人教A版普通高中数学一轮复习第一章第二节常用逻辑用语学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第一章第二节常用逻辑用语学案，共14页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
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知识点一 充分条件、必要条件与充要条件
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)若p：x＞1，q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．( √ )
(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )
(3)若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．( √ )
2．(教材改编题)设x＞0，y＞0，则“x2>y2”是“x>y”的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为(－∞，3)．
核心回扣
1.充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件．
(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件．
(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．
2．充分条件、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．

自查自测
知识点二 全称量词与存在量词
1．(多选题)(教材改编题)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则( CD )
A．p是真命题¬
B．¬p：∀x∈R，x＋2>0
C．¬p是真命题
D．¬p：∃x∈R，x＋2>0
2．下列命题中的假命题是( )
A．∃x∈R，lg x＝1
B．∃x∈R，sin x＝0
C．∀x∈R，x3>0
D．∀x∈R，2x>0
C 解析：当x＝10时，lg x＝1，故A是真命题；当x＝0时，sin x＝0，故B是真命题；当x＝－1时，x3<0，故C是假命题；由指数函数的值域知D是真命题．
3．若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围是(－∞，1)．
核心回扣
1．全称量词与存在量词
2．全称(存在)量词命题及含一个量词的命题的否定
注意点：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q⇔若p，则q”为真命题．
【常用结论】
1.命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假．
2.p是q的充分不必要条件等价于¬q是¬p的充分不必要条件．
应用1 命题“∃x∈R，x2 ＋2x＋1＝0”的否定是 命题．(填“真”或“假”)
假 解析：因为当x＝－1时，(－1)2＋2×(－1)＋1＝0，所以命题“∃x∈R，x2＋2x＋1＝0”为真命题，所以命题的否定“∀x∈R，x2＋2x＋1≠0”是假命题．
应用2 已知命题p：|x|≤1，q：x(1，＋∞) 解析：由|x|≤1，得－1≤x≤1.由题意知p是q的充分不必要条件，所以a>1.
充分条件、必要条件的判断
1．(2024·烟台模拟)“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 解析：(x－3)(x－4)＝0⇔x＝3或x＝4.因为x＝3⇒(x－3)(x－4)＝0，反之不成立，故“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的充分不必要条件．故选A．
2．(2024·黄冈模拟)已知函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a>0，b>0，“a>b”是“f(a)>f(b)”的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．使“a>b”成立的一个充分不必要条件是( )
A．1a<1bB．a3>b3
C．a2>b2D．ac2>bc2
D 解析：只有当a，b同号时才有1a<1b⇒a>b，故A错误；a3>b3⇔a>b，故B错误；a2>b2推不出a>b，故C错误；ac2>bc2⇒a>b，而反之不成立，故D满足题意．故选D．
4．已知p：12x<1，q：lg2x<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B 解析：由12x<1，得x>0，所以p对应的集合为(0，＋∞)．由lg2x<0，得0充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．
(2)集合法：利用集合中的包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分性、必要性的问题．
充分条件、必要条件的应用
【例1】(1)已知命题p：x2＋x－6＝0，q：ax－1＝0(a≠0)．若p是q的必要不充分条件，则实数a的值为( )
A．－12
B．－12或13
C．－13
D．12或－13
D 解析：命题p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.命题q：因为a≠0，所以x＝1a．因为p是q的必要不充分条件，所以1a＝2或1a＝－3，解得a＝12或a＝－13．故选D．
(2)已知“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要条件，则实数k的取值范围为( )
A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)
C 解析：由3x+1<1，得x-2x+1>0，即(x＋1)(x－2)>0，解得x<－1或x>2.由题意可得{x|x>k}{x|x<－1，或x>2}，所以k≥2，因此，实数k的取值范围是[2，＋∞)．
由充分条件、必要条件求参数范围的策略
(1)巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含或相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形．
(2)端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍．
1．若集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－2A．a>－2B．a≥－2
C．a>－1D．a>1
C 解析：由x2－x－2<0，解得－1－1，即A∩B≠∅的一个充要条件是a>－1.
