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人教A版普通高中数学一轮复习第一章第四节一元二次不等式及其解法学案
展开这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第一章第四节一元二次不等式及其解法学案，共15页。
3．掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式的方法．
自查自测
知识点一 一元二次不等式
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( √ )
2．已知全集U＝{x|x≥0}，集合A＝{x|x(x－2)≤0}，则∁UA＝( )
A．(2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
A 解析：集合A＝{x|x(x－2)≤0}＝[0，2]，而全集U＝[0，＋∞)，所以∁UA＝(2，＋∞)．故选A．
3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是-12，13，则a＋b的值是 ．
－14 解析：由题意知－12，13是ax2＋bx＋2＝0的两根，则－ba＝－12＋13，2a＝－12×13，所以a＝－12，b＝－2，所以a＋b＝－14.
4．(教材改编题)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为 ．
(－32，32) 解析：由题意有Δ＝4a2－4×18<0，可得－32
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．三个“二次”间的关系
自查自测
知识点二 分式不等式与整式不等式
不等式1-x2+x≥0的解集为( )
A．[－2，1]
B．(－2，1]
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)
B 解析：将原不等式化为即解得－2
分式不等式与整式不等式
(1)fxgx＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)；
(2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
不含参数的一元二次不等式的解法
1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集为( )
A．-1，32
B．-32，1
C．(－∞，－1)∪32，+∞
D．-∞，-32∪(1，＋∞)
C 解析：－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0，所以x<－1或x>32．
2．(2024·泰安模拟)已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A∪B＝( )
A．(1，2)B．(1，5)
C．(2，4)D．(4，5)
B 解析：A＝{x|1
A．[－3，2]B．(0，3]
C．[－3，2)D．(0，2]
D 解析：由x(3－x)>0，可得x(x－3)<0，解得0
三个“二次”关系的应用
1．(多选题)已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1或x>3}，则下列结论正确的是( )
A．a<0
B．a＋b＋c>0
C．c>0
D．cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<-13或x>1}
ABC 解析：根据二次函数图象与二次不等式解集之间的关系可知a<0，A正确；由题可知方程ax2＋bx＋c＝0的根为－1，3，则a<0， -1+3=-ba，-1×3=ca，即a<0， b=-2a，c=-3a，所以a＋b＋c＝－4a>0，B正确；c＝－3a>0，C正确；cx2－bx＋a<0，即－3ax2＋2ax＋a<0，则3x2－2x－1<0，解得－13
12 解析：因为原不等式可化为a-1x+1x-1<0，即(x－1)·[(a－1)x＋1]<0，所以由题意得a-1<0，-1a-1=2，解得a＝12．
3．已知函数f(x)＝15xx2+9，若f(x)>m的解集为32，6，则m的值为 ．
2 解析：因为f(x)>m，所以15xx2+9>m，所以mx2－15x＋9m<0.
因为其解集为32，6，所以mx2－15x＋9m＝0的两个根为32和6，所以32＋6＝15m，解得m＝2.
三个“二次”间的关系及应用
1．一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以借助根与系数的关系求待定系数．
含参数的一元二次不等式的解法
【例1】解不等式x2－(a＋1)x＋a<0.
解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0.
当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为∅；
当a<1时，原不等式的解集为(a，1)．
[变式] 将本例中的不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求此不等式的解集．
解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以ax-1a(x－1)<0.
当a>1时，解得1a
设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.
解：①当m＝0时，－3<0恒成立；
②当m>0时，
不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0，
即x+3mx-1m<0，
而－3m<1m，
此时不等式的解集为{x|-3m
不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0，
即x+3mx-1m<0，
而－3m>1m，
此时不等式的解集为{x|1m
考向1 在R上的恒成立问题
【例2】(2024·盐城模拟)已知关于x的不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A．[0，4]
B．[0，3]
C．(－∞，0]∪[3，＋∞)
D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
A 解析：当k＝0时，不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0可化为1≥0，其恒成立；当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0对任意x∈R恒成立，只需k>0， Δ=9k2-4k2k+1≤0，解得0
考向2 在给定区间上的恒成立问题
【例3】(2024·滨州模拟)若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－3]B．(－∞，0]
C．[1，＋∞)D．(－∞，1]
A 解析：(方法一)令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意得f-1=-12-2×-1+a≤0，f2=22-2×2+a≤0，
解得a≤－3.故选A．
(方法二)当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立．令f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈[－1，2]，当x＝－1时，f(x)min＝－3，所以a≤－3.故选A．
给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在给定区间上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.
