人教A版普通高中数学一轮复习第八章第六节双曲线学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第八章第六节双曲线学案，共24页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
2．了解双曲线的简单几何性质．
自查自测
知识点一 双曲线的定义
1．已知平面内两定点F1(－3，0)，F2(3，0)，下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝±7
B．|PF1|－|PF2|＝±6
C．|PF1|－|PF2|＝±4
D．|PF1|2－|PF2|2＝±6
C 解析：因为两定点F1(－3，0)，F2(3，0)，所以|F1F2|＝6.由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||∈(0，6)，
所以四个选项的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是C.
2．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝9，则|PF2|＝ ．
17 解析：根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，
因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.
又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
核心回扣
1.平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
(1)当a＜c时，点M的轨迹是双曲线．
(2)当a＝c时，点M的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线．
(3)当a＞c时，点M不存在．
自查自测
知识点二 双曲线的标准方程及几何性质
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)方程x2m－y2n＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(2)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.( √ )
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( √ )
2．以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ( )
A.x2－y23＝1B．x23－y2＝1
C.x2－y22＝1D．x24－y23＝1
A 解析：设所求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．由椭圆x24＋y23＝1，得椭圆的焦点为(±1，0)，在x轴上的顶点为(±2，0)，所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)，所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线的方程为x2－y23＝1.
3．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )
A.22B．1
C．2D．2
C 解析：由题意可得ba＝1，所以e＝1+b2a2＝1+12＝2.
4．双曲线x224－y225＝－1的实轴长为 ，离心率为 ，渐近线方程为 ．
10 75 y＝±5612x 解析：在双曲线y225－x224＝1中，a＝5，b＝26，c＝25+24＝7，
所以实轴长为2a＝10，离心率e＝ca＝75，
渐近线方程为y＝±abx＝±5612x.
核心回扣
双曲线的标准方程和几何性质
【常用结论】
1．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
2．与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同的渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．
3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
应用1 若过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交y轴于点(0，3c)(c为双曲线的半焦距)，则此双曲线的离心率是( )
A.3B．223
C．103D．10
C 解析：如图．
不妨设双曲线的一个焦点为F(c，0)，渐近线为y＝bax，
则过点F(c，0)且与直线y＝bax垂直的直线方程为y＝－ab(x－c)．
令x＝0，得y＝acb，则acb＝3c，所以ba＝13，
所以双曲线的离心率e＝ca＝1+b2a2＝1+19＝103．
应用2 直线3x＋y＝0是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线，且双曲线的一个顶点和一个焦点到渐近线的距离之和为332，则该双曲线的虚轴长为 ．
23 解析：由题意知ba＝3①，
顶点到渐近线3x＋y＝0 的距离为3a3+1＝3a2．
又双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为b，
所以3a2＋b＝332②.
联立①②，解得a＝1，b＝3，
故虚轴长为23.
双曲线的定义及应用
【例1】(1)(2024·青岛模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为( )
A．x24－y25＝1(x＞2)
B．x29－y25＝1(x＞3)
C．x29＋y25＝1(0＜x＜2)
D．x29＋y24＝1(0＜x＜3)
A 解析：如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，
则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.
根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，
即c＝3，a＝2.又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，
所以顶点C的轨迹方程为x24－y25＝1(x＞2)．
(2)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上，且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A．72B．3
C．52D．2
B 解析：由题可得|F1F2|＝4，因为|OP|＝2＝12|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16.又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16－2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，所以S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝3.
(3)已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为 ．
9 解析：设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，则|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|，所以当|PF1|＋|PA|最小时，满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点P在线段AF1上时，满足|PF1|＋|PA|最小，最小值为|AF1|＝5.故所求的最小值为9.
双曲线定义应用的两个方面
提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，明确所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
1．一动圆P过定点M(－4，0)，且与已知圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A．x24－y212＝1(x≥2)
B．x24－y212＝1(x≤2)
C．x24－y212＝1
D．y24－x212＝1
C 解析：设动圆圆心为P，半径为r，由题知圆N的圆心为N，半径为4，且|PN－PM|＝4，
即动点P到两定点的距离之差为常数4，故P在以M，N为焦点的双曲线上，且2a＝4，2c＝8，所以b＝23，所以动圆圆心P的轨迹方程为x24－y212＝1.
