人教A版普通高中数学一轮复习第十章第三节随机事件与概率学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第十章第三节随机事件与概率学案，共20页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

2．了解概率的意义及频率与概率的区别．
3．了解两个互斥事件的概率加法公式．
自查自测
知识点一 随机事件
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)随机事件和随机试验是一回事．( × )
(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( √ )
(3)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.( × )
(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √ )
2．(多选题)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数大于2”，D3＝“点数大于4”．则下列结论正确的是( AC )
A．C1与C2互斥
B．C2，C3为对立事件
C．D2∪D3＝D2
D．D2∩D1＝D3
3．(教材改编题)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为 ．
8 解析：因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}，故共有8个样本点．
核心回扣
1．样本点与样本空间
(1)样本点：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，一般地，用ω表示样本点．
(2)样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间．
(3)有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
2．事件的关系与运算
自查自测
知识点二 概率
1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
则样本数据落在区间[10，40)的频率为0.45．
2．(教材改编题)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.3.
(1)如果B⊆A，那么P(A∪B)＝ ，P(AB)＝ ；
(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝ ，P(AB)＝ ．
(1)0.4 0.3 (2)0.7 0
解析：如果B⊆A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.3.
如果A，B互斥，那么A∩B＝∅，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.3＝0.7，P(AB)＝0.
3．在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件A＋B发生的概率为 ．
23 解析：掷一枚骰子的试验有6种等可能的结果，依题意知P(A)＝26＝13，P(B)＝46＝23，所以P(B)＝1－P(B)＝1－23＝13．因为事件B表示“出现5点或6点”，所以事件A与事件B互斥，从而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝13＋13＝23．
4．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一个点数的概率都是16，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P(A∪B)＝ ．
23 解析：易知事件A，B不是互斥事件，由题意可得A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，所以P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12，P(AB)＝26＝13，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝12＋12－13＝23．
核心回扣
1．频率与概率
注意点：
随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近．
2．概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
【常用结论】
1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
应用1 (多选题)一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中为互斥事件的是( )
A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品”
B.“至少有1件次品”和“都是次品”
C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”
D.“至少有1件次品”和“都是正品”
AD 解析：对于A，“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；对于B，“至少有1件次品”的事件中包含了“都是次品”的事件，不是互斥事件；对于C事件，“至少有1件正品” 包含事件“有1件正品和1件次品”和事件“有2件正品”，事件“至少有1件次品”包含事件“有1件正品和1件次品”和事件“有2件次品”，可知两者不是互斥事件；对于D，由C分析知“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件．故选AD.
应用2 某射击运动员在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射击运动员在一次射击中不够8环的概率为( )
A．0.9B．0.3
C．0.6D．0.4
D 解析：设“该射击运动员在一次射击中不够8环”为事件A，则P(A)＝1－P(A)＝1－(0.2＋0.3＋0.1)＝0.4.
随机事件的关系与运算
1．5个人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
A 解析：根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；BCD中的两个事件能同时发生，故不是互斥事件．故选A．
2．(2024·济南模拟)食用植物油有两种制取工艺：压榨法和浸出法．压榨法由于不涉及添加任何化学物质，榨出的油各种成分保持较为完整，但缺点是出油率低．浸出法制油粕中残油少，出油率高，油料资源得到了充分的利用．我国植物油料种类繁多，而压榨法和浸出法这两种油脂制取工艺分别适用于不同的油料，常见的压榨油有芝麻油、花生油等，常见的浸出油有油菜籽油、大豆油等．现有4个完全相同的不透明油桶里面分别装有芝麻油、花生油、油菜籽油、大豆油，从中任取1桶，则下列两个事件互为对立事件的是( )
A．“取出芝麻油”和“取出花生油”
B．“取出浸出油”和“取出大豆油”
C．“取出油菜籽油”和“取出大豆油”
D．“取出压榨油”和“取出浸出油”
D 解析：对于A，“取出芝麻油”和“取出花生油”是互斥事件，但不是对立事件；对于B，“取出浸出油”和“取出大豆油”在一次试验中可能同时发生，不是互斥事件，也不是对立事件；对于C，“取出油菜籽油”和“取出大豆油”是互斥事件，但不是对立事件；对于D，“取出压榨油”和“取出浸出油”在一次试验中不可能同时发生，但至少有一个发生，所以是对立事件．故选D.
3．(多选题)从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机事件：A＝“至少有一个女生”，B＝“至少有一个男生”，C＝“恰有一个男生”，D＝“两个都是女生”，E＝“恰有一个女生”．下列结论正确的有( )
A．C＝EB．A＝B
C．D∩E≠∅D．B∩D＝∅，B∪D＝Ω
AD 解析：对于A，事件C，E均表示“选出的两个人是1个男生和1个女生”，所以C＝E，A正确；对于B，事件A＝“选出的两个人是1个男生和1个女生或者2个女生”，事件B＝“选出的两个人是1个男生和1个女生或者2个男生”，则A≠B，B错误；对于C，事件D，E包含的样本点都不相同，则D∩E＝∅，C错误；对于D，事件B，D包含的样本点都不相同，则B∩D＝∅，事件B＝“选出的两个人是1个男生和1个女生或者2个男生”，事件D＝“选出的两个人是2个女生”，则B∪D包含了样本空间中所有的样本点，所以B∪D＝Ω，D正确．故选AD.