2．(2024·潍坊模拟)已知命题p：|x＋1|>2，命题q：x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞)B．(－∞，1]
C．[－3，＋∞)D．(－∞，－3]
A 解析：¬p：|x＋1|≤2，解得－3≤x≤1，¬q：x≤a.因为¬p是¬q的充分不必要条件，所以[－3，1] (－∞，a]，即a≥1.故选A．
全称量词与存在量词
考向1 含量词命题的否定
【例2】(1)命题p：∃n∈N，n2≥2n，则命题p的否定为( )
A．∀n∈N，n2≤2nB．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2<2nD．∃n∈N，n2<2n
C 解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p的否定应该为“∀n∈N，n2<2n”．故选C．
(2)(2024·枣庄模拟)已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x<1，则¬p为( )
A．∃x<0，ex<1且sin x≥1
B．∃x≥0，ex<1且sin x≥1
C．∃x≥0，ex<1或sin x≥1
D．∃x<0，ex≥1或sin x≤1
B 解析：该命题是全称量词命题，因为命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x<1，所以¬p：∃x≥0，ex<1且sin x≥1.故选B．
对全称(存在)量词命题进行否定的方法
(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．
(2)对原命题的结论进行否定．
考向2 含量词命题的真假判断
【例3】(多选题)下列命题中的真命题是( )
A．∀x∈R，2x-1>0
B．∀x∈(0，＋∞)，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1
D．∃x∈R，tan x＝2
ACD 解析：令t＝x－1，y＝2t，因为x∈R，所以y＝2t>0，故A正确；当x＝1时，(x－1)2＝0，故B错误；当x＝1时，lg 1＝0<1，所以存在x∈R，lg x<1，故C正确；因为y＝tan x的值域为R，所以存在x∈R，使得tan x＝2，故D正确．
判断含量词命题真假的方法
(1)要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．
(2)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可．
考向3 由含量词命题的真假求参数范围
【例4】若“∃x∈R，x2－2x－a＝0”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
(－∞，－1) 解析：由题意知“∀x∈R，x2－2x－a≠0”是真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4＋4a<0，解得a<－1.故实数a的取值范围为(－∞，－1)．
根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路
与全称(存在)量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
1．命题“对于任意正数x，都有x＋1>0”的否定是( )
A．对于任意正数x，都有x＋1<0
B．对于任意正数x，都有x＋1≤0
C．存在正数x，使得x＋1≤0
D．存在非正数x，使得x＋1≤0
C 解析：因为命题“对于任意正数x，都有x＋1>0”是全称量词命题，所以其否定为“存在正数x，使得x＋1≤0”．故选C．
2．若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )
A．∀x∈R，f(－x)≠f(x)
B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x)
C．∃x∈R，f(－x)≠f(x)
D．∃x∈R，f(－x)＝－f(x)
C 解析：由题意知“∀x∈R，f(－x)＝f(x)”是假命题，则其否定为真命题，即“∃x∈R，f(－x)≠f(x)”是真命题．
3．已知命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围为 ．
[0，4) 解析：由题意得不等式ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立．当a＝0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意．当a≠0时，若不等式ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立，则a>0， Δ=a2-4a<0，解得0课时质量评价(二)
1．下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．∃x∈R，1＋sin x<0
B．每个等腰三角形都有内切圆
C．∀x∈R，x2＋2x≥－1
D．存在一个正整数，它既是偶数又是质数