2．(2024·温州模拟)已知双曲线E：x2m－y23＝1(m＞0)的离心率为2，右焦点为F，动点P在双曲线右支上，点A(0，1)，则|PF|－|PA|的最大值为( )
A．5B．5－2
C．22D．22－2
B 解析：因为双曲线E：x2m－y23＝1(m＞0)的离心率为m+3m＝2，所以m＝1，
所以a＝1，b＝3，c＝2.
设双曲线E的左焦点为B，则B(－2，0)，
又A为(0，1)，
所以|PF|－|PA|＝|PB|－2a－|PA|＝|PB|－|PA|－2≤|AB|－2＝22+12－2＝5－2，
当且仅当B，A，P三点共线时，等号成立，
所以|PF|－|PA|的最大值为5－2.
3．设F1，F2分别是双曲线C：x24－y25＝1的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝12|PF1－PF2|，则△PF1F2的面积为( )
A．5B．10
C．52D．20
A 解析：由题意得a2＝4，b2＝5，所以c2＝9，即c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．
因为|OP|＝12|PF1－PF2|＝12|F2F1|＝3，
设P(x0，y0)，则x024−y025=1，x02+y02=9，
解得|y0|＝53，
则△PF1F2的面积为12|F1F2|×|y0|＝12×6×53＝5.
双曲线的标准方程
【例2】(1)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A．x2－y23＝1B．x23－y2＝1
C．x2－3y23＝1D．3x23－y2＝1
A 解析：由e＝ca＝2，得c＝2a，b＝c2−a2＝3a，则双曲线的方程为x2a2－y23a2＝1.
将点(2，3)代入双曲线的方程，可得2a2－33a2＝1a2＝1，解得a＝1，故b＝3，因此双曲线的标准方程为x2－y23＝1.
(2)(多选题)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法正确的是( )
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为n
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±−mnx
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
ACD 解析：对于A，当m＞n＞0时，有1n＞1m＞0，方程化为x21m＋y21n＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．
对于B，当m＝n＞0时，方程化为x2＋y2＝1n，表示圆心为原点，半径为1n的圆，故B错误．
对于C，当m＞0，n＜0时，方程化为x21m－y2−1n＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝1m，b＝−1n，渐近线方程为y＝± −mnx；当m＜0，n＞0时，方程化为y21n－x2−1m＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝ 1n，b＝−1m，渐近线方程为y＝± −mnx，故C正确．
对于D，当m＝0，n＞0时，方程化为y＝± 1n，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
提醒：由方程类型讨论参数范围时，要将方程化为标准形式．
1．“0＜k＜1”是“方程x2k−1＋y2k+2＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A 解析：若方程表示双曲线，
则(k－1)(k＋2)＜0，得－2＜k＜1，
所以“0＜k＜1”是“方程x2k−1＋y2k+2＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
2．(2024·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为( )
A．x24－y212＝1B．x212－y24＝1
C．x23－y2＝1D．x2－y23＝1
D 解析：由方程x2a2－y2b2＝1，
得双曲线的渐近线方程为y＝±bax.
不妨设点A在直线y＝bax上，
由△OAF是边长为2的等边三角形，
可得c＝2，直线y＝bax的倾斜角为60°，即ba＝3.
联立b=3a， a2+b2=c2=4，解得b=3，a=1，
故双曲线的标准方程为x2－y23＝1.
双曲线的几何性质
考向1 双曲线的渐近线
【例3】设F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A．x±2y＝0B．2x±y＝0
C．x±2y＝0D．2x±y＝0
B 解析：不妨设点P在双曲线的右支上，
则PF1+PF2=6a，PF1−PF2=2a，
所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
因为|F1F2|＝2c＞2a，
所以△PF1F2最短的边是PF2，
所以△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.
在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝ 16a2＋4c2－2×4a×2c×cs 30°，
整理得c2－23ac＋3a2＝0，
即(c－3a)2＝0，解得c＝3a，
所以c2＝3a2.又a2＋b2 ＝c2＝3a2，则b2 ＝2a2，
所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为2x±y＝0.故选B.