1．若对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－2，2)B．(2，＋∞)
C．(－∞，2)D．(－∞，2]
C 解析：由∀x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0，得m
2．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是 ．
[－6，2] 解析：当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2.
所以实数a的取值范围是[－6，2].
课时质量评价(四)
1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B等于( )
A．(0，2)B．(－1，0)
C．(－3，2)D．(－1，3)
B 解析：A＝{x|－1
A．(－∞，1]∪[3，＋∞)
B．(－3，1)
C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
D．[－1，3]
D 解析：由题意可知x2＋(1－k)x＋1≥0恒成立，所以Δ＝(1－k)2－4≤0，解得－1≤k≤3.故选D．
3．(2024·宁波模拟)若a<0，则关于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为( )
A．{x|2
D．{x|x<2或x>1a}
B 解析：方程(ax－1)(x－2)＝0的两个根为x＝2和x＝1a，因为a<0，所以1a<2，故不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为{x|1a
C．ab＝－2D．ab＝2
ABD 解析：由题意得，－1，12是方程ax2＋bx＋1＝0的根，由根与系数的关系，得-ba=-1+12，1a=-1×12，解得a=-2，b=-1. 所以ab＝2，a＋b＝－3，a2＋b2＝5.故ABD正确．
5．已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x2－2(m＋1)x＋m<0}，若A⊆B，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1)B．(－1，0)
C．[－1，0)D．(－∞，0)
B 解析：设f(x)＝x2－2(m＋1)x＋m，若满足A⊆B，则需满足f0＜0，f1＜0，即m＜0， 1-2m+1+m＜0，解得－1＜m＜0.故实数m的取值范围是(－1，0)．
6．不等式1x<－1的解集是 ．
(－1，0) 解析：因为1x<－1，等价于1x＋1＝1+xx<0，等价于x(1＋x)<0，解得－1
1(或2，3) 解析：由题意Δ＝a2－4a(a－3)>0，解得0
(1)当a＝－6时，此不等式的解集为 ；
(2)若不等式的解集非空，则实数a的取值范围为 ．
(1)(1，4) (2)(－∞，－5)∪(3，＋∞) 解析：当a＝－6时，不等式为x2－5x＋4<0，解得1
9．已知函数f(x)＝ax＋6x－3，若xf(x)<4的解集为{x|1
(2)解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解：(1)因为函数f(x)＝ax＋6x－3，所以不等式xf(x)<4，即为ax2－3x＋2<0.由不等式的解集为{x|1
当c＝2时，不等式即(x－2)2<0，它的解集为∅；
当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为(c，2)；
当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为(2，c)．
10．(2024·临沂模拟)若关于x的不等式sinx-2x2+ax+b>0的解集是(－1，2)，则ab＝( )
A．3B．2
C．－2D．－3
B 解析：因为sin x－2<0恒成立，故x2＋ax＋b<0的解集为(－1，2)，即方程x2＋ax＋b＝0的两根为－1和2.由根与系数的关系可知－1＋2＝－a，－1×2＝b，所以a＝－1，b＝－2，故ab＝2.故选B．
11．已知关于x的不等式ax2－2x＋a<0在(0，＋∞)上有解，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1)B．(－1，1)
C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)
A 解析：由x∈(0，＋∞)，ax2－2x＋a<0，可得a<2xx2+1在(0，＋∞)上有解．令f(x)＝2xx2+1，则f(x)＝2x+1x≤22x·1x＝1，当且仅当x＝1时取等号，所以a<1.
12．已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是 ．
(x＋4)(x－6)＞0(答案不唯一) 解析：不等式(x＋4)(x－6)＞0的解集为{x|x＞6，或x＜－4}，解集中只有－5在集合A中，满足题意．
13．(数学与生活)如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x米，中间植草坪．为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x的取值范围为 ．
(0，1) 解析：易知0
(1)设该商品一天的营业额为y元，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若要求该商品一天的营业额至少为10 260 元，求x的取值范围．
解：(1)由题意得y＝1001-x10·100·1+850x＝40(10－x)(25＋4x)．
因为售价不能低于成本价，所以1001-x10－80≥0，解得0≤x≤2.
所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为{x|0≤x≤2}．
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得12≤x≤134．
又由(1)知，0≤x≤2，所以12≤x≤2，故x的取值范围是12，2．
判别式Δ＝
b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a
没有
实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＞x2，或x＜x1}
{x|x≠－b2a}
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
不等式类型
恒成立条件
ax2＋bx＋c>0
a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0
a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0
a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0
a<0，Δ≤0
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