D 解析：B与C均为全称量词命题，A与D均为存在量词命题，故B，C错误；因为∀x∈R，1＋sin x≥0，则“∃x∈R，1＋sin x<0”是假命题，故A错误；正整数2既是偶数又是质数，则“存在一个正整数，它既是偶数又是质数”是真命题，故D正确．故选D．
2．若命题p：∃x∈R，3x+2>0，则¬p表述准确的是( )
A．∃x∈R，3x+2≤0
B．∀x∈R，3x+2≤0
C．∃x∈R，3x+2≥0或x＝－2
D．∀x∈R，3x+2≤0或x＝－2
D 解析：全称量词和存在量词命题的否定，分两步走，换符号、否结论．存在量词命题的否定为全称量词命题，故排除AC选项．其中3x+2>0可解得x>－2，因为x>－2的否定应是x≤－2，故D项正确．故选D．
3．(2024·武汉模拟)“a≤94”是“方程x2＋3x＋a＝0(x∈R)有正实数根”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B 解析：由方程x2＋3x＋a＝0有正实数根，则等价于函数f(x)＝x2＋3x＋a有正零点．又因为二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－32<0，则函数f(x)只能存在一正一负的两个零点，则Δ=9-4a>0，f0<0， 解得a<0.又(－∞，0)⊆-∞，94，故“a≤94”是“方程x2＋3x＋a＝0(x∈R)有正实数根”的必要不充分条件．故选B．
4．(多选题)(2024·深圳模拟)使“2x≥1成立”的一个充分不必要条件是( )
A．0C．x<2D．0AB 解析：由2x≥1，得2-xx≥0，解不等式得05．(新情境)荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B 解析：荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．
6．(2024·菏泽模拟)已知空间向量a＝(λ，1，－2)，b＝(λ，1，1)，则“λ＝1”是“a⊥b”的 条件．
充分不必要 解析：当λ＝1时，a＝(1，1，－2)，b＝(1，1，1)，a·b＝1＋1－2＝0，可得a⊥b，即充分性成立；若a⊥b，则a·b＝λ2＋1－2＝0，解得λ＝±1，据此可得必要性不成立．综上可知，λ＝1是a⊥b的充分不必要条件．
7．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题”的一组有序数对(a，b)为 ．
12，13(答案不唯一) 解析：答案不唯一，如12，13，13，14，14，15都符合题意．
8．“不等式ax2＋2ax－1<0恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A．－1≤a<0B．a≤0
C．－1D 解析：当a＝0时，－1<0恒成立；当a≠0时，则a<0， 4a2+4a<0，解得－19．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cs β＝0，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
B 解析：甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cs2β，等价于sinα＝±cs β，所以由甲不能推出sin α＋cs β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cs β＝0，得sin α＝－cs β，平方可得sin2α＝cs2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推出甲，所以甲是乙的必要不充分条件．故选B．
10．集合A＝{xx-1x+1<0，B＝{x||x－b|(－2，2) 解析：A＝(－1，1)，当a＝1时，B＝(b－1，b＋1)．因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，且A∩B＝∅时，有b＋1≤－1或b－1≥1，解得b≤－2或b≥2，所以当A∩B≠∅时，－211．若“不等式|x|2 解析：由不等式|x|0时，不等式|x|12．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2＋1≥a，命题q：∃x∈[－1，1]，使得2x＋a－1>0成立．若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 ．
(－∞，－1] 解析：命题p：∀x∈[1，2]，x2＋1≥a，若p是真命题，则a≤(x2＋1)min＝2；命题q：∃x∈[－1，1]，使得2x＋a－1>0成立，若q为真命题，则a>(1－2x)min＝1－2＝－1，所以命题q是假命题时，a≤－1.综上所述，实数a的取值范围为a≤－1，即a∈(－∞，－1].
名称
常见量词
符号表示
全称
量词
所有的、一切、任意一个、每一个、任给等
∀
存在
量词
存在一个、至少有一个、有些、对某些等
∃
名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称
量词
命题
对M中任意
一个x，
p(x)成立
∀x∈M，
p(x)
∃x∈M，¬p(x)
存在
量词
命题
存在M中
的元素x，
p(x)成立
∃x∈M，
p(x)
∀x∈M，¬p(x)