求双曲线的渐近线方程的方法
(1)由条件求出a，b的值，根据双曲线焦点的位置写出渐近线方程．
(2)由条件c2＝a2＋b2得到关于a，b的方程，构造关于ba的方程，通过解方程求ba的值，进而写出渐近线方程．
考向2 求双曲线的离心率(范围)
【例4】(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A．72B．132
C．7D．13
A 解析：设|PF2|＝m，m＞0，则|PF1|＝3m，|PF1|－|PF2|＝2m＝2a.
在△F1PF2中，
|F1F2|＝m2+9m2−2×3m×m×cs60°＝7m，
即2c＝7m，
所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝7m2m＝72．
(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值： ．
2(满足1＜e≤5皆可) 解析：双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，所以C的渐近线方程为y＝±bax.结合渐近线的特点，只需0＜ba≤2，即可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”， 所以e＝ca＝1+b2a2≤1+4＝5.又因为e＞1，所以1＜e≤5，故e的取值可以为2.(满足1＜e≤5皆可)．
关于双曲线离心率(范围)的求法
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝ca转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
1．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是( )
A．π4B．2π3
C．3π4D．5π6
B 解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，
所以ca＝2，所以ba＝c2−a2a2＝c2a2−1＝3，
所以此双曲线的渐近线的斜率为±3，
所以此双曲线的渐近线的倾斜角是π3或2π3．
2．已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，3)
B．(3，22)
C．(1＋2，＋∞)
D．(1，1＋2)
D 解析：依题意，得|AF1|＝|BF1|＝b2a且0＜∠AF2F1＜π4，故0＜tan ∠AF2F1＜1，则b2a2c＝c2−a22ac＜1，即e2－2e－1＜0，解得1－2＜e＜1＋2.又e＞1，所以1＜e＜1＋2.
课时质量评价(五十一)
1．“k＜9”是“方程x225−k＋y2k−9＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 解析：若方程x225−k＋y2k−9＝1表示双曲线，
则(25－k)(k－9)＜0，所以k＜9或k＞25，
所以“k＜9”是“方程x225−k＋y2k−9＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
2．双曲线x22－y24＝λ(λ＞0)的离心率为( )
A．62B．3
C．3或62D．2
B 解析：因为λ＞0，所以x22λ－y24λ＝1，所以双曲线的焦点在x轴上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ，所以离心率为e＝ca＝c2a2＝6λ2λ＝3.
3．已知双曲线C：x2a2－y216＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝( )
A．1B．13
C．17D．1或13
B 解析：由题意知双曲线x2a2－y216＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得4a＝43，解得a＝3，所以c＝a2+b2＝5.又F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，所以||PF1|－|PF2||＝2a＝6.又|PF1|＝7，解得|PF2|＝13或1.当|PF2|＝1时，|PF2|＜c－a＝2不满足要求，舍去，所以|PF2|＝13.
4．(2024·朝阳模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A.若∠AFO＝2∠AOF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )
A．52B．233
C．2D．233或2
B 解析：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，
所以∠AOF＝30°，则tan 30°＝ba＝33，所以e＝ca＝1+ba2＝1+332＝233．
5．(多选题)(2024·聊城模拟)已知双曲线C：x29−k＋y2k−1＝1(0＜k＜1)，则下列结论正确的是( )
A．双曲线C的焦点在x轴上
B．双曲线C的焦距等于42
C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于1−k
D．双曲线C的离心率的取值范围为1，103
ACD 解析：对于A，因为0＜k＜1，所以9－k＞0，k－1＜0，
所以双曲线C：x29−k－y21−k＝1(0＜k＜1)表示焦点在x轴上的双曲线，故选项A正确；
对于B，由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝10−2k，所以双曲线C的焦距等于2c＝210−2k(0＜k＜1)，故选项B错误；
对于C，设焦点在x轴上的双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，焦点坐标为(±c，0)，则渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，所以焦点到渐近线的距离d＝bca2+b2＝b，所以双曲线C：x29−k－y21−k＝1(0＜k＜1)的焦点到其渐近线的距离等于1−k，故选项C正确；
对于D，双曲线C的离心率e＝1+b2a2＝1+1−k9−k＝2−89−k，因为0＜k＜1，所以1＜2－89−k＜109，所以e＝2−89−k∈1，103，故选项D正确．
6．(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为 ．
y＝±3x 解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，
所以e＝c2a2＝a2+b2a2＝1+b2a2＝2，
所以b2a2＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x.
