河南省商丘市商师联盟2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题

这是一份河南省商丘市商师联盟2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题，共11页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，下列四个命题中是假命题的为，已知，且，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．设随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．五人站成一排拍照，其中甲、乙必须相邻且两人均不能站两端，则不同的站法有（ ）
A．48种B．36种C．24种D．12种
5．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8T若浇水，盆栽枯酱的概率为0.2．若邻居浇水的概率为，该人回来时盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数的值为（ ）
A．0.9B．0.85
C．0.8D．0.75
8．函数若关于的方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列四个命题中是假命题的为（ ）
A．
B．集合与集合是同一个集合
C．“为空集”是“与至少有一个为空集”的充要条件
D．已知，则是的充分不必要条件
10．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．设随机变量，函数没有零点的概率是，则下列说法正确的是（ ）
附：若，则．
A．随机变量的数学期望是1B．随机变量的方差是2
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中项的系数为______．
13．已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是______．
14．一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一
次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第次向左跳动的概率为，则____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
（1）已知，求的最小值；
（2）求函数的定义域．
16．（本小题满分15分）
电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人．
（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？
（2）在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
17．（本小题满分15分）
脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换．近日埃隆．马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑．未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中．
（1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
（2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）
附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的
斜率和截距的最小二乘估计分别为
18．（本小题满分17分）
已知函数为偶函数．
（1）求的值；
（2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分17分）
对于定义在上的函数和，若对任意给定的，不等式都成立，则称函数是函数的“从属函数”．
（1）若函数是函数的“从属函数”，且是偶函数，求证：是偶函数；
（2）设，求证：当时，函数是函数的“从属函数”；
（3）若定义在上的函数和的图象均为一条连续曲线，且函数是函数的“从属函数”，求证：“函数在上是严格增函数或严格减函数”是“函数在上是严格增函数或严格减函数”的必要不充分条件．
2023～2024学年度高二下学期期末联考试卷・数学
参考答案、提示及评分细则
1．B，所以．故选B．
2．C命题“”中含有全称量词，故该命题的否定需要将全称量词改为存在量词，且只否定结论，不否定条件，所以该命题的否定为“”．故选C．
3．D由题意知，，解得，所以．故选D．
4．C由题意，首先将甲、乙两人捆绑，有种方法，其次将捆绑后的甲、乙安排在中间2个位置，有种方法，最后将剩余3人全排列，有种方法，所以不同的站法有种．故选C．
5．B的解集为，即恒成立，当时，即，不符合题意；当时，则解得．综上所述，实数的取值范围是．故选B．
6．A选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为，选项A中，由图象得，从而，选项A可能；选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能；选项C、D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，．不可能；选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能．故选A．
7．A记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得，由对立事件的概率公式可得，由全概率公式可得
，解得．故选A．
8．B作出的图象如下图：
可化为，解得或，由图可知无解，故问题等价于有两个不相等实数根，由图象可得．故选B．
9．BCD对于A，当时，，故，A为真命题；对于B，集合与集合不是同一个集合，B为假命题；对于C，不妨设，此时“为空集”，但不满足“与至少有一个为空集”，故充分性不成立，C为假命题；对于D，，解得或2，不妨设，满足，但不能推出，则不是的充分条件，D为假命题．故选BCD．
10．BCD对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，A错误；对于，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，则，B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，C正确；对于D，
，故，当且仅当时，等号成立，D正确．故选BCD．
11．ACD当函数没有零点时，，得，又因为没有零点的概率是，所以，由正态曲线的对称性知，所以，即，故A正确，B错误；又，所以，故C正确；又，所以，所以，故D正确．故选ACD．
12．15的二项展开式的通项，令，得，所以的展开式的项的系数为．
13．因为为偶函数，所以函数的图象关于对称，又在上单调递增，，所以，解得．
14．由题意，得，
由，设，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以
15．解：（1）因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8．
（2）对于函数，则即
解得或，所以函数的定义域为．
16．解：（1）列联表如下：
零假设为：是否观看《庆余年2》与性别无关联，
由列联表中的数据，得，
依据小概率值的独立性检验，可以推断成立，因此可以认为是否观看《庆余年2》与性别无关联．
（2）按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，则男性居民抽取4人，女性居民抽取人，的可能取值为，
．
所以的分布列为
17．解：（1）选择模型②．
（2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有．
则
所以
则关于的经验回归方程为．
所以关于的经验回归方程为．
由题意，，解得，又为整数，所以．
所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人．
18．解：（1）由题意知函数的定义域为，
因为为偶函数，所以对任意的恒成立，
即，
即，
即对任意的恒成立，
所以，解得．
（2）由（1）知，，则，
令，则，其对称轴为，
①当，即时，在上单调递减，所以，
由，解得，不满足，
此时不存在符合题意的值．
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，解得，或，又，
所以．
③当，即时，在上单调递增，所以，
由，解得，不满足，
此时不存在符合题意的值．
综上所述，存在，使得函数在区间上的最小值为．
19．证明：（1）因为是上的偶函数，故对任意的都有，
又是的“从属函数”，
所以恒成立，即对任意的成立，
故是偶函数．
（2）不妨设，当时，在上是严格增函数，有
而，
所以，
因此，当时，函数是函数的“从属函数”．
（3）举反例证明不具备充分性．
令，显然在上是严格增函数，
因为，
所以函数是函数的“从属函数”，但在上不是单调函数．
因此是严格增函数或严格减函数不是是严格增函数或严格减函数的充分条件．
必要性证明，即证：函数是函数的“从属函数”，若函数在上为严格增函数或严格减函数，则函数在上是严格增函数或严格减函数．
任取，且，有，即对任意，且，有．
下面证明：对任意的实数，有或成立．
若存在，使得且①，
其中不妨设②，
当①或②式中有等号成立时，则与（其中）矛盾！
当①②两式中等号均不成立时，考虑，
因为，
由连续函数的零点存在定理知，必存在使得，即，
也与（其中）矛盾！
同理可证且也不可能．男性居民
女性居民
总计
看过《庆余年2》
没看过《庆余年2》
50
总计
1000
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
7.5
2.25
82.50
4.50
12.14
2.88
男性居民
女性居民
总计
看过《庆余年2》
400
500
900
没看过《庆余年2》
50
50
100
总计
450
550
1000
0
1
2
3