1．事件的关系运算策略
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．
(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件．
2．判断互斥事件、对立事件的两种方法
随机事件的频率与概率
【例1】如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如表所示．
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
所以用频率估计相应的概率p＝44100＝0.44.
(2)由题表可得选择路径L1的有60人，选择路径L2的有40人，
故由调查结果得频率如表所示．
(3)设A1，A2分别表示事件“甲选择路径L1和路径L2时，在40分钟内赶到火车站”；B1，B2分别表示事件“乙选择路径L1和路径L2时，在50分钟内赶到火车站”．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.
因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择路径L1.
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.
因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择路径L2.
1．概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
提醒：概率的定义是求一个事件概率的基本方法．
为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了8批试验，油菜籽发芽试验的相关数据如表所示．
(1)如何计算各批试验中油菜籽发芽的频率？
(2)由各批油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？
(3)如何确定该油菜籽发芽的概率？
解：(1)各批试验中油菜籽发芽的频率＝发芽粒数每批粒数．
(2)45＝0.8，910＝0.9，116130≈0.892，637700＝0.91，1 3701 500≈0.913，1 7862 000＝0.893，2 7093 000＝0.903，4 4905 000＝0.898.
可以发现，当试验次数越来越多时，频率越来越趋近于一个常数．
(3)由(2)可知，当试验次数越来越多时，频率在0.900附近波动，由此可估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.
互斥事件与对立事件的概率
考向1 互斥事件的和事件
【例2】(1)甲、乙两人下象棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是14，则甲输的概率为( )
A．14B．13
C．34D．78
A 解析：记“两人下成和棋”为事件A，“甲获胜”为事件B，则A，B互斥，且P(A)＝12，P(B)＝14．因为甲不输即为事件A∪B，由互斥事件的概率加法公式可得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝12＋14＝34，所以甲输的概率是1－P(A∪B)＝1－34＝14．
(2)如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为 ．
0．16 解析：设P(A)＝x，则P(B)＝3x.
又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，
所以x＝0.16，即P(A)＝0.16.
直接法求互斥事件的和事件的概率
考向2 “至多”“至少”型问题的概率
【例3】经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
间接法求复杂事件发生的概率
若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正难则反”的思想．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．
1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A．62%B．56%
C．46%D．42%
C 解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A＋B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，
则P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96，
所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46.
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.
2．(多选题)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法，下述结论中，正确的是( )
A．P(A)＝0.55
B．P(B)＝0.18
C．P(C)＝0.27
D．P(B∪C)＝0.55
ABC 解析：依题意，P(A)＝55100＝0.55，P(B)＝18100＝0.18，显然事件A，B互斥，P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，事件B，C互斥，则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.45，所以选项A，B，C都正确，选项D不正确．故选ABC.
3．某学校在教师外出家访了解家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示．
(1)求有4人或5人外出家访的概率；
(2)求至少有3人外出家访的概率．
解：(1)设“有2人及2人以下外出家访”为事件A，“有3人外出家访”为事件B，“有4人外出家访”为事件C，“有5人外出家访”为事件D，“有6人及6人以上外出家访”为事件E，则事件“有4人或5人外出家访”为事件C与事件D的和事件，事件C与事件D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)“至少有3人外出家访”的对立事件为“有2人及2人以下外出家访”，所以由对立事件的概率公式可知所求概率p＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
课时质量评价(六十三)
1．(多选题)关于频率和概率，下列说法正确的是( )
A．某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为23
B．数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12 000次硬币，得到正面向上的频率为0.501 6；抛掷24 000次硬币，得到正面向上的频率为0.500 5.如果他抛掷36 000次硬币，正面向上的频率可能大于0.500 5
C．某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2 000粒种子试种，一定会有1 806粒种子发芽
D．将一个均匀的骰子抛掷6 000次，则出现点数大于2的次数约为4 000
BD 解析：对于A，某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮运动中命中的频率为23，不能说概率，故错误；对于B，进行大量的试验，硬币正面向上的频率在0.5 附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5，故正确；对于C，只能说明可能有1 806粒种子发芽，具有随机性，故错误；对于D，每次出现点数大于2的概率为23，则抛掷6 000 次，出现点数大于2的次数大约为4 000，故正确．故选BD.
2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示“两次都击中飞机”，事件B表示“两次都没击中飞机”，事件C表示“恰有一次击中飞机”，事件D表示“至少有一次击中飞机”，则下列关系式中不正确的是( )
A．A⊆DB．B∩D＝∅
C．A∪C＝DD．A∪C＝B∪D
D 解析：事件D包括“恰有一次击中飞机”和“两次都击中飞机”，所以A⊆D，故A中关系式正确；因为事件B，D不能同时发生，所以B∩D＝∅，故B中关系式正确；由题意易知C中关系式正确；因为A∪C＝D，不是必然事件，B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D，故D中关系式不正确．
3．已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P(A)等于( )
A．0.5B．0.1
C．0.7D．0.8
A 解析：因为随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，所以P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，所以P(A)＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5.