7．(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－23F2B，则C的离心率为 ．
355 解析：(方法一)如图，设F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，n)，A(x，y)，则F2A＝(x－c，y)，F2B＝(－c，n)．
又F2A＝－23F2B，则x−c=23c，y=−23n，
可得A53c，−23n．
又F1A⊥F1B，且F1A＝83c，−23n，F1B＝(c，n)，则F1A·F1B＝83c2－23n2＝0，化简得n2＝4c2.
又点A在C上，则259c2a2－49n2b2＝1，整理可得25c29a2－4n29b2＝1，
将n2＝4c2代入，可得25c2a2－16c2b2＝9，即25e2－16e2e2−1＝9，
解得e2＝95或e2＝15(舍去)，故e＝355．
(方法二)由F2A＝－23F2B，得F2ATX→F2BTX→＝23．
设|F2A|＝2t，|F2B|＝3t，由对称性可得|F1B|＝3t，则|AF1|＝2t＋2a，|AB|＝5t.
设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝3t5t＝35，所以cs θ＝45＝2t+2a5t，解得t＝a，
所以|AF1|＝2t＋2a＝4a，|AF2|＝2a.
在△AF1F2 中，由余弦定理可得cs θ＝16a2+4a2−4c216a2＝45，即5c2＝9a2，则e＝355．
8．已知双曲线C：x2－y2b2＝1(b＞0)．
(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值．
解：(1)因为双曲线C：x2－y2b2＝1(b＞0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y＝2x，
所以b＝2，
所以双曲线C的标准方程为x2－y24＝1.
(2)因为PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|.
因为△PF1F2的面积为9，所以|PF1|·|PF2|＝18.
又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝40.
又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10.
由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，所以b＝3.
9．已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋34a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A．1，233B．233，+∞
C．(1，2)D．(2，＋∞)
A 解析：由双曲线C1的方程可得其渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0.
圆C2：x2＋y2－2ax＋34a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝14a2，
故圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝12a.
由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得aba2+b2＜12a，即c＞2b，即c2＞4b2.
又b2＝c2－a2，所以c2＞4(c2－a2)，即c2＜43a2，
所以e＝ca＜233．
又e＞1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为1，233．
10．(多选题)(新背景)2022年卡塔尔世界杯的会徽(如图)正视图近似伯努利双纽线．定义：在平面直角坐标系中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)的距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹称为双纽线C.已知P(x0，y0)是双纽线C上的一点，下列说法正确的是( )
A．双纽线C关于原点O成中心对称
B．－a2≤y0≤a2
C．双纽线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个
D．|OP|的最大值为2a
ABD 解析：对于A，因为定义：在平面直角坐标系中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)的距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹称为双纽线C，
设M(x，y)是双纽线C上任意一点，所以x+a2+y2×x−a2+y2＝a2，
用M′(－x，－y)替换方程中的M(x，y)，原方程不变，所以双纽线C关于原点O成中心对称，所以A正确；
对于B，根据三角形的等面积法可知12×|PF1|×|PF2|sin ∠F1PF2＝12×2a×|y0|，
即|y0|＝a2sin ∠F1PF2≤a2，所以－a2≤y0≤a2，所以B正确；
对于C，若双纽线C上的点P满足|PF1|＝|PF2|，则点P在y轴上，即x0＝0，
所以a2+y02×a2+y02＝a2，得y0＝0，所以这样的点P只有一个，所以C错误；
对于D，因为PO＝12(PF1＋PF2)，
所以|PO|2＝14(|PF1|2＋2|PF1||PF2|·cs ∠F1PF2＋|PF2|2)．
由余弦定理得4a2＝|PF1|2－2|PF1||PF2|·cs ∠F1PF2＋|PF2|2，
所以|PO|2＝a2＋|PF1|·|PF2|cs ∠F1PF2＝a2＋a2cs ∠F1PF2≤2a2，
所以|PO|的最大值为2a，所以D正确．
11．(2024·内江模拟)已知双曲线x2－y2a2＝1，若过点(2，2)能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e的取值范围为( )
A．213，+∞B．1，213
C．(1，2)D．以上选项均不正确
D 解析：设切线方程为y－2＝k(x－2)，
由y−2=kx−2，x2−y2a2=1，
得(a2－k2)x2＋4k(k－1)x－4(k－1)2－a2＝0，显然当a2－k2＝0时，所得直线不是双曲线的切线，所以k≠±a.
