北京市朝阳区2023~2024学年度第二学期高一期末质量检测数学试卷及参考答案

这是一份北京市朝阳区2023~2024学年度第二学期高一期末质量检测数学试卷及参考答案，文件包含朝阳区高一数学期末质量检测试卷20247docx、朝阳区高一数学期末质量检测参考答案20247docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
（1）D（2）B（3）C（4）B （5）C
（6）B（7）A（8）A（9）D （10）C
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（11）（12） （13）
（14）（答案不唯一） （15） （16）①③④
三、解答题（共5小题，共70分）
（17）（本小题14分）
解：（Ⅰ）设，连接．
因为在长方体中，为的中点，
又因为为的中点，所以．
又平面，平面，
所以平面．……………… 5分
（Ⅱ） 因为平面，所以．
因为在长方体中，，
所以底面为正方形．所以．
又因为，
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面． ……………… 10分
（Ⅲ）在中，过作，垂足为．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
因为，所以．
因为，为的中点，所以．
在中，．
所以．故点到平面的距离为． ………… 14分
（18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）由题意知，这名学生中有名学生经常使用生成式人工智能工具，
故所求概率的估计值为． …………… 4分
（Ⅱ）设“第名学生经常使用生成式人工智能工具”为事件，
“从该校全体学生中随机选取两名学生，至少有一名学生经常使用生成式人工
智能工具”为事件．
则．
由题意知，与估计为，与估计为．
因此所求概率估计为． ……………… 11分
（Ⅲ） ． ……………… 14分
（19）（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为．所以．所以．
所以．
因为，所以． ……………… 7分
（Ⅱ）因为 QUOTE ∆ABC的面积是，由（Ⅰ）知，
所以．所以．
由（Ⅰ）知（当且仅当时，取等号）
所以的最小值为． ……………… 13分
（20）（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为在中，，，，所以．
图1
因为，分别为，的中点，
所以．所以．
所以，．
又因为，
所以平面．
又因为平面，
所以． ……………… 5分
图2
（Ⅱ）选条件①：．
（ⅰ）因为，
又因为平面，平面，
所以平面．
又因为平面，
平面平面，
所以．
又因为，所以．
因为，所以．即为的中点． ……………… 10分
（ⅱ）因为，由（ⅰ）得，所以．
由（Ⅰ）得，
又因为，
所以平面． ……………… 14分
（Ⅱ）选条件③：．
又因为，所以．
以下同选条件①．
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）数表不是“阶数表”，数表是“阶数表”．理由如下：
在数表中，，
因此数表不是“阶数表”．
在数表中，，因此数表是“阶数表”．… 4分
（Ⅱ）假设存在满足题设的“阶数表”，
由题意有．
又由，，
得．
而
．
所以，即，
这与矛盾．
所以满足题设的“阶数表”不存在． ……………… 9分
（Ⅲ）对任意的“阶数表”,存在，满足，使得．
理由如下：
记．
显然交换数表中任意两行或两列的位置或行列互换，不变．
不妨设，
因为，所以，
则.
（ⅰ）若，则不妨设，同理.
则存在，，满足，使得．
（ⅱ）若，则设自然数对任意有．
显然．所以．
因此．
不妨设．
注意到
，
即．
因此．
从而．
故存在，， 满足，使得． ……………… 15分