DQ＝PQ，
∵∠DFQ＝∠DFP，
∴∠FDQ＝∠PBF＝α，
∵∠CDE＝∠ADC＝90°，
∴∠CDF+∠EDF＝90°，
∵∠DFE＝90°，
∴∠DEB+∠EDF＝90°，
∴∠CDF＝∠DEB＝α，
∴∠CDF＝∠FDQ，
∴∠DHF＝∠DQF，
∴DH＝DQ，
∴DH＝DQ＝PQ＝HP，
∴四边形DHPQ是菱形．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/10 5:42:57；用户：19944531502；邮箱：19944531502；学号：54883509型号
22.5
23
23.5
24
24.5
数量/双
5
10
15
8
3
甲
乙
丙
平均分
92
94
94
方差
35
35
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输入x
…
﹣6
﹣4
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0
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输出y
…
9
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3
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年级
七
八
九
人数
8
12
10
平均数
69.5
72.0
77.0
进价（万元/套）
售价（万元/套）
A
3
4
B
3.2
4.7
型号
22.5
23
23.5
24
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数量/双
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进价（万元/套）
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