由Δ＝0，得16k2(k－1)2＋4(a2－k2)[4(k－1)2＋a2]＝0，
整理得3k2－8k＋4＋a2＝0.
由题意可知此方程有两个不等实根，所以Δ1＝64－12(4＋a2)＞0，a2 ＜43，
则c2＝1＋a2＜73(c为双曲线的半焦距)，e＝c1＝c＜213，即1＜e＜213．
将k＝±a代入方程3k2－8k＋4＋a2＝0，得a＝±1，此时e＝2.
综上，e的取值范围是(1，2)∪2，213．故选D.
12．已知焦点在x轴上的双曲线x28−m＋y24−m＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 ．
(0，2) 解析：对于焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，它的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为bcb2+a2＝b.双曲线x28−m＋y24−m＝1，即x28−m－y2m−4＝1，其焦点在x轴上，则8−m＞0，m−4＞0，解得4＜m＜8，则其焦点到渐近线的距离d＝m−4∈(0，2)．
13．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且过点(－3，26)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．
解：(1)由题意可知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，
根据定义有2a＝|−3+22+26−02−−3−22+26−02|＝2，
解得a＝1.又c2＝a2＋b2，
所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故所求双曲线C的方程为x2－y23＝1.
(2)因为双曲线C的方程为x2－y23＝1，
所以渐近线方程为y＝±3x.
由y=kx+2，x2−y23=1，
消去y，整理得(3－k2)x2－4kx－7＝0.
①当3－k2＝0即k＝±3时，此时直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C相交于一点，符合题意；
②当3－k2≠0即k≠±3时，由Δ＝(－4k)2＋4×7×(3－k2)＝0，解得k＝±7，
此时直线l与双曲线C相切于一个公共点，符合题意．
综上所述，符合题意的k的所有取值为±3，±7.
14．如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的2倍，双曲线过点(4，－10)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)在(2)的条件下，若点M 在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN的面积．
(1)解：设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，
双曲线的焦距为2c，实轴长为2a，
则2c＝22a，即c＝2a，
所以b2＝c2－a2＝a2，所以双曲线的方程为x2－y2＝a2，
将(4，－10)代入，得a2＝16－10＝6，
所以双曲线的标准方程为x26－y26＝1.
(2)证明：由(1)知，F1(－23，0)，F2(23，0)，
因为点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2＝3.
又以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，
将M(3，m)代入得9＋3＝12，
所以点M在以F1F2为直径的圆上．
(3)解：由(2)知，点M的坐标为(3，3)或(3，－3)，
因为点M在第一象限，
所以点M的坐标为(3，3)，直线MF2的方程为
y－3＝−323−3(x－3)＝－(2＋3)(x－3)，
即y＝(－2－3)x＋(6＋43)，
代入双曲线方程整理可得
(6－43)y2－43(2－3)y＋6＝0.
因为点M的纵坐标为3，
所以点N的纵坐标为66−43×3＝13−2＝－(3＋2)，
所以△F1MN的面积为
S＝12|F1F2|·(3+3＋2)＝23×(2＋23)＝12＋43.
标准
方程
x2a2－y2b2＝1
(a＞0，b＞0)
y2a2－x2b2＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≤－a或
x≥a，y∈R
y≤－a或
y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
坐标
A1(－a，0)，
A2(a，0)
A1(0，－a)，
A2(0，a)
实虚轴
实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
离心率
e＝ca∈(1，＋∞)
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2