人教A版普通高中数学一轮复习第二章第七节函数的图象学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第二章第七节函数的图象学案，共18页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题．
自查自测
知识点一 利用描点法作函数的图象
画函数y＝x2，x＜0，x-1，x≥0的图象．
解：画出此函数的图象，如图所示．
核心回扣
利用描点法作函数图象的步骤
自查自测
知识点二 函数图象的变换
1．函数y＝－ex的图象( )
A．与y＝ex的图象关于y轴对称
B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称
C．与y＝e－x的图象关于y轴对称
D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称
D 解析：由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．
2．将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y＝lg2x的图象，则f(x)＝lg2(x－1)－1．
核心回扣
(1)函数图象平移变换八字方针
①“左加右减“，要注意加减指的是自变量．
②“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
(2)对称变换
①f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称．
②f(x)与－f(x)的图象关于x轴对称．
(3)翻折变换
①|f(x)|的图象是将f(x)的图象中x轴下方的图象对称翻折到x轴上方，x轴上方的图象不变．
②f(|x|)的图象是将f(x)的图象中y轴右侧的图象不变，再对称翻折到y轴的左侧．
【常用结论】
(1)函数图象自身的对称轴．若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a+b2对称．
(2)函数图象自身的对称中心．函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
(3)两个函数图象之间的对称关系．①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b-a2对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)．②函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
应用1 设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－3)与y＝f(1－x)的图象关于( D )
A．直线y＝1对称B．直线x＝1对称
C．直线y＝2对称D．直线x＝2对称
应用2 将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为( D )
A．f(x)＝ex+1B．f(x)＝ex-1
C．f(x)＝e－x+1D．f(x)＝e－x-1
作函数的图象
作出下列函数的图象：
y＝12|x|；
解：先作出y＝12x的图象，保留图象中x≥0的部分，再作出y＝12x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象，如图1实线部分．
图1
(2)y＝|lg2(x＋1)|；
解：将函数y＝lg2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|lg2(x＋1)|的图象，如图2.
图2
(3)y＝x2－2|x|－1.
解：y＝x2-2x-1，x≥0，x2+2x-1，x＜0，函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据偶函数的对称性作出(－∞，0)上的图象，如图3.
图3
图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋1x的函数．
(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换的顺序．
函数图象辨析
【例1】(1)(2024·临沂模拟)函数y＝(2x－2－x)sin x在区间[－π，π]上的图象大致为( )
B 解析：因为f(x)＝(2x－2－x)sin x的定义域为R，f(－x)＝(2－x－2x)sin (－x)＝(2x－2－x)sin x ＝f(x)，故f(x)为偶函数，排除AC.当x＝π2时，y＝2π2－2－π2＞0，排除D.故选B.
(2)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝5ex-e-xx2+2 B．f(x)＝5sinxx2+1
C．f(x)＝5ex+e-xx2+2D．f(x)＝5csxx2+1
D 解析：由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．对于A，f(x)＝5ex-e-xx2+2，定义域为R，f(－x)＝5e-x-exx2+2＝－f(x)，所以函数f(x)＝5ex-e-xx2+2是奇函数，所以排除A；对于B，f(x)＝5sinxx2+1，定义域为R，f(－x)＝5sin-xx2+1＝－5sinxx2+1＝－f(x)，所以函数f(x)＝5sinxx2+1是奇函数，所以排除B；对于C，f(x)＝5ex+e-xx2+2，定义域为R，f(－x)＝5e-x+exx2+2＝f(x)，所以函数f(x)＝5ex+e-xx2+2是偶函数，又x2＋2＞0，ex＋e－x＞0，所以f(x)＞0恒成立，不符合题意，所以排除C；分析知，选项D符合题意．故选D.
辨识函数图象的技巧
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不符合要求的图象．
1．(2024·贵阳模拟)函数f(x)＝x2-1ex的图象大致为( )
C 解析：因为y＝x2－1与y＝e|x|都是偶函数，所以f(x)＝x2-1ex为偶函数，排除AB；又x趋向于＋∞时，f(x)趋向于0，x趋向于－∞时，f(x)趋向于0，排除D.故选C.
