人教A版普通高中数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最值学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最值学案，共20页。

自查自测
知识点一 函数的单调性
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．( × )
(2)若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )
(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )
2．(多选题)(教材改编题)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( AC )
A．y＝1x－x B．y＝x2－x
C．y＝－x2－2xD．y＝ex
3．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是( A )
A．(1，＋∞)B．(－∞，1)
C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)
4．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为[－1，1]和[5，7]．
5．已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是 ．
(－∞，5]∪[20，＋∞) 解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为直线x＝k，由题意可得k≤5或k≥20.故实数k的取值范围是(－∞，5]∪[20，＋∞)．
核心回扣
1．增函数与减函数
注意点：单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2．单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
注意点：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域．
(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.
自查自测
知识点二 函数的最值
1．下列函数在区间[1，4]上最大值为3的是( )
A.y＝x2B．y＝3x－2
C．y＝x2－13D．y＝1－x
C 解析：选项A，B，C在区间[1，4]上均单调递增，选项D在区间[1，4]上单调递减，代入端点值，即可求得最大值为3的是y＝x2－13.
2．设定义在R上的函数f(x)＝-x，x≤0， x，0＜x≤1，-x+2，x＞1，则f(x)( )
A．只有最大值
B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值
D．既无最大值，又无最小值
D 解析：如图，画出f(x)的图象可知，f(x)既无最大值，又无最小值．
3．(教材改编题)已知函数f(x)＝2x+1，x∈[0，2]，则f(x)的最大值为 ，最小值为 ．
2 23 解析：因为函数f(x)在[0，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(2)＝23．
核心回扣
函数的最值
注意点：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值．
【常用结论】
与函数单调性有关的常用结论
(1)若∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①fx1-fx2x1-x2>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)⇔f(x)在区间D上单调递增；②fx1-fx2x1-x20)的单调递增区间为-∞，-ba和ba，+∞，单调递减区间为-ba，0和0，ba．
(4)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(5)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
应用1 (多选题)若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，下列说法正确的是( AD )
A．函数f(x)与f(x)－c(c为常数)具有相同的单调性
B．函数f(x)与c·f(x)具有相同的单调性
C．若f(x)≠0，则函数f(x)与－1fx具有相反的单调性
D．若函数f(x)，g(x)都是减函数，则f(x)＋g(x)是减函数
应用2 若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有fa-fba-b>0成立，则必有( )
A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)是先增后减D．函数f(x)是先减后增
A 解析：由fa-fba-b>0知，f(a)－f(b)与a－b同号，即当af(b)，所以f(x)在R上是增函数．

确定函数的单调性(区间)
1．下列函数中是增函数的为( )
A．f(x)＝－xB．f(x)＝23x
C．f(x)＝x2D．f(x)＝3x
D 解析：函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝23x是指数函数，且00，0，x=0，-1，x1，0，x=1， -x2，x