人教A版普通高中数学一轮复习第二章第八节函数与方程学案

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自查自测
知识点一 函数的零点
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点．( × )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．( √ )
(3)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0)．( × )
2．(教材改编题)函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为－2，2，1，2．
核心回扣
1．定义：使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．三个等价关系：
注意点：
函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实数解，是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．
自查自测
知识点二 函数零点存在定理
1．(教材改编题)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是( C )

2．函数f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致范围是( B )
A．(1，2)B．(2，3)
C．1e，1和(3，4)D．(4，＋∞)
核心回扣
函数零点存在定理
(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线．
②f(a)·f(b)＜0．
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
注意点：
由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
【常用结论】
1．已知函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，若f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在(a，b)上有且只有一个零点．
2．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
3．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点．
应用 (多选题)有如下说法，其中正确的有( )
A．函数f(x)的零点为x0，则函数f(x)的图象经过点(x0，0)时，函数值一定变号
B．连续不断的函数，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号
C．函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根
D．“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效
BC 解析：由结论知A错误，B正确，由函数零点存在定理可得C正确．由于“二分法”是针对连续不断的函数的变号零点而言的，所以D错误．故选BC.
判断函数零点所在的区间
1．函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
A．(0，1)B．(1，2)
C．(2，3)D．(3，4)
C 解析：(方法一)因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以由函数零点存在定理，得函数f(x)的零点位于区间(2，3)上．故选C.
(方法二)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在的范围．如图所示，可知函数f(x)的零点在(2，3)内．
2．(多选题)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法错误的有( )
A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)＞0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)＜0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0
ABD 解析：取f(x)＝x2－1，x∈[－2，2]，满足f(－2)f(2)＞0，但是f(x)在[－2，2]内存在两个零点－1，1，故A错误，C正确；取f(x)＝sin x，x∈π6，19π6，满足fπ6f19π6＝12×-12＝－14＜0，但是f(x)在π6，19π6内存在三个零点π，2π，3π，故B错误；根据函数零点存在定理可知D错误．
3．函数f(x)＝2x＋14x－5的零点x0∈[a－1，a]，a∈N*，则a＝( )
A．1B．2
C．3D．4
C 解析：因为f(1)＝2＋14－5＜0，f(2)＝4＋12－5＜0，f(3)＝8＋34－5＞0，所以f(2)·f(3)＜0，可知函数零点所在区间为[2，3]，故a＝3.
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
确定函数零点的个数
【例1】(1)已知函数f(x)＝12x，x≤0，lg2x，x＞0，则函数g(x)＝f(x)－12的零点个数为( )
A．0B．1
C．2D．3
C 解析：当x≤0时，由g(x)＝0，得12x＝12，解得x＝1(舍去)；当x＞0时，由g(x)＝0，得|lg2x|＝12，即lg2x＝－12或lg2x＝12，解得x＝22或x＝2.综上所述，函数g(x)的零点个数为2.
(2)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )
A．9B．10
C．11D．18
B 解析：由题意，分别画出函数y＝f(x)和y＝|lg x|的图象，如图所示．
由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|的图象共有10个交点，故原函数有10个零点．
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．
(2)函数零点存在定理：要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数的零点个数．
(3)利用函数图象：作出两函数的图象，观察其交点个数即得零点个数．
1．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
B 解析：(方法一)因为 f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1＜0，且函数 f(x)在R上单调递增且连续，所以函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．
(方法二)设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象如图所示．
由图可知，两图象在(0，1)内的交点个数即f(x)在区间(0，1)内的零点个数，故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．
2．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A．0B．1
C．2D．3
C 解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x＞0)，y＝ln x(x＞0)的图象如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
函数零点的应用
考向1 根据函数零点所在区间求参数
【例2】函数f(x)＝x2－ax＋1在区间12，3上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)
C．2，52D．2，103
D 解析：由题意，知方程ax＝x2＋1在12，3上有解，即a＝x＋1x在12，3上有解．设t＝x＋1x，x∈12，3，则t′＝1－1x2＝x2-1x2，所以函数t＝x＋1x在12，1上单调递减，在(1，3)上单调递增．又当x＝12时，t＝52；当x＝1时，t＝2；当x＝3时，t＝103＞52，所以t∈2，103，即a∈2，103，故实数a的取值范围是2，103．
根据函数零点所在区间求参数的步骤
考向2 根据函数零点的个数求参数
【例3】(2024·黄冈模拟)设min{m，n}表示m，n中的较小数(当m＝n时，min{m，n}＝m＝n)．若函数f(x)＝min{|x|－1，2x2－ax＋a＋6}至少有3个零点，则实数a的取值范围是( )
A．[12，＋∞)
B．(－∞，－4]∪(12，＋∞)
C．(－∞，－4)∪[12，＋∞)
D．(－∞，－4)
A 解析：由题意，得g(x)＝2x2－ax＋a＋6＝0必有解，所以Δ＝a2－8(a＋6)≥0，解得a≤－4或a≥12.
结合图象(图象略)，知当a≥12时，必有a4≥3，且g(1)＝2－a＋a＋6＝8＞0，此时f(x)有4个零点；当a≤－4时，a4≤－1，且g(－1)＝2a＋8≤0，此时f(x)不满足题意．
综上所述，a≥12，即a的取值范围为[12，＋∞)．故选A．
利用函数零点个数求参数的方法
由函数零点个数求参数问题，可采用数形结合法，先对解析式变形，将其变为关于两个函数的方程，再在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，通过数形结合求解．
1．(2024·聊城模拟)函数f(x)＝lg2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－18)B．(5，＋∞)
C．(5，18)D．(－18，－5)
D 解析：由题意，知函数f(x)＝lg2x＋x2＋m在区间(2，4)上单调递增且存在零点，所以由函数零点存在定理得f(2)·f(4)＜0，即(m＋5)(m＋18)＜0，解得－18＜m＜－5，所以实数m的取值范围是(－18，－5)．故选D.