2．曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的Lg给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双J型曲线Lg，以下4个函数中最能拟合该曲线的是( )
A．y＝x ln |x|B．y＝x2ln |x|
C．y＝x+1xln |x|D．y＝x-1xln |x|
A 解析：y＝x2ln |x|为偶函数，排除B；设g(x)＝x+1xln |x|，则g1e＝－e+1e＜－1，排除C；设h(x)＝x-1xln |x|，当x∈(0，1)时，x－1x＜0且ln |x|＜0，则h(x)＞0，排除D.故选A．
函数图象的应用
考向1 研究函数的性质
【例2】(多选题)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a＞b. 若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是( )
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有3个解
C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增
D．函数F(x)有4个单调区间
ABD 解析：根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图所示．
由图可知，函数F(x)的图象关于y轴对称，故F(x)为偶函数，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有3个交点，所以方程F(x)＝0有3个解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确．
利用函数图象研究其性质的分析技巧
(1)从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值．
(2)从图象的对称性分析函数的奇偶性．
(3)从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性．
考向2 解不等式
【例3】(2024·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)＞2f(x)的解集为( )
A．(－2，0)∪(2，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－2，0)∪(2，2)
D．(－2，－2)∪(0，2)∪(2，＋∞)
C 解析：根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象如图所示．
由x2f(x)＞2f(x)，得(x2－2)f(x)＞0，等价于x2-2＞0，fx＞0 或x2-2＜0，fx＜0， 结合图象解得x＜－2或2＜x＜2或－2＜x＜0.故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－2，0)∪(2，2)．
利用函数的图象解不等式的基本思路
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合求解．
考向3 求参数的取值范围
【例4】(2024·滨州模拟)已知函数f(x)＝sinπx，0≤x≤1，lg2 022x，x＞1. 若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是 ．
(2，2 023) 解析：函数f(x)＝sinπx，0≤x≤1，lg2 022x，x＞1 的图象如图所示．不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可知a＋b＝1.而1＜c＜2 022，所以2＜a＋b＋c＜2 023.
求解函数图象应用问题的思维流程
1．(多选题)某同学在研究函数f(x)＝x1+x(x∈R)时，给出下面几个结论中正确的是( )
A．f(x)的图象关于点(－1，1)对称
B．f(x)是单调函数
C．f(x)的值域为(－1，1)
D．函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点
BCD 解析：作出y＝f(x)的图象，如图所示．
对于A，f(x)的图象关于点(0，0)对称，不关于点(－1，1)对称，故A错误；对于B，f(x)是R上的增函数，故B正确；对于C，由图象知，f(x)的值域为(－1，1)，故C正确；对于D，令g(x)＝f(x)－x＝0，得x11+x-1＝0，即-xx1+x＝0，解得x＝0，从而函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点，故D正确．
2．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在(－1，3)上的解集为( )
A．(1，3)B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3)D．(－1，0)∪(0，1)
C 解析：作出函数f(x)的图象如图所示．
由图知当x∈(－1，3)时，由xf(x)＞0，得不等式的解集为(－1，0)∪(1，3)．
3．已知函数f(x)＝3-x，x≥0， -x2-4x，x＜0.若f(x)－a＝0有3个实数根，则实数a的取值范围为 ．
(0，1] 解析：作出函数f(x)的图象如图所示．方程f(x)－a＝0的根的个数，即为函数y＝f(x)的图象与直线y＝a的交点个数，由图知当0＜a≤1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个交点，即方程有3个实数根，故实数a的取值范围是(0，1].
课时质量评价(十二)
1．函数f(x)＝x5－xex的图象大致是( )
A. B.
C. D.
B 解析：由f(2)＝32－2e2＝2(16－e2)＞0，可排除A，D；由f(－2)＝－32＋2e-2＝2(e-2－16)＜0，可排除C.故选B.
2．(2024·重庆联考)函数f(x)＝ex-1ex+1·cs π2+x的部分图象大致形状是( )
A. B.
C. D.
C 解析：因为f(x)＝ex-1ex+1·cs π2+x＝1-exex+1·sin x 的定义域为R，定义域关于原点对称，且f(－x)＝1-e-xe-x+1·sin (－x)＝1-exex+1·sin x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，D选项．当0＜x＜π时，1-exex+1＜0，sin x＞0，所以f(x)＝1-exex+1·sin x＜0，故选项A错误，选项C正确．故选C.
3．(2024·丰台模拟)将函数y＝lg2(2x＋2)的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝( )
A．lg2(2x＋1)－1
B．lg2(2x＋1)＋1
C．lg2x－1
D．lg2x
D 解析：将函数y＝lg2(2x＋2)的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，可得g(x)＝lg2[2(x－1)＋2]－1＝lg2(2x)－1＝lg2x的图象．
4．(多选题)已知函数f(x)＝－xx+1，则函数具有下列性质( )
A．函数f(x)在定义域内是减函数
B．函数f(x)的值域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
C．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称
D．函数f(x)的图象关于点(－1，－1)对称
BD 解析：因为f(x)＝－xx+1＝－x+1-1x+1＝－1＋1x+1，所以该函数图象由y＝1x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，如图所示．
由图可知，函数f(x)在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递减，所以选项A错误；函数f(x)的值域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，所以选项B正确；函数f(x)的图象关于点(－1，－1)对称，所以选项C错误，选项D正确．故选BD.