4．(多选题)(2024·大连模拟)有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”，下列命题正确的是( )
A．E与G互斥
B．F与I互斥且对立
C．F与G不互斥
D．G与I互斥
BC 解析：对于A，事件E，G有可能同时发生，所以不互斥；
对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，所以互斥且对立；
对于C，事件F与G可以同时发生，所以不互斥；
对于D，事件G与I可以同时发生，所以不互斥．故选BC.
5．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学的瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90名，阅读过《红楼梦》的学生共有80名，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60名，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A．0.5B．0.6
C．0.7D．0.8
C 解析：根据题意，阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用Venn图表示如下：
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.
6．(数学与生活)(2024·德州模拟)某市场一摊位的卖菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为 0.2，选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1，且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付的概率为( )
A．0.5B．0.6
C．0.7D．0.8
C 解析：设事件A为“只用现金支付”，事件B为“只用非现金支付”，事件C为“既用现金支付又用非现金支付”，事件D为“买菜后支付”，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.因为P(A)＝0.2，P(C)＝0.1，所以P(B)＝0.7.故选C.
7．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是 ．
1835 解析：围棋盒子中有多粒黑子和白子，因为从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，所以由对立事件概率计算公式，得从中任意取出2粒恰好是不同色的概率p＝1－17－1235＝1835．
8．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求：
(1)从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少；
(2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少．
解：(1)从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C.
由于事件A，B，C彼此互斥，
根据已知得PA+PB+PC=1，PA+PB=59，PB+PC=23，
解得PA=13，PB=29，PC=49，
所以从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是13，29，49．
(2)由(1)知黑球、黄球、绿球的个数分别为3，2，4，
得到的两个球同色的可能有：两个黑球共有3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况．
而从中任取两个球的情况共有36种，
所以任取两个球，得到的两个球颜色相同的概率为3+6+136＝518，则得到的两个球颜色不相同的概率是1－518＝1318．
9．如果事件A，B互斥，记A，B分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件
B．A∪B是必然事件
C．A与B一定互斥
D．A与B一定不互斥
B 解析：如图1所示，A∪B不是必然事件，A∪B是必然事件，A与B不互斥；如图2所示，A∪B是必然事件，A∪B是必然事件，A与B互斥．
10．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A．(1，2)B．54，32
C．54，43D．54，43
D 解析：因为随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，所以0＜PA＜1，0＜PB＜1，PA+PB≤1，即0＜2−a＜1，0＜4a−5＜1，3a−3≤1，解得54＜a≤43．
故实数a的取值范围是54，43．故选D.
11．某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X遗传性状的概率为415，出现Y遗传性状的概率为215，X，Y两种遗传性状都不出现的概率为710，则该成员X，Y两种遗传性状都出现的概率为 ．
110 解析：设该家族某成员出现X遗传性状为事件A，出现Y遗传性状为事件B,
则X，Y两种遗传性状都不出现为事件A∩B，两种遗传性状都出现为事件A∩B，
所以P(A)＝415，P(B)＝215，P(A∩B)＝710，
所以P(A∪B)＝1－P(A∩B)＝310．
又因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，
所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝110．
12．(数学与生活)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本为每瓶4元，售价为每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解： (1)当且仅当最高气温低于25 ℃时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶．由题表中数据知，最高气温低于25 ℃的频率为2+16+3690＝0.6，所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能值为900，300，－100.
所以当最高气温不低于20 ℃时，Y大于零，由题表中数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为36+25+7+490＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
名称
条件
结论
符号表示
包含关系
事件A发生，事件B一定发生
事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等
关系
B⊇A且A⊇B
事件A与事件B相等
A＝B
并事件 (或和事件)
事件A与事件B至少有一个发生
事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件 (或积事件)
事件A与事件B同时发生
事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥事件
事件A与事件B不能同时发生
事件A与事件B互斥(或互不相容)
A∩B＝∅
对立事件
事件A与事件B有且仅有一个发生
事件A与事件B互为对立
A∪B＝Ω，
且A∩B＝∅
分组
[10， 20)
[20， 30)
[30， 40)
[40， 50)
[50， 60)
[60， 70)
频数
2
3
4
5
4
2
频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性
频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)
所用时间/分
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间/分
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
选择L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
批次
1
2
3
4
每批粒数
5
10
130
700
发芽粒数
4
9
116
637
批次
5
6
7
8
每批粒数
1 500
2 000
3 000
5 000
发芽粒数
1 370
1 786
2 709
4 490
排队人数
0
1
2
3
4
5及以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
派出人数
≤2
3
4
5
≥6
概率
0.1
0.46
0.3
0.1
0.04
最高气温
[10， 15)
[15， 20)
[20， 25)
[25， 30)
[30， 35)
[35， 40)
天数
2
16
36
25
7
4