2．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是 ．
14，12 解析：依题意，结合函数f(x)的图象(图象略)，分析可知m需满足m≠2， f-1·f0＜0，f1·f2＜0，解得14＜m＜12，故m的取值范围是14，12．
课时质量评价(十三)
1．函数f(x)＝1x－ln x＋2的零点所在的大致区间为( )
A．(1，e)B．(e，e2)
C．(e2，e3)D．(e3，e4)
C 解析：f(x)＝1x－ln x＋2在(0，＋∞)上连续不断，且单调递减，f(1)＝3＞0，f(e)＝1e＋1＞0，f(e2)＝1e2＞0，f(e3)＝1e3－1＜0，f(e4)＝1e4－2＜0，所以零点位于(e2，e3)．故选C.
2．(2024·大庆模拟)函数f(x)＝x2+x-2，x≤0，-1+lnx，x＞0 的零点个数为( )
A．3B．2
C．1D．0
B 解析：由f(x)＝0，得x≤0， x2+x-2=0或x＞0， -1+lnx=0，解得x＝－2或x＝e，所以函数f(x)共有2个零点．故选B.
3．方程x2＝2x的实数解为( )
A．2B．4
C．2或4D．以上答案都不对
D 解析：由于22＝22，42＝24，所以2或4是方程x2＝2x的实数解．当－2＜x＜0时，令f(x)＝x2－2x，由于f(x)的图象在(－2，0)上连续不断，且f(－2)＝4－14＞0，f(0)＝－1＜0，由函数零点存在定理，可知存在x0∈(－2，0)，使得f(x0)＝0，故x＝x0是x2＝2x的一个实数根．故选D.
4．(多选题)若函数f(x)＝2x-a，x≤0，lnx，x＞0 有两个不同的零点，则实数a的取值可能为( )
A．－1B．12
C．1D．2
BC 解析：当x＞0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，所以当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．又因为f(x)＝2x－a在(－∞，0]上单调递增，所以令f(x)＝0，得a＝2x∈(0，1].故选BC.
5．函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是 ．
(0，3) 解析：令f(x)＝0，所以x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－2x，即y＝k与y＝2x－2x，x∈(1，2)的图象有交点．又y＝2x－2x在(1，2)上单调递增，且21－21＝0，22－22＝3，所以0＜k＜3，即实数k的取值范围是(0，3)．
6．一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是焊口脱落，要想确保检验出哪一处的焊口脱落，则至少需要检测_________次．
6 解析：第1次取中点把焊点数减半为642＝32，第2次取中点把焊点数减半为322＝16，…，第6次取中点把焊点数减半为22＝1，所以至少需要检测的次数是6.
7．(2024·德州模拟)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x＞0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)有且只有1个零点，则a的取值范围是 ．
(－∞，－1) 解析：令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)，在同一平面直角坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点．结合图象可知，当直线y＝－x－a过点(0，1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，得a＝－1；当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，符合题意；当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，不符合题意．综上，a的取值范围为(－∞，－1)．
8．(新定义)若平面直角坐标系内A，B两点满足点A，B都在函数f(x)的图象上，且点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝x2+2x，x＜0，2ex，x≥0， 则f(x)的“和谐点对”有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
B 解析：如图所示，作出函数y＝x2＋2x(x＜0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝2ex(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．故选B.
9．(2024·武汉模拟)已知x0是函数f(x)＝11-x＋ln x的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0B．f(x1)＞0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0D．f(x1)＜0，f(x2)＞0
D 解析：令f(x)＝11-x＋ln x＝0，则ln x＝1x-1．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝ln x与y＝1x-1的图象，如图所示．
由图象易知，1x1-1＞ln x1，所以ln x1－1x1-1＜0，故f(x1)＝ln x1＋11-x1＜0.同理f(x2)＞0.故选D.
10．已知函数f(x)＝2x-1，x≤2， |lg2 (x-2)|，x＞2， 若关于x的方程f2(x)－(a＋3)f(x)－a＝0有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．∅B．[－1，0)
C．(－2，0)D．(－2，－1)
A 解析：作函数f(x)的图象如图所示．
设f(x)＝t，由函数图象，可知要使关于x的方程f2(x)－(a＋3)f(x)－a＝0有6个不同的实数根，则关于t的方程t2－(a＋3)t－a＝0在(1，3]内有两个不同的实数根，因此-a+32-4×1×-a＞0，1＜a+32＜3， 1-a+3-a＞0， 9-3a+3-a≥0， 解得a∈∅，所以实数a的取值范围为∅.故选A．
11．(2024· 岳阳模拟)设函数f(x)＝x2-4x+3，x≥0，2x+3，x＜0， 若互不相等的实数x1，x2，x3，满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是( )
A．52，6B．52，4
C．(2，4)D．(2，6)
C 解析：设x1＜x2＜x3，作出函数f(x)的图象如图所示．
设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝m，
由图象可知，－1＜m＜3，
则f(x1)∈(－1，3)，即－1＜2x1＋3＜3，
可得－2＜x1＜0.
又因为二次函数y＝x2－4x＋3的图象的对称轴为直线x＝2，
所以x2＋x3＝4，因此，2＜x1＋x2＋x3＜4.故选C.