5．已知定义在R上的偶函数f(x)，在(－∞，0]上单调递减，且f(3)＝0，则不等式(x＋3)f(x)＜0的解集是( )
A．{x|x＜－3或x＞3}
B．{x|x＜－3或0＜x＜3}
C．{x|－3＜x＜3且x≠0}
D．{x|x＜3且x≠－3}
D 解析：由题意，画出f(x)的示意图如图所示．
(x＋3)f(x)＜0等价于x+3＜0，fx＞0 或x+3＞0，fx＜0，结合图可得解集为{x|x＜3且x≠－3}．故选D.
6．下图可能是下列哪个函数的图象( )
A．y＝2x－x2－1B．y＝2xsinx4x+1
C．y＝(x2－2x)exD．y＝xlnx
C 解析：函数的定义域为R，排除D；对于A，当x＝－1时，y＝2-1－1－1＝－32＜0，排除A；对于B，当sin x＝0时，y＝0，所以y＝2x·sinx4x+1有无数个零点，排除B.故选C.
7．函数y＝1x-1的图象与函数y＝2|sin πx|(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A．8B．10
C．12D．14
C 解析：函数y＝1x-1与y＝2|sin πx|的图象有公共对称轴x＝1，分别作出这两个函数的图象如图所示．
由图象可知，两个函数共有12个交点，且关于直线x＝1对称，则所有交点的横坐标之和为6×2＝12.故选C.
8．在同一平面直角坐标系中，若函数y＝2a与y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为 ．
－12 解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示．由题意，可知2a＝－1，则a＝－12．
9．(2024·松原模拟)对a，b∈R，记max{a，b}＝a，a≥b，b，a＜b，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是 ．
32 解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为32．
10．(新定义)对实数a和b，定义运算“◎”：a◎b＝a，a-b≤1，b，a-b＞1，设函数f(x)＝(x2－2)◎(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有3个公共点，则实数c的取值范围是( )
A．(－2，－1]
B．(－∞，－2]∪-1，-34
C．-34，+∞
D．(－1，＋∞)
A 解析：因为f(x)＝(x2－2)◎(x－x2)，x∈R，所以当x2－2－(x－x2)≤1，即－1≤x≤32时，f(x)＝x2－2；当x2－2－(x－x2)＞1，即x＜－1或x＞32时，f(x)＝x－x2，作出f(x)的图象，如图所示．
函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有3个公共点，转化为函数y＝f(x)与y＝c恰有三个交点，由图象可得－2＜c≤－1，则实数c的取值范围是(－2，－1].故选A．
11．已知函数f(x)＝2x2+4x+1，x＜0，2ex，x≥0， 则y＝f(x)(x∈R)的图象上关于坐标原点O对称的点共有( )
A．0对B．1对
C．2对D．3对
C 解析：作出函数f(x)＝2x2+4x+1，x＜0，2ex，x≥0 的图象，如图所示，
则y＝f(x)(x∈R)的图象上关于坐标原点对称的点，即当x＜0时，f(x)＝2x2＋4x＋1的图象关于原点对称产生的新曲线与y＝2ex的图象的交点．
由图象可知，函数f(x)＝2x2+4x+1，x＜0，2ex，x≥0 的图象上关于坐标原点对称的点共有2对．故选C.
12．如图，函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，则不等式f(x)＞f(－x)－2x的解集是 ．
{x|－1＜x＜0，或1＜x＜2} 解析：由图象可知函数f(x)为奇函数，故f(x)＞f(－x)－2x⇔f(x)－f(－x)＞－2x⇔2f(x)＞－2x，即f(x)＞－x.联立x2+y2=2，y=-x， 解得x=-1，y=1 或x=1，y=-1，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x的图象，如图所示．
由图象可知，不等式的解集为{x|－1＜x＜0，或1＜x＜2}．
13．已知函数f(x)＝lnx，x＞0，gx，x＜0，若∃x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＋f(－x0)＝0成立，请写出一个符合条件的函数g(x)的表达式 ．
g(x)＝1x(答案不唯一) 解析：由∃x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＋f(－x0)＝0，可得g(x0)＝－f(－x0)．由y＝f(x)与y＝－f(－x)图象关于原点对称，可得y＝ln x与y＝－ln (－x)图象关于原点对称，如图所示．
取y＝1x时，在第三象限显然有一交点x0，故取g(x)＝1x符合题意．
14．(2024·乐山模拟)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(1－x)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤38，则m的取值范围是 ．
-∞，54 解析：因为f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－1)．又当x∈(0，1]时，f(x)＝－x-122＋14∈0，14，所以当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(2－x)＝－2x-322＋12∈0，12．当x∈(1，2]时，由f(x)＝38，得x＝54或74．又当x∈(－1，0]时，x＋1∈(0，1]，f(x)＝12f(x＋1)＝－12x(x＋1)＝－12x+122＋18∈0，18，因此易知当x≤0时，f(x)≤18＜38，f(x)在(－1，2]上的图象如图所示．
由图可知m的取值范围是-∞，54．