人教A版普通高中数学一轮复习第三章学科特色微专题隐零点问题学案

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【例】设函数f(x)＝ex－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
解：函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)＞0，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间．
当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞ln a；令f′(x)＜0，得x＜ln a，
所以函数f(x)的单调递减区间是(－∞，ln a)，单调递增区间是(ln a，＋∞)．
(2)若a＝1，k为整数，且当x＞0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1＞0，求k的最大值．
解：由题设可得(x－k)(ex－1)＋x＋1＞0，即k＜x＋x+1ex−1(x＞0)恒成立．
令g(x)＝x+1ex−1＋x(x＞0)，得g′(x)＝ex−1−x+1exex−12＋1＝exex−x−2ex−12(x＞0)．
由(1)的结论可知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．
因为h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－4＞0，
所以函数h(x)存在唯一零点α∈(1，2)．
当x∈(0，α)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
所以g(x)min＝g(α)＝α+1eα−1＋α.
又h(α)＝eα－α－2＝0，所以eα＝α＋2且α∈(1，2)，
则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2，3)，所以k的最大值为2.
导数问题中遇到隐零点问题的解决方法
第一步：利用特殊点处的函数值、零点存在定理、函数的单调性、函数的图象等，判断零点是否存在以及取值范围；
第二步：把导数零点处导数值等于0作为条件代回原函数，进行化简或消参．